第一章 有理数(小结)

第一章有理数（小结）

一、基本概念：

正数、负数、有理数、非负数、数轴、相反数、绝对值、倒数、乘方、科学记数法、有效数字、近似数

1、 正数与负数

大于0的数叫做正数。如：0.1，25，

23等。

23在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数。如：—0.1, —25, —等。

0既不是正数也不是负数。 2、 有理数

可以写成分数形式的数叫做有理数。正数、0、负数都是有理数；分数、小数、整数也都是有理数。

有理数的分类：

正整数 整数 零 负正数

有理数 正分数 分数

负分数 正分数 正有理数 正分数 有理数 零 负整数 负有理数 负分数 3、 非负数

0和正数统称为非负数。 4、 数轴

我们把规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5、 相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如：5与—5，—0.25与0.25，与—等。

3311互为相反数的两个数相加得0；反之，相加得0的两个数互为相反数。 6、 绝对值

数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做∣a∣。

（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 如：︳0.3︱=0.3 ， ∣

25∣=

25， ∣0∣=0， ∣a∣0。

1

（2）任何数的绝对值都大于或等于0，即∣a∣0。 7、 倒数

乘积为1的两个数叫做互为倒数。如：2与

12，1与1，0.25与4, 45与54,—1与—1等。

n 幂 8、 乘方

求n个相同因数的积的运算叫做乘方，即 a·a· …… ·a = an an 指数

底数 注：当指数是1时可以省略不写指数，如a1可以写成a，21可以写成2。 10、科学记数法

把一个绝对值大于10的数写成a10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n比原数数位小1）的记数方法叫做科学记数法，如：57000000 = 5.7×107, 380000 = 3.8105。

6根据科学记数法写出原数，如：8.0 = 5108.051000000 = 8050000，

1.96101.961000019600。

411、有效数字

0.02050从左边第一个不是0的数字起，到最后一个数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。如：

有4个有效数字：2，0，5，0；15600有5个有效数字：1，5，6，0，0。 12、近似数

精确到哪一位，就往后看一位是否满5，然后四舍五入取近似数。如：0.053726 = 0.054(精确到0.001)； 0.053726 = 0.0537(精确到万分位)。

按有效数字取近似数时，先把这个数写成科学记数法（a10n的形式），然后再按有效数字对a取近似数。如：对数50480000保留两位有效数字的方法为：504800005.0481075.0107。 二、有理数的运算： 1、绝对值

（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 如：︳0.3︱=0.3 ， ∣25∣=

25， ∣0∣=0， ∣a∣0

（2）任何数的绝对值都大于或等于0，即∣a∣0。 2、比较两个有理数的大小：

（1）数轴的两个数，右边的数大于左边的数，左边的数小于右边的数； （2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数；

（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，绝对值小的反而大。 3、有理数的加法

法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

2

4、有理数的减法

法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a — b = a +（— b） 5、有理数的乘法 法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。

（2）几个不是0的数相乘，当负因数的个数是偶数个时，积为正；当负因数的个数是奇数个时，积为负；然后并把绝对值相乘。

（3）几个因数相乘，如果其中有一个因数是0，积就为0。 6、有理数的除法

法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数，都得0。除以一个不等于0的数，等于乘于这个数的倒数。

n

7、有理数的乘方

运算方法：转化为乘法进行计算，如an= a·a· …… ·a 。例：25= 2×2×2×2×2；2=（2）×（2）×（2）×（2）

运算性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；—1的奇次幂是—1，—1的偶次幂是1。

a0，a224= (a)2，a3=(a)3 ， (a)2≠a2，a3a3（当a不为0时），a3(a)3（当a不

为0时）

注意：因为(a)2与a2表示的意义不一样，(a)2表示a的2次方（即两个a相乘）；a2表示a的2次方的相反数，所以，当a≠0时，(a)2≠a2。

8、有理数的混合运算

运算顺序：（1）先乘方，在乘除，最后加减；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

9、去括号的口诀： 同号得正，异号得负。 三、运算律： 1、加法交换律

两个数相加，交换加数的位置，和不变。即：abba 2、加法结合律

三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即：(ab)ca(bc) 3、乘法交换律

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即：abba 4、乘法结合律

三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变。即：(ab)ca(bc) 5、乘法分配律

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即：a(bc)abac（正用分配律），abaca(bc)（逆用分配律）

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注：运用运算律，可以使运算简便，但要注意不要滥用运算律。

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