山东省济宁市2021年中考数学试题真题(Word版+答案+解析)

山东省济宁市2021年中考数学试卷

一、单选题

1.（2021·济宁）若盈余2万元记作 +2 万元，则 −2 万元表示（ ） A. 盈余2万元 B. 亏损2万元 C. 亏损 −2 万元 D. 不盈余也不亏损

2.（2021·济宁）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法，其中正确的是（ ）

A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形

3.（2021·济宁）下列各式中，正确的是（ ）

A. 𝑥+2𝑥=3𝑥2 B. −(𝑥−𝑦)=−𝑥−𝑦 C. (𝑥2)3=𝑥5 D. 𝑥5÷𝑥3=𝑥2

4.（2021·济宁）如图， 𝐴𝐵//𝐶𝐷 ， 𝐵𝐶//𝐷𝐸 ，若 ∠𝐵=72°28′ ，那么 ∠𝐷 的度数是（

A. 72°28′ B. 101°28′ C. 107°32′ D. 127°32′ 5.（2021·济宁）计算

𝑎2−4𝑎÷(𝑎+1−

5𝑎−4𝑎

) 的结果是（ ）

A. 𝑎+2

𝑎−2

(𝑎−2)2(𝑎+2)

𝑎−2 B. 𝑎+2 C. 𝑎

D.

𝑎+2𝑎

6.（2021·济宁）不等式组 {𝑥−1

𝑥+3≥2

的解集在数轴上表示正确的是（ ） 2

−𝑥>2

A.

B.

）

C.

D.

7.（2021·济宁）如图，正五边形 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 中， ∠𝐶𝐴𝐷 的度数为（ ）

A. 72° B. 45° C. 36° D. 35°

8.（2021·济宁）已知m，n是一元二次方程 𝑥2+𝑥−2021=0 的两个实数根，则代数式 𝑚2+2𝑚+𝑛 的值等于（ ）

A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 9.（2021·济宁）如图，已知 △𝐴𝐵𝐶 ．

⑴以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 𝐴𝐶 于点M ， 交 𝐴𝐵 于点N ．

⑵分别以M ， N为圆心，以大于 2𝑀𝑁 的长为半径画弧，两弧在 ∠𝐵𝐴𝐶 的内部相交于点P ． ⑶作射线 𝐴𝑃 交 𝐵𝐶 于点D ．

⑷分别以A ， D为圆心，以大于 2𝐴𝐷 的长为半径画弧，两弧相交于G ， H两点． ⑸作直线 𝐺𝐻 ，交 𝐴𝐶 ， 𝐴𝐵 分别于点E ， F ．

依据以上作图，若 𝐴𝐹=2 ， 𝐶𝐸=3 ， 𝐵𝐷=2 ，则 𝐶𝐷 的长是（ ） A. 10 B. 1 C. 4 D. 4 10.（2021· 济宁）按规律排列的一组数据： 2 ， 5 ，□， 17 ， 26 ， 37 ，…，其中□内应填的数是（ ）A. 3 B. 11 C. 9 D. 2

2

5

5

1

1

3

7

9

11

5

9

3

11

二、填空题

11.（2021·济宁）数字5100000用科学记数法表示是________．

12.（2021·济宁）如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶 ，请补充一个条件________，使 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶 ．

13.（2021·济宁）已知一组数据0，1，x，3，6的平均数是y，则y关于x的函数解析式是________． 14.（2021·济宁）如图， △𝐴𝐵𝐶 中， ∠𝐴𝐵𝐶=90° ， 𝐴𝐵=2 ， 𝐴𝐶=4 ，点O为 𝐵𝐶 的中点，以O为圆心，以 𝑂𝐵 为半径作半圆，交 𝐴𝐶 于点D ， 则图中阴影部分的面积是________．

15.（2021·济宁）如图，二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象与x轴的正半轴交于点A ， 对称轴为直线 𝑥=1 ，下面结论：

① 𝑎𝑏𝑐<0 ； ② 2𝑎+𝑏=0 ； ③ 3𝑎+𝑐>0 ；

④方程 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 必有一个根大于 −1 且小于0． 其中正确的是________（只填序号）．

