河南科技大学 高等数学作业及其答案2

作业题答案

1． 计算极限

(x,y)(0,0)limsin[(y1)x2y2]xy22.

解：利用limt0sint1，得 t22(x,y)(0,0)limsin[(y1)x2y2]xy(x,y)(0,0)limsin[(y1)x2y2](y1)xy22(y1)

(x,y)(0,0)limsin[(y1)x2y2](y1)xy22(x,y)(0,0)lim(y1)

1. 2． 设zlnxlnyarctanxy，求dz. 解：

z1yz1x，， xxlny1x2y2yy(xlny)1x2y2所以 dz1y22xlny1xyyx1xdxy(xlny)1x2y2dy. 3． 设uf(x2y2,)，其中f具有一阶连续偏导数，求

uu,. xy解：

uyu12xf1'2f2'，2yf1'f2'. xyxxxeusinvuv4． 设，求,. u2yyye3vvuu0ecosvyy解：方程组中两个方程分别对y求导，得，

vuu1e6vyy所以

ucosvcosv， y6veueucosv(6vcosv)euveu1. y6veueucosv6vcosv

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高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用

zy5． 设ux(x0,x1,y0)，求证：

yxuxyuyzuzu. zzuzy1解：将y和z视为常量，对x求导，得 x；

xyuzzyxylnxxlnx； 将x和z视为常量，对y求导，得 2yyyyuz1yxylnxxlnx， 将x和y视为常量，对z求导，得 zzyy从而

zzzzzzzyxyxzy1z1uxyuyzuz=xy(2)xylnxzxylnx=xyu.

zyyyz6． 已知函数yy(x)由方程ey6xyx210确定，求y(0). 解：方程两边对x求导，得

eyy6y6xy2x0， 上式两边对x求导，得

ey(y)2eyy6y6y6xy20.

z212yey(y)22x6y又 y(0)|x00，所以 y(0)yy6xey6xe02.

x0y0x2y2z23x07． 求圆周曲线在点M(1,1,1)处的切线和法平面方程.

2x3y5z40dzdy2y2z32xdxdx解：方程两边对x求导，并移项得：

dydz352dxdx 

dy1510x4zdz96x4y， ， dx10y6zdx10y6zdy9dz1. ，

dx(1,1,1)16dx(1,1,1)16

从而可取切向量T(16,9,1)，故所求切线方程为：

x1y1z1, 1691法平面方程为：16(x1)9(y1)(z1)0 即 16x9yz240.

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高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用

8． 证明曲面xyz于常数a2.

232323a上任意一点的切平面在各坐标轴上截距的平方和等

23232323解：令F(x,y,z)xyza，则 Fxx，Fyy，Fzz，

333故在曲面上任一点(x0,y0,z0)处切平面方程为：

23232323111x0(xx0)y0(yy0)z0(zz0)0.

上式中令yz0得切平面在x轴上截距为：

131313xx0x(yz)x(xyz)xa.

由曲面方程对称性可知切平面在y,z轴上截距分别为：

yya， zza.

因此，x2y2z2(a)2(xyz)aaa2.

9． 如果函数f(x,y)在点A(1,2)处的从点A(1,2)到点B(2,2)方向导数为2，从点

232302302304323130231302313023023013023023023013023A(1,2)到点C(1,1)方向导数为2，求：

(1) 该函数在点A(1,2)处梯度；

(2) 点A(1,2)处的从点A(1,2)到点D(4,6)方向的方向导数.

解：已知：AB(1,0) ，AC(0,1) ，AD(3,4)

10f(1,2)f(1,2)2xy22221010 

01fy(1,2)2fx(1,2)22220(1)0(1)  fx(1,2)2 ，fy(1,2)2

(1).gradf(1,2)fx(1,2)ify(1,2)j2(ij).

(2).fAD(1,2)fx(1,2)33242fy(1,2)43242232414 55510. 一厂商通过电视和报纸两种方式做销售某种产品的广告。据统计资料，销售收入R（万元）与电视广告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）之间的关系有如下

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高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用

的经验公式：

R1514x32y8xy2x210y2,

试在广告费用不限的前提下，求最优广告策略.

（提示：所谓最优广告策略是指，如何分配两种不同传媒方式的广告费用，使产品的销售利润达到最大。）

解：设利润函数为f(x,y)，则

由

f(x,y)R(xy)1513x31y8xy2x10y,22(x,y)R2

fx138y4x0, f318x20y0,y解得唯一驻点（0.75，1.25）,根据实际意义知，利润f(x,y)一定有最大值，且在定义域内有唯一的驻点，因此可以断定，该点就是利润的最大值点。因此当x0.75（万元），y1.25（万元）时，厂商获得最大利润f(0.75,1.25)39.25（万元）。

练习题答案

yex1. 设f(xy,lnx)1y，求f(x,y) xxeln(x)解：令xyu，lnxv，则

yexxyexy(xy)exyueuf(u,v)f(xy,lnx)1y2lnx2v， xxxxlnxeln(x)elnxvexex所以 f(x,y).

ye2y2. 设z12xfxy，其中f 可导，求zx.

解：zx11f2x. 2yf- 12 -

高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用

3. 已知yetyx，而t是由方程y2t2x21确定的x，y的函数，求

解：将两个方程对x求导数，得

dy. dxyety(tyyt)1

2yy2tt2x0解方程可得

dytxyety . dxt(y2t2)ety122(xy)sin4. zf(x,y)x2y20（1） 在(0,0)处是否连续？ （2） fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

(x2y20),(x2y20),

（3） 偏导数fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)处是否连续？ （4） f(x,y)在(0,0)处是否可微？

解：（1）函数f(x,y)在(0,0)处是否连续，只要看limf(x,y)f(0,0)是否成立.因为

x0y0

limf(x,y)lim(x2y2)sinx0y0x0y01xy22lim2sin010f(0,0).

