经济类考研数学[1]

模拟试题选讲（微积分部分）

2x1.设g(x)x2x2，f(x)x0xx0x0x0 ，则g[f(x)]（ ）

x0x0x0x02x2A.2x2x2C.2x2x2 B.x02xx02x2 D.x02xx0

知识点：分段函数的复合。

2.设函数f(x)在(,)内可导，且对x1x2，有f(x1)f(x2)，则（ ）。

A.对x,有f(x)0 B.对x,有f(x)0

C.f(x)单调增加 D.f(x)单调增加

知识点：

（1）函数单调性判别条件的充分性与必要性；（2）f(x)、f(x)与f(x)的图象关于坐标轴的对称性。

3.设f(x)在x0处连续，且对一切x1,x2，恒有f(x1x2)f(x1)f(x2) 证明f(x)在(,)内连续。

知识点：用定义证明函数的连续性； 4．若lim1x0x1ln[1f(x)sinx]，其中1,0，则limf(x)x2 。

x0知识点：极限类型的判定及等价无穷小替换。

5. 设f(x)在x0处连续，且lim知识点：

（1）极限类型的判定及等价无穷小替换；（2）连续性在求极限中的应用；（3）用定义求函数在一点处的导数。

1

ln[1sinxf(x)]xx03则f(0) 。

6. 设f(x)的导数连续，f(0)0，且当x0时。 f(0)（ ）

A. 0 B. 2 C. 2f(x)0f(t)dt与x2是等价无穷小，则

D. 32

知识点：

（1）用极限表示等价无穷小；（2）变上限函数求导（类型2）；（3）用定义求函数在一点处的导数；（4）抽象复合函数求导的方法。

x2(xt)sintdt07.设f(x)kx02x0，f(0)存在且不为零，则k（ ）。 x0A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

知识点：

（1）用定义求分段函数在分段点处的导数；（2）罗必塔法则；（3）变上限函数求导（类型2、3）。

xtf(t)dt08.设F(x)2xAx0，其中fx0具有连续的一阶导数，f(0)0。（1）求A，

使F(x)连续；（2）讨论F(x)的连续性。

知识点：

（1）分段函数连续性的判定；（2）分段函数导数的求法；（3）罗必塔法则及变上限函数求导。

9.设yf(x)有连续的导数，且在点(1,0)处有yx(x)，则

lime1xf(t)dt2x0ln(1x) 。

知识点：

（1）函数“可微”定义表达式的含义；（2）罗必塔法则以及等价无穷小替换；（3）变上限函数求导（类型2）；（4）连续性在求极限中的应用。

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10. f(x)有连续的二阶导数，且limf(x)f(x)1exx0。 1，则f(0)0（ ）

A.是f(x)的极大值 B.是f(x)的极小值 C.不是f(x)的极值 D.是否极值不能判定

知识点：

（1）罗必塔法则使用的条件； （2）根据极限类型确定部分极限值的方法；（3）判定极值的第二充分条件。

11.设f(x)在x0的某邻域内有连续的二阶导数，且f(0)f(0)0，则（ ）。

A.x0B.x0C.当lim是f(x)的零点 是f(x)的极值点

f(x)ln(1|x|)f(x)ln(1x)1时，(0,f(0))为拐点

x0D.当limx01时，(0,f(0))为拐点

知识点： （1）零点与极值点的判定；（2）判定拐点的充分条件；（3）左右极限与保号性的应用。

12. 设yf(x)二阶可导，如果f(x)既有极值又有拐点，则f(x)的图象可能是（ ）。

A. B. C. D.

知识点：

（1）读图要领：值的正负、单调性、零点、极值点；（2）判定极值拐点的充分条件。

13.讨论k为何值时f(x)xlnxk在其定义域内的零点个数分别为0、1、2个。 知识点：

（1）函数图象的描绘；（2）参数对曲线与x轴交点个数的影响。

3

14.lim(n4arctan2nn1)（ ）

nA.e B.e222 C.e D. e

知识点：

（1）数列极限向函数极限的转化； （2）幂指函数极限的求法；（3）0型极限的倒代换以及多层复合函数求导。

15.曲线y(45x)e知识点：

（1）求斜渐近线斜率与截距的公式； （2）求极限的裂项法、等价无穷小替换或倒代换。

16.设a1a23(1)n11x的斜渐近线是 。

an2n10，证明方程

a1cosxa2cos3xancos(2n1)x0

在(0,)内至少有一个实根。

2知识点：

对原函数运用罗尔定理证明方程有根。

17. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)，使 f()(ab)f()0 （a,b为常数且b0）

知识点：

用罗尔定理证明含f()等式时构造辅助函数的乘因子法。

18. 设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内二阶可导，且

limln[2f(x)]cosx120x21f(x)dxf(2)