三、解答题

16.（2021·济宁）计算： |√2−1|+cos45°−(√2)−2+√8 ．

17.（2021·济宁）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：

（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是________； （2）请补全条形统计图；

（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是________；

（4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？

18.（2021·济宁）如图， Rt△𝐴𝐵𝐶 中， ∠𝐴𝐶𝐵=90° ， 𝐴𝐶=𝐵𝐶 ，点 𝐶(2,0) ，点 𝐵(0,4) ，反比例函数 𝑦=𝑥(𝑥>0) 的图象经过点A ．

𝑘

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 𝑂𝐴 向上平移m个单位后经过反比例函数，图象上的点 (1,𝑛) ，求m，n的值． 19.（2021·济宁）如图，点C在以 𝐴𝐵 为直径的 ⊙𝑂 上，点D是 𝐵𝐶 的中点，连接 𝑂𝐷 并延长交 ⊙𝑂 于点E ， 作 ∠𝐸𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝐶 ， 𝐵𝑃 交 𝑂𝐸 的延长线于点P ．

（1）求证： 𝑃𝐵 是 ⊙𝑂 的切线；

（2）若 𝐴𝐶=2 ， 𝑃𝐷=6 ，求 ⊙𝑂 的半径．

20.（2021·济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？

21.（2021·济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．

例如，正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ （图1）．因为在平面 𝐴𝐴′𝐶′𝐶 中， 𝐶𝐶′//𝐴𝐴′ ， 𝐴𝐴′ 与 𝐴𝐵 相交于点A ， 所以直线 𝐴𝐵 与 𝐴𝐴′ 所成的 ∠𝐵𝐴𝐴′ 就是既不相交也不平行的两条直线 𝐴𝐵 与 𝐶𝐶′ 所成的角． 解决问题

如图1，已知正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ ，求既不相交也不平行的两条直线 𝐵𝐴′ 与 𝐴𝐶 所成角的大小．

（2）如图2，M ， N是正方体相邻两个面上的点．

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是________；

②在所选正确展开图中，若点M到 𝐴𝐵 ， 𝐵𝐶 的距离分别是2和5，点N到 𝐵𝐷 ， 𝐵𝐶 的距离分别是4和3，P是 𝐴𝐵 上一动点，求 𝑃𝑀+𝑃𝑁 的最小值．

22.（2021·济宁）如图，直线 𝑦=−2𝑥+2 分别交x轴、y轴于点A ， B ， 过点A的抛物线 𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 与x轴的另一交点为C ， 与y轴交于点 𝐷(0,3) ，抛物线的对称轴l交 𝐴𝐷 于E ， 连接 𝑂𝐸 交 𝐴𝐵 于点F ．

13

（1）求抛物线解析式； （2）求证： 𝑂𝐸⊥𝐴𝐵 ；

（3）P为抛物线上的一动点，直线 𝑃𝑂 交 𝐴𝐷 于点M ， 是否存在这样的点P ， 使以A ， O ， M为顶点的三角形与 △𝐴𝐶𝐷 相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分

一、单选题 1.【答案】 B

【考点】正数和负数的认识及应用

【解析】【解答】解：∵盈余2万元记作 +2 万元， ∴-2万元表示亏损2万元， 故答案为：B．

【分析】根据有理数的正负数的意义求解即可。 2.【答案】 A

【考点】轴对称图形，简单几何体的三视图，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：圆柱体的左视图是矩形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故答案为：A.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。 3.【答案】 D

【考点】同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方 【解析】【解答】解：A、 𝑥+2𝑥=3𝑥 ，不符合题意； B、 −(𝑥−𝑦)=−𝑥+𝑦 ，不符合题意； C、 (𝑥2)3=𝑥6 ，不符合题意； D、 𝑥5÷𝑥3=𝑥2 ，符合题意； 故答案为：D．

【分析】利用合并同类项、幂的乘方和同底数幂的除法以及去括号的方法逐项判定即可。 4.【答案】 C

【考点】角的运算，平行线的性质

【解析】【解答】解：∵ 𝐴𝐵//𝐶𝐷 ， ∠𝐵=72°28′ ， ∴ ∠𝐶=∠𝐵=72°28′ ， ∵ 𝐵𝐶//𝐷𝐸 ，

∴ ∠𝐷+∠𝐶=180° ，

∴ ∠𝐷=180°−∠𝐶=107°32′ ， 故答案为：C．

【分析】利用平行线的性质求解即可。 5.【答案】 A

【考点】分式的混合运算 【解析】【解答】解：

𝑎2−4𝑎

÷(𝑎+1−

5𝑎−4𝑎

)

