一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 已知集合P={＞0}，Q={x -1＜x＜1}，则P∩Q=（ ）
A. (−1,1) B. (0,1) C. (0,+∞) D. (−1,+∞)
=（ ） 2. 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶− 𝐴𝐷
A. B. C. D. 𝐴𝐷𝐷𝐴 𝐶𝐷 𝐷𝐶
x
3. 设函数f（x）=log2x+2-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) fx）=sin2x的图象向右平移6个单位，4. 将函数（所得图象对应的函数表达式为（ ）
𝜋
A. 𝑦=sin(2𝑥−6) B. 𝑦=sin(2𝑥+6) C. 𝑦=sin(2𝑥−3) D. 𝑦=sin(2𝑥+3)
5. 已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列函数中，周期为π，且在区间（4，2）上单调递减的是（ ）
𝜋
𝜋
𝜋𝜋𝜋𝜋
A. 𝑦=sin𝑥cos𝑥
7. 已知a=（9）1
1
3
B. 𝑦= cos2𝑥
19
C. 𝑦=tan(𝑥+4) D. 𝑦=sin𝑥−cos𝑥
𝜋
，b=log93，c=3
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. 𝑎>𝑏>𝑐
𝜋
B. 𝑐>𝑎>𝑏 C. 𝑎>𝑐>𝑏 D. 𝑐>𝑏>𝑎
8. 定义在区间（0，2）上的函数y=2cosx的图象与函数y=3tanx的图象的交点为M，
则点M到x轴的距离为（ ）
3 A. 2
B. 3 C. 1
D. 2 1
9. 已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）=-f（x-1），则函数f（x）在区间[-1，1）
上的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在平面内，△ABC是边长为3的正三角形，四边形
EFGH是边长为1且以C为中心的正方形，M为边GF的中点，点N是边EF上的动点，当正方形EFGH绕中心C转
⋅ 的最大值为（ ） 动时， 𝐴𝑁𝐶𝑀
A. 4
B. 35+14 C. 3 2+14
7
D. 2
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
=______． 11. 计算：tan120°
12. 求值：𝑙𝑔2+𝑙𝑔5+(−8)3=______．
1
+2 ， 𝑂𝐴= 𝑂𝐵𝑂𝐶，则𝐴𝐵=______． 13. 已知不共线的三个向量 𝑂𝐴， 𝑂𝐵𝑂𝐶满足 33 𝐴𝐶
α
14. 已知幂函数f（x）=x的图象过点（4，2），则α=______；log3f（3）=______． 15. 若两个非零向量𝑎 ， 𝑏满足𝑎 + 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 =2 𝑏，则向量𝑎 + 𝑏与𝑎 − 𝑏的夹角的大
小为______．
1
3
16. 已知函数𝑓(𝑥)= 2𝑥,𝑥<0若f（x）在(𝑎，𝑎+2)上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是______．
22
17. 设关于x的方程x-ax-2=0和x-x-1-a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜
x2＜x4，则a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）
2
18. 已知函数f（x）=2cosx+2 3sinxcosx-1．
（Ⅰ）求𝑓(3)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和单调递增区间．
， 是同一平面内的三个向量，其中𝑎19. 已知向量𝑎 =(1， 3)． 𝑏，𝑐
（Ⅰ）若 𝑏 =4，且 𝑏∥𝑎 ，求向量 𝑏的坐标；
+𝑐 )⊥(2𝑎 −3𝑐 )，求𝑎 ⋅𝑐 ． （Ⅱ）若𝑐 = 2，且(𝑎
xx+1
20. 已知函数f（x）=（2-1）（2-3）-a，其中a是常数．
（Ⅰ）若a=6，且f（x）≥0，求实数x的取值范围；
𝜋
(𝑥−1)2,𝑥≥03
（Ⅱ）若方程f（x）=0有两个不相等实根，求实数a的取值范围．
21. 已知函数f（x）=log2（a+𝑥−2），其中a为实数．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞log2（x-2a +2）对任意x∈[3，6 恒成立，求实数a的取值范围．
4
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：P∩Q=（0，1）． 故选：B．
进行交集的运算即可．
考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算． 2.【答案】D
【解析】
解：故选：D．
==．
直接用向量加减法容易得解． 此题考查了向量加减法，属容易题． 3.【答案】B
【解析】
x
解：函数f（x）=log2x+2-3，在x＞0时是连续增函数，
因为f（1）=log21+2-3=-1＜0，f（2）=log22+4-3=1+1＞0，