所以

f(x,y)在(0,0)处连续.

（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求. 因为

(x)2sinx01(x)x20limxsinx0limf(x,0)f(0,0)limx0x1(x)20,

所以 fx(0,0)0，类似地可求得fy(0,0)0.

(3) 当(x,y)(0,0)时

1fx(x,y)2xsin(x2y2)cosx2y2x2y22112xx2y23 - 13 -

高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用

2xsin1xy22xxy22cos1xy22.

1x1因为 limfx(x,y)lim2xsincosx0x0x2y2x2y2x2y2y0y0所以fx(x,y)在(0,0)处不连续。同理fy(x,y)在(0,0)处也不连续

不存在， （4）由于fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)处不连续，所以只能按定义判别f(x,y)在(0,0)处

是否可微.

由fx(0,0)0，fy(0,0)0，故

x0y0limz[fx(0,0)xfy(0,0)y](x)(y)22[(x)2(y)2]sinlimx0y021(x)(y)2220

(x)(y)(x)2(y)2sin1

lim1(x)(y)22x0y0

limsinx0y00.

由全微分定义知f(x,y)在(0,0)处可微，且df(0,0)0.

5. 求曲面x22y23z221平行于平面x4y6z0的切平面方程. 解：曲面在点(x,y,z)的法向量为 n ＝(Fx,Fy,Fz)(2x,4y,6z)，

已知平面的法向量为n1＝(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n//n1,从而有

2x4y6z 146又因为点在曲面上，应满足曲面方程

（1）

x22y23z221

（2）

由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及(1,2,2), 所求切平面方程为：

(x1)4(y2)6(z2)0 (x1)4(y2)6(z2)0。

或

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高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用

6. 在椭球面2x22y2z21上求一点，使函数f(x,y,z)x2y2z2在该点沿

l(1,1,0)方向的方向导数最大.

解：因为el11,,0, 所以

22ff1f1f02(xy) lx2y2z由题意，要考查函数2(xy)在条件2x22y2z21下的最大值，为此构造拉格朗日函数

F(x,y,z)2(xy)(2x22y2z21).

令

Fx24x0,Fy24y0, Fz2z0,2222x2yz1.解得可能取极值的点为,12111,0 及 ,,0. 222因为所要求的最大值一定存在，比较

fl知,11,,0222，

fl11,,0222，

121,0为所求的点. 22227. 求由方程xyz2x2y4z100确定的函数zf(x,y)的极值. 解：法1：将方程分别对x,y求偏导，并联立方程组

2x2zzx24zx0  (1)

2y2zz24z0yy由函数取极值的必要条件为：

zx0 (2) z0y 将(2)代入(1)得：x1,y1 p(1,1)为驻点. 将(1)的两个方程分别对x,y求偏导得：

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高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用

Azxx Bzxyp(z2)2(1x)2(2z)30

p1 (3) 2zpCzyyp(z2)2(1y)2(2z)3p1 2zACB210 (z2)，  zf(x,y)p取极值.

(2z)2将x1,y1代入原方程得：z12,把z12代入(3)：Az26.

12zz210，  zf(1,1)2为极小值. 410， zf(1,1)6为极大值. 4把z26代入(3)：A12zz6法2：配方法：原方程可变形为：(x1)2(y1)2(z2)216

 z216(x1)2(y1)2

当x1,y1时，根号中的极大值为4，由此可知z24为极值，z6 显然，

z2为极小值.

8. 某城市的大气污染指数P取决于两个因素，即空气中固体废物的数量x和空气中有害气体的数量y.它们之间的关系可表示成

P(x,y)x22xy4xy2

(0x,y).

（1）计算Px(10,5)和Py(10,5)，并说明它们的实际意义；

（2）当x增长10%，y5不变或x10不变，y增长10%，该城市的空气污染的情

况怎样？

（3）当x增长10%，y减少10%，该城市的空气污染是否有所改善？

解： （1）由Px(x,y)2x2y4y,Py(x,y)2x8xy，得

2Px(10,5)130,Py(10,5)420.

根据偏导数定义，Px(10,5)表示当空气中有害气体y5且固定不变，P对x（当

x10时）的变化率，也就是说y5是常量，x是变量，且x自10发生一个单位的改变

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高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用

时，大气污染指数P大约改变Px(10,5)个单位.

同理，Py(10,5)表示当空气中固体废物x10不改变时，P对y（当y5时）的变化率，或者说，当x10不变，y自5发生一个单位的改变时，大气污染指数P大约改变

Py(10,5)个单位.

(2) 显然Px(x,y),Py(x,y)在点(10,5)处连续，根据增量公式，有

PP(10x,5y)P(10,5)Px(10,5)xPy(10,5)xo()

130x420xo()130x420x，

其中

(x)2(y)2.

当y5，x增长10%时，x1010%=1, y0，则有

xPPx(10,5)xo(|x|)Px(10,5)130；

当x10，y5，y510%=0.5时,有

yPPy(10,5)yo(|y|)4200.5210.

由此可见，当自变量x，y在点(10,5)处一个保持不变，另一个增加10%时，引起大气

污染的程度是不同的，有害气体对大气污染的程度较严重.

（3）由于x10，y5，x增长10％，即x1；y减少10％，即y0.5，此

时大气污染指数的增量为

PP(101,50.5)P(10,5)Px(10,5)xPy(10,5)y80，

即大气污染得到一定的治理，空气状况有所改变.

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