偏微分方程数值习题解答

证明:由()的定义与内积的性线性性质,得

1 ()J(x0x)(A(x0x),x0x)(b,x0x)

2

'2'()(Ax0b,x)(Ax,x)

'J(x0)(Ax0b,x)2(Ax,x)

必要性:由(0)0,得,对于任何xRn,有

(Ax0b,x)0,

由线性代数结论知,

Ax0b0,Ax0b

充分性: 由Ax0b,对于任何xRn,

'(0)(Ax0b,x)(Ax,x)|00

即x0是J(x)的驻点. §1-2

补充: 证明f(x)的不同的广义导数几乎处处相等.

证明:设fL2(I),g1,g2L2(I)为f(x)的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意

(x)C0(I),有

'g(x)(x)dxf(x)(x)dx a1a'g(x)(x)dxf(x)(x)dx a2abbbb两式相减,得到

(gg)(x)0C0(I) a12b由变分基本引理,g1g2几乎处处为零,即g1,g2几乎处处相等.

补充:证明a(u,v)的连续性条件(1.2.21) 证明: 设|p(x)|M,|q(x)|M',由Schwarz不等式

|a(u,v)||a(pu'v'quv)dx|M||u'||.||v'||M'||u||.||v||b2M*||u||1.||v||1,其中M*max{M,M'}

习题:

1 设f'(x)为f(x)的一阶广义导数,试用类似的方法定义f(x)的k阶导数(k1,2,...) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:

对于f(x)L2(I),若有g(x)L2(I),使得对

C(I),有 于任意的0ag(x)(x)dx(1)dkf广义导数,并记g(x)kdxbkbaf(x)(k)(x)dx

则称f(x)有k阶广义导数,g(x)称为f(x)的k阶

注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.

2.利用L2(I)的完全性证明H1(I)(Hm(I))是

Hilbert空间.

证明:只证H1(I)的完全性.设{fn}为H1(I)的基本列,即

||fnfm||1||fnfm||0||fn'fm'||00

因此知{fn},{fn'}都是L2(I)中的基本列(按L2(I)的范数).由L2(I)的完全性,存在f,gL2(I),使

||fnf||00,||fn'g||00,以下证明

df||fnf||10(关键证明g)

dx由Schwarz不等式,有

|a(fn(x)f(x))(x)|||fnf||0.||||0 |a(fn'(x)g(x))(x)dx|||fn'f'||0||||0

bb对于任意的(x)C0(I),成立

limafn(x)(x)dxaf(x)(x)dx

nbblimaf(x)(x)dxag(x)(x)dx

n'nbb由af(x)(x)dxafn(x)'(x)dx

'nbb取极限得到ag(x)(x)dxaf(x)'(x)dx 即g(x)f',即fH1(I),且

||fnf||1||fnf||0||fn'f'||00

bb故H1(I)中的基本列是收敛的,H1(I)是完全的. 3.证明非齐次两点边值问题

证明:边界条件齐次化

令u0(x)(xa),则wuu0满足齐次边界条件.w满足的方程为LwLuLu0fLu0,即

w对应的边值问题为

LwfLu0w(a)0,w'(b)0 (P) 由定理知,问题P与下列变分问题等价

求wC2H1**E,J(w*)minwH1J(w) E其中J*(w)12a(w,w)(fLu0,w).而

J*(w)12a(uu0,uu0)(fLu0,uu0)J~ (u)(Lu0,u)a(u0,u)C而(Lu0,u)a(u0,u)p(b)u(b)C2

从而J*(w)J~(u)p(b)u(b)C* 则关于w的变分问题P等价于u*C2H1,u(a)

使得

J(u*)uminuJ(u)

(H1a)其中J(u)12a(u,u)(f,u)p(b)u(b)

4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理 解:令u0(xa),wuu0,则w满足

求

:LwLuLu0fLu0w(a)0,w(b)01等价于:vHE

'

(Lw,v)(fLu0,v)0

应用分部积分,

bdddwdudwbbdwdv((p),v)a(p)vdxpv|aapdxdxdxdxdxdxdxdx

还原u,

a(w,v)(fLu0,v)a(u,v)(f,v)(Lu0,v)a(u0,v)a(u,v)(f,v)p(b)v(b)

于是,边值问题等价于:求uH1,u(a),使得

1vHE,成立

a(u,v)(f,v)p(b)v(b)0

注:形式上与用v去乘方程两端,应用分部积分得到的相同. 5试建立与边值问题

等价的变分问题.

解:取解函数空间为H02(I),对于任意vH02(I) 用v乘方程两端,应用分部积分,得到

d4u(Luf,v)(4uf,v)0

dx4bdud4ud3ubbd3udv而(4,v)a4vdx3v|aa3.dx dxdxdxdxdx22bdudvd2udvbbd2ud2v2|aa22dxa22dx dxdxdxdxdxdx22bdudv上式为a[22uv]dx(f,v)

dxdx

d2ud2v定义a(u,v)a[22uv]dx,为双线性形式.

dxdxb变分问题为:求uH02(I),vH02(I)

a(u,v)(f,v)

1-4

1.用RitzGalerkin方法求边值问题

u\"ux20x1 u(0)0,u(1)1的第n次近似un(x),基函数

i(x)sin(ix),i1,2,...,n

解:(1)边界条件齐次化:令u0x,wuu0,则w满足齐次边界条件,且

LwLuLu0x2xw(0)0,w(1)0ni1

第n次近似wn取为wncii,其中ci(i1,2,...n)满足的RitzGalerkin方程为

2a(,)c(xx,j)j1,2,...,n ijii1n又

a(i,j)0(ij)dxij'i'j11210cos(ix)cos(jx)dxij0sin(ix)sin(jx)dx2cos(ix)cos(jx)dx12sinixsinjx