𝑎2−4𝑎(𝑎+1)−(5𝑎−4)

=÷

𝑎𝑎(𝑎+2)(𝑎−2)𝑎2+𝑎−5𝑎+4

=÷

𝑎𝑎(𝑎+2)(𝑎−2)𝑎

=⋅

𝑎(𝑎−2)2=

𝑎+2𝑎−2

．

故答案为：A．

【分析】利用分式的混合运算计算即可。 6.【答案】 D

【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组 𝑥+3≥2【解析】【解答】解： {      ①       𝑥−1

2

−𝑥>2② 不等式①的解集为 𝑥≥−1 ；  

不等式②的解集为x<-5． 在数轴上表示为：

∴原不等式组无解． 故答案为：D

【分析】利用不等式组的性质和不等式组的解法求解即可。 7.【答案】 C

【考点】正多边形的性质

【解析】【解答】解：∵五边形 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 为正五边形，

∴ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐸=𝐷𝐸 ， ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐴𝐸=108° ， ∴ △𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐸𝐷 ，

∴ 𝐴𝐶=𝐴𝐷 ， ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷=1

2(180°−108°)=36° ， ∴ ∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐷=108°−36°−36°=36° ． 故答案为： 𝐶

【分析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐷𝐴𝐸∠𝐶𝐴𝐷。

8.【答案】 B

【考点】代数式求值，一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程 𝑥2+𝑥−2021=0 的实数根， ∴ 𝑚2+𝑚−2021=0 ， ∴ 𝑚2+𝑚=2021 ，

∴ 𝑚2+2𝑚+𝑛=𝑚2+𝑚+𝑚+𝑛=2021+𝑚+𝑛 ，

即可求出

，∵m、n是一元二次方程 𝑥2+𝑥−2021=0 的两个实数根， ∴ 𝑚+𝑛=−1 ，

∴ 𝑚2+2𝑚+𝑛=2021−1=2020 ， 故答案为：B．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可。 9.【答案】 C

【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，连接 𝐹𝐷,𝐸𝐷

∵𝐺𝐻 垂直平分 𝐴𝐷 ∴𝐹𝐷=𝐹𝐴=2 , 𝐷𝐸=𝐴𝐸 ∵𝐴𝐷 平分 ∠𝐵𝐴𝐶

∴∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐷

∵𝐹𝐷=𝐹𝐴 ∴∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐹𝐷𝐴 ∴∠𝐹𝐷𝐴=∠𝐸𝐴𝐷

∴𝐴𝐸//𝐹𝐷

同理可知 𝐴𝐸//𝐹𝐷

∴ 四边形 𝐴𝐸𝐷𝐹 是平行四边形 又 ∵ 𝐹𝐷=𝐹𝐴

∴ 平行四边形 𝐴𝐸𝐷𝐹 是菱形

𝐴𝐸=𝐴𝐹=2 ∵𝐹𝐷//𝐴𝐶 ∴∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐵𝐶𝐴

又 ∵∠𝐵=∠𝐵

∴△𝐵𝐷𝐹∽△𝐵𝐶𝐴 ∴

∵𝐶𝐸=3 ， 𝐵𝐷=2 3

𝐵𝐷𝐷𝐹

=

𝐵𝐶𝐴𝐶∴

9

32+𝐶𝐷

32=

2 2+3解得： 𝐶𝐷=4 故答案为：C

【分析】利用作法得AD平分∠𝐵𝐴𝐶 ， EF垂直平分AD，所以∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐹𝐴𝐷 ， EA=ED，FA=FD，再证明四边形AEDF为菱形得到AE=AF=2，然后利用平行线分线段成比例计算CD即可。 10.【答案】 D

【考点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方 +1 ， ∴ 第n个数据为： 𝑛2+1 当 𝑛=3 时 □ 的分子为 5 ，分母为 32+1=10 ∴ 这个数为 10=2 故答案为：D．

【分析】观察分析，总结题干的规律，再求解即可。 二、填空题

11.【答案】 5.1×106

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：5100000=5.1×106 ． 故填5.1×106 ．

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。 12.【答案】 ∠𝐷=∠𝐵 (答案不唯一) 【考点】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：添加的条件为 ∠𝐷=∠𝐵 ， 理由是：在 △𝐴𝐵𝐶 和 △𝐴𝐷𝐶 中，