证明至少存在一点(0,2)，使 f()f()0

知识点：（1）运用各种方法从已知关系式中挖掘隐藏的条件（根据极限类型求值、罗必塔法则、积分中值定理、罗尔定理等）；（2）将f(x)看作一个整体构造辅助函数的方法。

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19.（课后练习）某商品的成本函数与需求函数分别为 C(Q)aQ2bQc,Q其中a,b,c,d,e为正常数，且bd，求

（1）利润最大时的产量及最大利润；（2）需求弹性；（3）||1时的产量 知识点：（1）最大利润问题；（2）需求弹性的计算；（3）符号运算。

20. 某商品定价1元时，每月销售20000件；定价1.5元时，每月销售15000件；若需求函数是线性的，且固定成本为10000元，可变成本为0.8元/件，求

（1）边际利润函数；（2）价格p为何值时边际利润为零；（3）价格p2时的利润。 知识点：

（1）需求、收益、成本、利润等函数的建立；（2）边际函数的求法及相关的计算。

21.若ex是f(x)的一个原函数，则x2f(lnx)dx 。 知识点：“F(x)是f(x)的一个原函数”的三种数学表达式及其应用。 22.01e(dP)

。 1sinxdx（ ）

A.224 B.424 C.424 D.224

知识点：

（1）含1sinx的积分，常与1sinx相乘转化； （2）分段函数积分的区间可加性。 23.设

xf(x)e,lim2xf(x)0，求

0xf(x)dx2。

知识点：

（1）广义积分的计算方法； （2）0型极限的运算；（3）典型积分x3exdx的计算方法（换元与分部）。

24. 设yf(x)满足y知识点：

（1）函数“可微”定义表达式的含义；（2）凑微分法与积分公式a2x2dx的应用。

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21x2xx2x(x)且y(1)1，则y(x)dx 。

0125.设f(x)为连续正值函数，证明x0时函数(x)知识点：

x0tf(t)dtx单调增加。

0f(t)dt（1）判别单调性的充分条件及变上限函数求导（类型1）；（2） 商的求导法则；（3）定积分的保号性；（4）含参变量定积分的处理方法。

26. 设f(x)是(,)内单调增加的奇函数，则F(x)（ ）。

A.单调增加的非奇非偶函数 B.单调减少的非奇非偶函数 C.单调增加的奇函数 D.单调减少的奇函数

x0(2tx)f(xt)dt是

知识点：（1）变量替换可将变上限函数类型4化为类型3；（2）判别函数奇偶性的各种结论；（3）变上限函数的单调性及积分中值定理；（4）f(t)dt在(,)上要讨论x0与x0两种情况。

0x27.设f(x)sinx440f(2x)dx，求20f(x)dx。

知识点：

（1）定积分换元法；（2）确定函数表达式中未知常数的“假设、循环利用假设”方法；（3）

公式2sinnxdx的应用。

0

28.曲线yx(x1)(x2)与x轴所围图形面积可表示为（ ）。

A.C.2120101021ydxydx B.ydx2ydx

ydx D.ydx

0知识点：（1）三次曲线的形状；（2）曲边梯形面积的表示方法。

29. 设曲线y(x1)2与该曲线在点(2,1)处的法线以及x轴所围图形面积为D，则

D绕x轴旋转一周所成旋转体体积为（ ）。

A.1315 B.815 C.23 D.15

知识点：

（1）法线方程的求法；（2）旋转体体积的求法。

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30.设f(x)在[0,)上连续且单调增加，证明对任意的ba0，有

知识点：

baxf(x)dx12[bf(x)dxaf(x)dx]

00ba（1）通过构造辅助函数并研究其单调性的方法是证明定积分不等式的常用方法；（2）比较定积分和代数式的大小，常用积分中值定理。

31. 设在全平面上

A.fx0,fy0，则当（ ）时可使f(x1,y1)f(x2,y2)。

x1x2y1y2 B.x1x2y1y2 C.x1x2y1y2 D.x1x2y1y2

知识点： 偏导数的几何意义。 32.设zyf(xy)22，其中f可导，求

1zxx1zyy。

知识点：外层一元、内层多元的抽象复合函数的一阶偏导数求法。

33.若f,g均可微，zf(xy,lnxg(xy))，则xzxyzy 。

知识点：外层、内层均为多元的抽象复合函数的一阶偏导数求法及链导法则的使用。

34.设zf(x2,y2z)，其中f可微，则dz 。

知识点：（1）抽象隐函数的一阶偏导数求法及链导法则的使用；（2）全微分求法。 35. 设f(x,y)可微，f(x,3x)x4。若fy(1,3)23，则fx(1,3)（ ）。 D. 2