由三角函数的正交性,得到

i221a(i,j)22,ijij0,

2(j)3而(xx,j)0x(x1)sin(jx)dx21[(1)1]

j于是得到

8(xx,j)j为奇数322cj(j)(1j)a(j,j)j为偶数02

最后得到

8sin[(2k1)x]un(x)x 332k1(2k1)[1(2k1)][n1]22.在题1中,用u(1)0代替右边值条件,un(x)是用RitzGalerkin方法求解相应问题的第n次近似,证明un(x)按L2(0,1)收敛到u(x),并估计误差. 证明:un对应的级数绝对收敛,由{sinix}的完全性知极限就是解u(x),其误差估计为

8Rn33

n3.就边值问题(1.2.28)和基函数

i(x)(xa)i(i1,2,...,n),写出RitzGalerkin

方程

解:边界条件齐次化,取

u0(xa),wuu0, w对应的微分方程为

LwLuLu0fLu0w(a)0,w(b)0'

对应的变分方程为

a(w,v)(fLu0,v)0

ddu0dpLu0(p)qu0q[(xa)]

dxdxdxbdpbavp(b)v(b)apv'(x)dx dx变分方程为

a(w,v)(f,v)p(b)v(b)a[pv'(x)qu0v]dx

b取i(x)(xa)i,i1,2,...,n,则Ritz-Galerkin方程为

a(,ij1nj)cj(f,i)p(b)i(b)ap(x)i(xa)dxaq(x)[(xa)]dxi1bba(i,j)a[pi''jqij]dx

b 取p1,q0,f1,具体计算

n1, a(1,1)a1dx(ba)

b112d1(ba)(ba)(ba)(ba)2,

2211c1(ba),即解u1u0(xa) 22n2:

a(1,1)(ba),a(1,2)a2(xa)dx(ba)2

b4a(2,2)a4(xa)dx(ba)3

3b2d2a(xa)dx(ba)a2(xa)dx22bb 11(ba)3(ba)2(ba)2(ba)333得到方程组为

ba(ba)212(ba)c(ba)12 43(ba)c213(ba)332特别取a0,b1,有

111c142

11c233111求解得到c2,c2,c11

3621其解为u2u0(xa)(xa)2

2Ch2 椭圆与抛物型方程有限元法

§1.1 用线性元求下列边值问题的数值解:

y\"242y(0)0,y'(1)0

y2sinx,0x1

此题改为yy1,y(0)y(1)0,h1/4 解: 取h1/2,xjjh(j0,1,2),y1,y2为未知数.

\"Galerkin形式的变分方程为(Lu,v)(f,v),

其中

(Lu,v)0uvdx1\"'101\"24uvdx,(f,v)2sin2xv(x)dx

0110又0uvdxuv|0uvdx0uvdx 因此a(u,v)(uv01''1''1''24uv)dx

xxi1在单元Ii[xi1,xi]中,应用仿射变换(局部坐标)

h节点基函数为

xxi1,hxixxi1xxi1i(x),,xi1xxi(i1,2,3)

hother0,a(1,1)xx[1'201x1x2242]dx2111122h0[2]d02(1)d44hh2

取h1/2,则计算得a(1,1)41212

122a(1,2)0[h(1)d2

h4121111(f,1)2h[0sin(0h)d0sin()(1)d222211h(1)0sind0sin(1)d

24111(f,2)2h0sin()d

222代数方程组为

a(1,1)a(1,2)y1(f,1)a(,)a(,)y(f,) 122222代如求值.

取h1/4,未知节点值为u1,u2,u3,u4,方程为

a(,)uiji14i(f,j)j1,2,3,4

应用局部坐标表示,

1112h22ha(j,j)0()d0[(1)2]d

h4h410[81282]d81224

21ha(j,j1)0[(1)]d

h442(1)d4 1696012a(j1,j)4296

2961系数矩阵为Adiag{41,8224,4296}

1取f1,(f,j)h0dh0(1)d

41(f,j)h02sin[(xjh)]d2 1h02sin[(xj1h)](1)d221j11j10sin[()]d0sin[()](1)d 4244224411(j)(j1)0sin[]sin[]d288

11(j1)18(j1)00sin[]d[cos()]|12828

2.就非齐次第三边值条件

u'(a)1u(a)1,u'(b)2u(b)2

导出有限元方程.

解:设方程为Lu(pu')'quf 则由

''((pu')',v)pu'v|b(pu,v)p(b)v(b)[22u(b)]ap(a)v(a)[11u(a)](pu,v)''

变分形式为:vH1(a,b)

(pu',v')(qu,v)2p(b)u(b)v(b)1p(a)u(a)v(a)(f,v)p(b)2v(b)p(a)1v(a)u0u(a),uNu(b)

记

A(u,v)(pu,v)(qu,v)2p(b)u(b)v(b)1p(a)u(a)v(a)''F(v)(f,v)p(b)2v(b)p(a)1v(a)则上述变分形式可表示为A(u,v)F(v)

设节点基函数为j(x)(j0,1,2,...,N) 则有限元方程为

A(i,j)uiF(j)(j0,1,...,N)

i0N具体计算使用标准坐标.