5

12𝑛−1

∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶

{

∠𝐷=∠𝐵

，

𝐴𝐶=𝐴𝐶

∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶 (AAS)， 故答案为： ∠𝐷=∠𝐵 ．

【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可。 13.【答案】 𝑦=5𝑥+2 【考点】平均数及其计算 【解析】【解答】解：根据题意得：

𝑦=(0+1+𝑥+3+6)÷5

=5𝑥+2 ，

1

1

故答案为： 𝑦=5𝑥+2 ．

【分析】利用平均数的计算方法求解即可。 14.【答案】 5√3−𝜋

4

2

1

【考点】扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：连接OD，过点D作 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶 于E ，

在 △𝐴𝐵𝐶 中 ∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=4 ， ∴ sin∠𝐶=𝐴𝐶=4=2 ，

𝐵𝐶=√𝐴𝐶2−𝐴𝐵2=√42−22=2√3 ， ∴ ∠𝐶=30° ， ∴ ∠𝐷𝑂𝐵=60° ， ∵ 𝑂𝐷=2𝐵𝐶=√3 ， ∴ 𝐷𝐸=2 ， ∴阴影部分的面积是：

1

31

𝐴𝐵

2

1

×2×2√3−2×√3×2−2

53𝜋

故答案为： √− ．

4

2

1360·𝜋×3360

=

5√3𝜋

−42

，

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求出DE的长，DOB的度数，再根据图形可知阴影部分的面积是三角形ABC的面积减去三角形COD的面积和扇形BOD的面积，从而可得出解答本题。 15.【答案】 ①②④

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用 【解析】【解答】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0， 则abc＜0，故①符合题意； ∵- 2𝑎 =1， ∴b=-2a ，

∴2a+b=0，故②符合题意；

∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1， ∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④符合题意； ∴当x=-1时，y=a-b+c＜0， ∴y=a+2a+c＜0，

𝑏

∴3a+c＜0，故③不符合题意； 故答案为：①②④．

【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决。 三、解答题

16.【答案】 解： |√2−1|+cos45°−(√2)−2+√8 = √2−1+√−+2√2

22= 7√2−3 ．

2

2

21

【考点】实数的运算

【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式的性质化简，再计算即可。 17.【答案】 （1）108°

（2）解：这次调查的人数为： 12÷30％=40 (人)， 则及格的人数为： 40−3−17−12=8 (人)， 补全条形统计图如下：

；

（3）510

（4）解：画树状图如图：

，

共有6种等可能的结果， 抽到两名都是男生的结果有2种， ∴抽到两名都是男生的概率为 6=3 ．

【考点】扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法 【解析】【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”

2

1

所在扇形的圆心角的度数是： 360°×30％=108° ， 故答案为： 108° ； (3)估计该校“良好”的人数为： 1200×40=510 (人)， 故答案为：510人；

【分析】（1）由360度乘以“优秀”的人数所占的比例即可；

（2）求出这次调查的人数为：12÷30%=40 ， 得出及格的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；

（4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则有概率公式求解即可。 18.【答案】 （1）解：如图，作 𝐴𝐷⊥𝑥 轴，则 ∠𝐴𝐷𝐶=90°

17

∵∠𝐴𝐶𝐵=90° ， 𝐴𝐶=𝐵𝐶 ， ∴∠𝐵𝐶𝑂+∠𝐴𝐶𝐷=90° ∵∠𝐵𝐶𝑂+∠𝐶𝐵𝑂=90° ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐵𝑂 ∴ △𝐵𝑂𝐶≌△𝐶𝐷𝐴(𝐴𝐴𝑆) ∵ 点 𝐶(2,0) ，点 𝐵(0,4) ∴𝑂𝐶=2,𝑂𝐵=4

∴𝐶𝐷=𝑂𝐵=4,𝐴𝐷=𝑂𝐶=2 ， ∴OD=OC+CD=6， ∴𝐴(6,2) 代入 𝑦=𝑥 中， 𝑘=2×6=12 ∴𝑦=

（2）解： ∵ (1,𝑛) 在 𝑦=∴𝑛=12

12𝑥

12𝑥𝑘

．

上，

∵𝐴(6,2)，𝑂(0,0)