所以f（1）f（2）＜0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）． 故选：B．
判断函数的单调性与连续性，利用零点判定定理求解即可．
本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性的判断是一疏忽点． 4.【答案】C
【解析】
解：函数y=sin2x的图象向右平移是y=sin2（x-故选：C．
）=sin（2x-），
个单位，那么所得的图象的函数解析式
根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题． 5.【答案】D
【解析】
解：∵函数y=f（x）+x是偶函数， ∴f（-2）-2=f（2）+2，
∴f（-2）=f（2）+2+2=5． 故选：D．
由函数y=f（x）+x是偶函数，得f（-2）-2=f（2）+2，得f（-2）=f（2）+2+2=5． 本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题． 6.【答案】A
【解析】
解：∵y=sinx-cosx=sin（x-）的最小正周期为2π，故D错误，排除D．
=π，在区间（
）上，2x∈（
，π），
∵y=sinxcosx=sin2x的最小正周期为函数单调递减，故B正确． ∵y= cos2x 的最小正周期为故选：A．
，故C不满足条件，故排除C，
利用正弦函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题． 7.【答案】D
【解析】
解：∵a=（）＜∴c＞b＞a． 故选：D．
=，b=log93=，c=3＞1，
利用幂函数指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了幂函数指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8.【答案】B
【解析】
解：由题意，令2cosx=3tanx，x∈（0，
2
可得2cosx=3sinx， 2
即2-2sinx=3sinx， 2
即2sinx+3sinx-2=0，
），
求得sinx=， ∴x=
，
=2×
=
．
．
∴y=2cos
即点M到x轴的距离为故选：B．
由题意令2cosx=3tanx，x∈（0，），
求出x的值，再计算对应的y值．
本题考查了正切函数和余弦函数的应用问题，是基础题． 9.【答案】C
【解析】
解：由函数f（x）满足f（x）=-f（x-1），可知， 把f（x）在[-1，0 上的图象向右平移一个单位， 然后再关于x轴对称得到f（x）在（0，1 上的图象， 故只有C满足． 故选：C．
函数的图象的平移和对称即可判断．
本题考查了函数的图象的平移和对称，属于基础题． 10.【答案】A
【解析】
解：=∵当
，
共线反向时， 的最小值为
∴故选：A．
的最大值为
，
=，
把向量用表示，所求数量积化为两个数量积的差，新的数量积最
值容易确定，进而得解．
此题考查了数量积，数形结合分析最值等，难度适中． 11.【答案】− 3
【解析】
=-tan60°=解：tan120°故答案为：-．
．
利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查． 12.【答案】-1
【解析】
解：=lg10+（-2）
=1-2 =-1． 故答案为：-1．
利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.【答案】2
【解析】
解：由得∴∴∴
=2，
=
， ， ，
故答案为：2．
在原式两边同时减去，不难转化为的关系，得解．
此题考查了向量之间的数乘关系，难度不大． 14.【答案】2 2 【解析】
α
解：幂函数f（x）=x的图象过点（4，2）， α
∴4=2，
11
解得α=； ∴f（x）=
，
=．
∴log3f（3）=log3f（3）=log3故答案为：，．
根据幂函数的图象过点（4，2）求出α的值，写出f（x）的解析式，再计算log3f（3）的值．
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 15.【答案】3
【解析】
𝜋
解：非零向量则：所以即：
，
满足
，
，
=
则：
．
．
，
故答案为：
直接利用向量的夹角运算和数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算的应用，向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 16.【答案】（-2，0）
【解析】
1
解：f（x）的图象如图所示
∵f（x）在∴
，
上既有最大值又有最小值，
解得-＜a＜0，
故a的取值范围为（-，0）， 故答案为：（-，0），
画出函数f（x）的图象，若f（x）在象得到
，解得即可．
上既有最大值又有最小值，结合图
本题考查了函数的图象和画法和识别，以及函数的最值问题，属于中档题． 17.【答案】（-1，1）
【解析】
2
解：由x-ax-2=0，得2
得a=x-x-1．
2
，由x-x-1-a=0，
在同一个坐标系中画出的图象如图：
2
和y=x-x-1
由
32
，化简得x-2x-x+2=0，此方程显然有根x=2，
32
∴x-2x-x+2=（x+1）（x-1）（x-2）=0，解得x=-1或x=1或x=2，
当x=2，或x=-1时，y=1；当x=1时，y=-1， 由题意可知，-1＜a＜1． ∴a的取值范围是（-1，1）． 故答案为：（-1，1）．
