圆与相似形的证明题

1.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径. 求证：AB·AC = AE·AD 证明：连结BE

∵ AE⊙O的直径，AD⊥BC ∴ ∠ABE = ∠ = 90° ∵ ∠E = ∠ ∴ △ABE ∽ △ ∴

  ∴ AB·AC = AE·AD

2.如图，由直径AB的端点A引两弦AC、AD，延长AC、AD和过B点的切线分别交 于E、F 求证：

EFAF CDAC证明：连结CB

∵ AB是直径，EF与圆相切于点B ∴ ∠ACB = ∠ABE = 90°

∴ ∠EAB + ∠E = ∠EAB + ∠ABC = 90° ∴ ∠ABC = ∠ 又 ∵ ∠ABC = ∠ ∴ ∠ = ∠ ∵ ∠CAD = ∠FAE ∴ △ ∽ △ ∴

EFAF CDAC3.如图，已知D为△ABC的BC边上一点，且∠ADB = ∠BAC， 过D、C的圆交AC于E，连BE，与圆交于F点。 求证：AB 2 = BF·BE

证明： ∵ ∠ADB = ∠BAC，∠ABD = ∠ABC ∴ △ ∽ △

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∴

  ∴ ∵ BD·BC = BF·BE ∴ AB 2 = BF·BE

4. 如图，已知AD是圆的弦， BD = CD，DE是圆的切线且与弦AB的延长线相交于点E. 求证：AD 2 = AC·AE 证明：连结BD

5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E. 求证：AD·EC = AC·BD 证明：

6. 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：AC·DG = AG·DF 证明：连结CG

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7. 如图，PD切⊙O于D，PC = PD，B为⊙O上一点，PB交⊙O于A，连结AC、BC. 求证：AC·PB = PC·BC 证明：

8. 如图，⊙O是弦AB∥CD，延长DC到E，EB延长线交⊙O于F，连结DF. 求证：AD·ED = BE·DF 证明：连结CB

9. 如图，CD切⊙O于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD. 求证：① PE：AC = PB：PA； ② PE 2 = AC·BD

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10. 如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G. 求证：AB 2 = BG·BC 证明：连结AD

11. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB于M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于E，BE交CD于F.

求证：PF 2 = PD·PC 证明：连结AE

12. 如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D. 求证：① ∠DAC = 2∠B； ② CA 2 = CD·CO

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13. 如图，⊙O 1 和⊙O 2 相交于点A和点B，且O 1 在⊙O 2 上；过点A的直线CD分别与 ⊙O 1 、⊙O 2 交于点C、D，过点B的直线EF分别与⊙O 1 、⊙O 2 交于点E、F，⊙O 2 的弦O 1 D 交AB于P.

求证：① CE∥DF； ② O 1 A2 = O 1 P·O 1 D 证明：

14. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.

求证：①AE∥BD； ②AD 2 = DF·AE 证明：

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15. 已知： ，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED 证明：

16. 如图，AB、AC分别切⊙O于M、N，且BE = EF = FC. 求证：AB = AC 证明：

17. 如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，过E作BC的平行线，交AD的延长线于F，过F点作圆的切线FG，G为切点. 求证：FG = FE

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18. 如图，⊙O与⊙O′外切于点P，AB是外公切线，切点是A、B，AP的延长线交⊙O′于C，CD切⊙O于D. 求证：BC = CD 证明：

19. 如图，A是⊙O上一点，割线PC交⊙O于B、C两点，D是PC上的一点，且PD是PB和PC的比例中项，PD = PA，连结AD，并延长交⊙O于点E. 求证：BE = CE 证明：

20. 如图，△ABC中，AC = BC，以BC为直径的圆与AB、AC分别交于P、Q，过P的切线交AC于M.

求证：① PM⊥AC； ②AM = MQ

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