设直线OA解析式为 𝑦=𝑘1𝑥 ∴2=6𝑘1 ， 𝑘1=3 ∴𝑦=𝑥

31

1

直线 𝑂𝐴 向上平移m个单位后的解析式为： 𝑦=𝑥+𝑚

31

图象经过（1，12） ∴12=×1+𝑚

31

解得： 𝑚=

353

353

∴𝑛=12 ， 𝑚= ．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质 【解析】【分析】（1）过A作AD垂直x轴于D，证明△𝐵𝑂𝐶≌△𝐶𝐷𝐴(𝐴𝐴𝑆) ， 可得OB=CD，OC=AD，根据C（2，0），B（0，4），得A（6，2），而反比例函数𝑦=𝑥的图象经过点A，故𝑘=2×6=12 ， 即可得反比例的函数解析式为𝑦=

112𝑥

𝑘

；

1

（2）求出直线OA解析式为𝑦=3𝑥 ， 可得将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为𝑦=3𝑥+𝑚 ， 再有点（1，n）在反比例函数𝑦=是（1，12），即求出𝑚=

19.【答案】 （1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，

又D为BC中点，O为AB中点， 故OD= 2 AC，OD∥AC， ∴∠ODB=∠ACB=90°． ∵OB=OE， ∴∠OEB=∠OBE，

又∵∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC， ∴∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC， 又∠EBP=∠EBC， ∴∠P=∠OBD． ∵∠BOD+∠OBD=90°， ∴∠BOD+∠P=90°，

1

353

12𝑥

图象上，得n=12，即直线OA向上平移m个单位后经过的点

。

∴∠OBP=90°． 又OB为半径， 故PB是⊙O的切线．

（2）解：∵AC=2， 由（1）得OD= 2 AC=1， 又PD=6，

∴PO=PD+OD=6+1=7．

∵∠P=∠P，∠BDP=∠OBP=90°， ∴△BDP～△OBP． ∴ 𝑂𝑃=𝐵𝑃 ，

即BP2=OP•DP=7×6=42， ∴BP= √42 ．

∴OB= √𝑂𝑃2−𝐵𝑃2=√49−42=√7 ． 故⊙O的半径为 √7 ．

【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）由AB为直径，可得∠ACB=90°，又D为BC中点，O为AB中点，可得OD//AC，从而OD//AC，从而∠ODB=90°．由OB=OE得∠OEB=∠OBE，又因为∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，得到∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，再通过角的转换得到∠BOD+∠P=90°，所以∠OBP=90°．即可证明；

（2）由（1）可得OD=1，从而PO=7，可证明△BDP～△OBP．从而得比例𝑂𝑃=𝐵𝑃 ， 解得BP= √42 ． 最后由勾股定理求解即可。

20.【答案】 （1）解：设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：

900𝑥

𝐵𝑃𝐷𝑃

𝐵𝑃

𝐷𝑃

1

+

400𝑥−5

=100 ，

整理得：x2-18x+45=0， 解得：x=15或x=3（舍去），

经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际， ∴x-5=15-5=10（元），

答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；

（2）解：设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得： w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000， ∵a=-20，

当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，

答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．

【考点】分式方程的实际应用，二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可，分式方程注意验根；

（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值。

21.【答案】 （1）解：连接 𝐵𝐶′ ，

∵ 𝐴𝐶𝐴′𝐶′ ， 𝐵𝐴′ 与 𝐴′𝐶′ 相交与点 𝐴′ ，

//

即既不相交也不平行的两条直线 𝐵𝐴′ 与 𝐴𝐶 所成角为 ∠𝐵𝐴′𝐶′ ， 根据正方体性质可得： 𝐴′𝐵=𝐵𝐶′=𝐴′𝐶′ ， ∴ △𝐴′𝐵𝐶′ 为等边三角形， ∴ ∠𝐵𝐴′𝐶′=60° ，

即既不相交也不平行的两条直线 𝐵𝐴′ 与 𝐴𝐶 所成角为 60° ；

（2）解：①丙； ②如图：作M关于直线AB的对称点 𝑀′ ， 连接 𝑁𝑀′ ，与 𝐴𝐵 交于点P，连接MP， 则 𝑃𝑀+𝑃𝑁=𝑃𝑁+𝑃𝑀′=𝑁𝑀′ ， 过点N作BC垂线，并延长与 𝑀′𝑀 交于点E，