A. 1 B. 1 C. 2知识点：外层多元、内层一元的抽象复合函数的一阶偏导数求法及链导法则的使用，且本题中的fy等价于f2。

36.设zz(x,y)由zlnzxyt2edt确定，求

zxy2。

知识点：（1）求多元隐函数一阶偏导数的公式法与二阶偏导数的直接求导法；（2）变上限函数的导数（类型1）。

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37. 某土地拥有者拥有一块100亩的土地，该土地可以平均分成n块出租给农户。若每块土地的大小为x，则要吸引农户耕种需满足关系xR1，其中R是每块土地上收取的地租。问应将土地分成几块出租可使租金总额最大？此时每块土地的大小为多少？

知识点：条件极值与拉格朗日乘数法。

要点：首先分析影响租金总额的因素（土地大小x和单位租金R），然后确定目标函数和约束条件。

38.若D是以A(1,1)、B(1,1)、C(1,1)为顶点的三角形区域，则

[Dxy1sin(xy)2]dxdy22（ ）。

A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

知识点：（1）积分区域的“分割术”：化整体不对称为局部对称，以便利用被积函数的奇偶性；（2）二重积分性质dA（D的面积）的应用。

D39. 计算I知识点：

xydxdyD，D由yx、y1x2与y2xx围成。

（1）积分区域的“挖补术”：化不规则为规则；（2）各类圆域的极坐标表示法及极坐标系下二重积分的计算。

40. 求通解：知识点：

（1）齐次方程的解法；（2）对以u为未知函数的微分方程分离变量时，要在分母不为零的情况下求通解，并单独讨论分母为零时方程还有哪些解（可利用uy/x）。

41.若f(x)可导，且满足f(x)1知识点：

（1）含变上限函数的方程（积分方程）求导可化为微分方程；（2）一阶线性齐次微分方程的通解公式；（3）在原积分方程中 给x取值，使积分上下限相等，可得到微分方程的初始条件。

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e1xdydx2xyy22x4xy

f(lnt)dt，则f(1) 。

42. 若可导函数f(x)在(0,)满足xf(tx)dt2f(t)dtxf(x)x3，且f(1)0，

001x求f(x)。

知识点：

（1）含参变量积分f(tx)dt的转化（作代换txu）；（2）积分方程求导可化为微分方程；

01（3）一阶线性非齐次微分方程通解公式的运用及特解的求法。

43. 若yy(x)在[0,)可导，且对x0满足y(1y)x0时与xyxx，其中是

等价的无穷小量。若y(1)1，求y(x)。

知识点：

（1）等价无穷小量的极限表达式；（2）函数连续的充要条件：limy0；（3）一

x0阶线性非齐次微分方程通解公式的运用及特解的求法。

44.数项级数n2(1)nn （ ）。

n(1)A. 发散 B. 条件收敛 C.绝对收敛 D. 敛散性不能确定

知识点：

（1）通项的分子分母均含有(1)n的处理方法；（2）级数敛散性判别法。

n12x2n45.求幂级数n1n1的收敛域与和函数S(x)。

知识点：和函数的求法。

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泰勒公式在求极限中的应用

要点 ：牢记下列几个用高阶无穷小表示余项的常用函数的泰勒公式，理解其中余项的作用并灵活运用。

ex1xxx322!xx533!xnn!(x)nn

(x2n12nsinxx3!x25!x24(1)n(2n1)!(1)xx2n1)

cosx12!x24!x332n(2n)!(xxnn)

nln(1x)x(1)n1(x)

(1x)1x(1)2!x2(1)(n1)n!x(x)

nn其中(xn)是当x0时比xn高阶的无穷小量。

cosxex4x2例1. lim2 （注：此题需要用4次罗必塔法则方可求解，且较繁琐） x0例2.（2006.三、四）试确定常数A,B,C的值，使得ex(1BxCx2)1Ax(x3)，其中(x3)是当x0时比x3高阶的无穷小。

（方法1：连续运用罗必塔法则，并根据极限类型判断各系数应满足的关系式。此方法计算量大，较繁琐；方法2： 写出(x3)的极限表达式，并将ex用三阶泰勒展开式替代。） 例3. 当x0时，把无穷小量

esinx21ln1x1xxarctanx

按从低阶到高阶的正确排列顺序是（ ）。

A.,, B.,, C.,, D.,,

（方法1：利用泰勒展开式；方法2：利用k阶无穷小定义。）

与拉格朗日中值定理有关的一类证明题

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1，试分别证明

（1）存在(0,1)内两个不同的,，使 f()f()2 （2）存在(0,1)内两个不同的,，使

1f()1f()2

要点：在(0,1)内插入合适的分点c并分别在[0,c]及[c,1]上应用拉格朗日中值定理。关键是寻找合适的分点c。

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