2
由x-ax-2=0，得
22
，由x-x-1-a=0，得a=x-x-1．在同一个坐标系中画出
2
和y=x-x-1的图象，求出两函数的交点坐标，数形结合得答案．
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题． 18.【答案】（本题满分12分）
2
解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosx+2 3sinxcosx-1
= 3sin2x+cos2x=2sin（2x+6），…（4分） ∴𝑓(3)=2𝑠𝑖𝑛(2×3+6)=1．…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+6)，
当2x+6=2π+2，即x=π+6时，f（x）max=2，…（9分） 由2π-2≤2x+6≤2π+2，得π-3≤x≤π+6，（∈），
所以，单调递增区间为：[π-3，π+6，（∈）． …（12分） （其他解法酌情给分） 【解析】
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=2sin（2x+），利用特殊角的三角函数值即可计算得解． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，利用正弦函数的图象和性质即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.【答案】（本题满分12分）
解：（Ⅰ）令 𝑏=𝜆𝑎 =(𝜆， 3𝜆)， 则 𝜆2+3𝜆2=4，
2
解得λ=4，λ=±2，…（4分） =(2，2 3)，或𝑏 =(−2，−2 3)…（6分） ∴𝑏
+𝑐 )⊥(2𝑎 −3𝑐 )， （Ⅱ）∵(𝑎 +𝑐 )⋅(2𝑎 −3𝑐 )=0，…（9分） ∴(𝑎
22
∴𝑎 ⋅𝑐 =2𝑎 −3𝑐 =2×4−3×2=2．…（12分） 【解析】
（Ⅰ）令（Ⅱ）由
，则，得
=4，由此能求出结果．
，由此能求出结果．
本题考查向量的坐标、向量的数量积的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20.【答案】解：（Ⅰ）由已知a=6，且f（x）≥0，
xx2
可得2•（2）-5•2-3≥0，
可得2≥3或2≤-2（舍去），
解得x≥log23，
则x的取值范围是[log23，+∞）；
xx+1xx2
（Ⅱ）f（x）=（2-1）（2-3）-a=2•（2）-5•2+3-a，
x
令t=2，则方程f（x）=0有两个不相等的实根等价于方程 2t2-5t+3-a=0有两个不相等的正实根t1，t2， (−5)2−8⋅(3−𝑎)＞0 5
则有 𝑡1+𝑡2＞0⇒2＞0
3−𝑎 𝑡1⋅𝑡2＞0＞0 2
△＞0⇒−8＜𝑎＜3． 【解析】
1
xx
1
（Ⅰ）求得a=6时的不等式，由指数不等式的解法可得所求解集；
x2
（Ⅱ）可令t=2，则方程f（x）=0有两个不相等的实根等价于方程2t-5t+3-a=0
有两个不相等的正实根t1，t2，由判别式大于0和韦达定理，解不等式即可得到所求范围．
本题考查指数不等式的解法，考查函数方程的转化思想，以及二次方程实根的分布，考查运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）∵a=1，∴𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2𝑥−2
由𝑥−2＞0，解得：x＜-2或x＞2，
∴f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞） …（5分）
（Ⅱ）由题意log2（a+𝑥−2）＞log2（x-2a +2）对任意x∈[3，6 恒成立， 即x-2a -𝑥−2+2-a＜0在x∈[3，6 恒成立， 记g（x）= x-2a -𝑥−2+2-a，则g（x）max＜0， 𝑥−+2−3𝑎，𝑥≥2𝑎
𝑥−2…（9分） 又g（x）= 4−𝑥−+2+𝑎，𝑥＜2𝑎
𝑥−244
4
4
𝑥+2
𝑥+2
（1）当2a＜3，即a＜2时，g（x）=x-𝑥−2+2-3a， 此时g（x）在x∈[3，6 上单调递增， 所以只需g（6）＜0，得a＞3， ∴a∈∅；
（2）当2a＞6即a＞3时，g（x）=-x-𝑥−2+2+a=-（x-2+𝑥−2）+a， 又y=x-2+𝑥−2在x∈[3，4 上单调递减，在[4，6 上单调递增， ∴g（x）max=g（4）＜0，得a＜4，
∴3＜a＜4；
（3）当3≤2a≤6即2≤a≤3时，由（1）和（2）可知 g（x）max=max{g（4），g（6）}=max{a-4，7-3a}， 得a-4＜0且7-3a＜0，即3＜a＜4， ∴3＜a≤3，
综上所述，3＜a＜4．…（14分） 【解析】
7
7
7
3
4
4
4
7
34
（Ⅰ）代入a的值，求出函数的解析式，解不等式求出函数的定义域即可； （Ⅱ）问题转化为 x-2a -+2-a＜0在x∈[3，6 恒成立，记g（x）= x-2a -
+2-a，则g（x）max＜0，求出函数的最大值，从而确定a的范围即可． 本题考查了函数的定义域问题，考查函数的最值以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
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