∵点M到 𝐵𝐶 的距离是5，点N到 𝐵𝐶 的距离是3， ∴ 𝑁𝐸=8 ，

∵点M到 𝐴𝐵 的距离是2，点N到 𝐵𝐷 的距离是4， ∴ 𝐸𝑀′=6 ， ∴ 𝑁𝑀′=√𝐸𝑀′2+𝑁𝐸2=√62+82=10 ， 故 𝑃𝑀+𝑃𝑁 最小值为10． 【考点】定义新运算，四边形的综合

【解析】【解答】解：（2）①根据正方体展开图可以判断，

甲中与原图形中对应点位置不符， 乙图形不能拼成正方体，

故答案为丙；

【分析】（1）结合立体图形，得到△𝐴′𝐵𝐶′ 为等边三角形即可求解；

（2）①利用正方形的性质，在结合展开图的性质求解即可；②先将立体图形展开，利用勾股定理求解即可。

22.【答案】 （1）解：∵直线 𝑦=−2𝑥+2 分别交x轴、y轴于点A，B ∴A（3,0），B（0， 2 ），

∵抛物线 𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 经过A（3，0），D（0，3），

3

1

3

∴ {0=−323=−02+3𝑏+𝑐+0+𝑐

，解得 {𝑏=2

𝑐=3

∴该抛物线的解析式为 𝑦=−𝑥2+2𝑥+3 ；

（2）证明：

∵ 𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4 ， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 设直线AD的解析式为y=kx+a，

将A（3，0），D（0，3）代入得： {

3𝑘+𝑏=0𝑏=3∴直线AD的解析式为y=-x+3， ∴E（1，2），G（1，0）， ∵∠EGO=90°， ∴ tan∠𝑂𝐸𝐺=𝑂𝐺

1

𝐸𝐺=2 ∵OA=3，OB= 32 ，∠A0B=90°， ∴ 3tan∠𝑂𝐴𝐵=

𝑂𝐵=

2

𝑂𝐴

3

=12

∴ tan∠𝑂𝐴𝐵=tan∠𝑂𝐸𝐺, ∴∠OAB=∠OEG，

，解得 {𝑘=−1

𝑏=3 ∵∠OEG+∠EOG=90°， ∴∠OAB+∠EOG=90°， ∴∠AFO=90°， ∴OE⊥AB；

（3）解：存在.

∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴C（-1，0）， ∴AC=3-（-1）=4， ∵OA=OD=3，∠AOD=90°， ∴ 𝐴𝐷=√2𝑂𝐴=3√2 ， 设直线CD解析式为y=mx+n，则： −𝑚+𝑛=0𝑚=3

，解得 { {

𝑛=3𝑛=3∴直线CD解析式为y=3x+3，

①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，

∴OM//CD，

∴直线OM的解析式为y=3x， ∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3， ∴3x=-x2+2x+3，解得： 𝑥=−1±√13 ；

2

②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，

∴

𝐴𝑀𝐴𝑂

=𝐴𝐷

𝐴𝐶⋅𝐴𝑂𝐴𝐷

𝐴𝐶

∴ 𝐴𝑀=

=34×3√2=2√2 ，

过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°， ∵∠OAD=45°，

∴ 𝐴𝐺=𝑀𝐺=𝐴𝑀⋅sin45∘=2√2×√2=2

2∴OG=OA-AG=3-2=1， ∴M（1，2），

设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2， ∴直线OM解析式为y=2x， ∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 ∴2x=-x2+2x+3，解得：x=± √3 ． 综上，点P的横坐标为 𝑥=

−1±√13 2

或± √3 ．

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用

【解析】【分析】（1）根据直线𝑦=−2𝑥+2 分别交x轴、y轴于点A，B，求出A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出答案；

（2）E1，2）运用待定系数法求出直线AD的解析式为y=-x+3，得出（，运用三角函数定义得出tan∠𝑂𝐴𝐵=tan∠𝑂𝐸𝐺,进而可得∠OAB=∠OEG，即可证得结论；

（3）运用待定系数法求出直线CD的解析式为y=3x+3，根据以A、O、M为顶点的三角形与三角形ACD相似，分两种情况：①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，从而得出OM//CD，进而得出直线OM的解析式为y=3x，再结合抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，即可求得点P的横坐标；②△AMO∽△ACD时，利用𝐴𝑂=𝐴𝐷 ， 求出AM，进而求得点M的坐标，得出直线AM的解析式，即可求得答案。

𝐴𝑀𝐴𝐶

1

3