小学数学思想方法

小学数学思想方法

小学数学是一门基础学科。小学数学中不仅包括了大量的数学基础知识，而且在学习和运用这些数学知识的过程中，还以潜移默化的方式渗透了一些重要的数学思想方法。本讲义从较高的视点出发，对已有的关于数学思想方法零散而模糊的感性认识，进行科学地、系统地概括，结合一些经过精选的数学竞赛题目，进行深入细致的讲解，并且安排了必要的和适量的练习，力求通过学习，对一些常用的数学思想方法和技巧能够明确认识，融会贯通，以提高数学思维能力和解题能力，为更好地为适应初中数学的学习打下良好的基础。

第一讲 从简单情况找规律

当一个问题非常复杂时，首先就要想到，其中是否隐藏着某种规律，如果能找到这种规律，问题就会迎刃而解。探索规律，往往要利用已有的知识和经验，从简单的、熟悉的地方开始，从粗略的估计开始，同时注意极端的情况，如最大、最小等。

例1 1995个7连乘，积的个位数字是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

解：71＝7，个位数字是7；72＝49，积的个位数字是9；73＝343，积的个位数字是3；74＝2401，积的个位数字是1；75＝16807，积的个位数字是7。 观察发现，随着因数的增加，积的个位数字按“7、9、3、1”四个数字循环。1995÷4余3，所以积的个位数字是第三个数字3。

1121231234 例2 按一定规律排列着一串数：,,,,,,,,,，„，

122333444412399100，，，„，，。这些数的总和是多少？(北京市“迎春100100100100100杯”数学竞赛题)

1211 解：把这些数分成100组分别求和。第1组：＝；第2组：＋＝

221112123(13)32131234；第3组：＋＋＝＝；第4组：＋＋＋2333324444(14)42141n＝＝。观察发现，第n组的和是。于是这串数的总和

4221

是

1213141100111＋＋＋＋„＋＝×100＋

2222221234100(1100)1002＝50＋＝50＋2525＝2575。

22例3 1×1＋2×2＋„＋1996×1996＋1997×1997的个位数字是几？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

解：每10个连续平方数的和的个位数字，是1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＝45的个位数字，是5，从而原式的个位数字与5×199＋1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＋6×6＋7×7＝1135的个位数字相同，是5。

例4 长方形内共有1996个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2000个点。在这2000个点中，任意3个点都不在同一条直线上。以这2000个点为顶点，可作出多少个互不重叠的三角形？(“小学生数学报”数学竞赛题)

解：试画发现，当长方形内加上第一个点以后，会形成4个三角形。此后，每增加1个点，就会增加2个三角形。所以，长方形内的2000个点，总共可以形成4＋2×(1996－1)＝3994(个)三角形。

练 习 一

1．把

1995化成小数后是一个无限小数，这个无限小数从小数点后面第131位到第1995位，数字6共出现多少次？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

2．如果1＝1！1×2＝2！1×2×3＝3！„„ 1×2×3ׄ×99×100＝100！那么1！＋2！＋3！＋„＋100！的个位数字是几？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

3．紧接着1989后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。例如8×9＝72，在9后面写2；„„得到一串数字：1,9,8,9,2,8,6，„这串数字从1开始向右数，第1989个数字是几？(“从小爱数学”数学竞赛题)

1121123211234,,,,,,,,,,,,，12223333344443217,,,„„中，(1)是第几个分数？(2)第400个分数是几分之几？444104．在一串分数：

(“从小爱数学”数学竞赛题)

5．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不

2

少于50个小纸片，至少要画多少条直线？ (“华杯赛”试题)

6．A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第二个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子，如此进行下去。当34位小朋友放完后，B盒子中有多少个球？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

7．有一个著名的数列叫“菲波纳契数列”，它的前两个数是1,1，从第三个数起，每个数等于前两个数的和。那么在这个数列中，第2007个数是单数还是双数？

8．有一串数：1,2,4,8,16,32,64，„这串数中，第2008个数除以9的余数是多少？

9．把自然数中奇数：1,3,5,7，„依次排成5列(如下面所示)，把最左边的一列叫第一列，从左到右依次编号：

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 1 3 5 7 15 13 11 9

17 19 21 23 31 29 27 25

┆ ┆ ┆ ┆ ┆ 这样，第2007个数出现在第几列？

10．在一张足够长的纸条上从左向右依次写上1,2,3,„形成一个“大数”，这个数从左数第200位上的数字是几？

11．将一个长40cm、宽1cm的长方形纸条连续对折3次，然后从它的一端开始，每隔1cm剪一刀，最后，可以得到边长为1cm的小正方形多少块？长2cm、宽1cm的小长方形多少块？(《小学生数学报》数学竞赛题)

12．下面是按规律排列的三角形数阵：

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

„„

3

那么第100行左起第三个数是多少？

第二讲 从整体上看问题

解决数学问题的过程是一个辩证的思维过程，有时需要从局部的、简单的情况入手，以发现整体的规律；有时需要从整体入手，以避免局部细节的干扰。

例1 用0、1、2、3、4五个数字组成四位数，每个四位数中的数字不同，求所有这样的四位数的和。(“华杯赛”试题)

解：千位数字是1的四位数有4×3×2＝24(个)(因为百位数字有4种可能，十位数字有3种可能，个位数字有2种可能)。同理，千位数字是2、3、4的也各有24个。百位数字是1的四位数有3×3×2＝18(个)(因为千位数字不能是0，只有3种可能，十位数字可以是0，有3种可能，个位数字有2种可能)。同理，百位数字是2、3、4的也各有18个。十位数字、个位数字是1、2、3、4的也各有18个。因此，所求的总和是1000×(1＋2＋3＋4)×24＋(100＋10＋1)×(1＋2＋3＋4)×18＝259980。 例2 计算：1－

234－－

1(12)(12)(123)(123)(1234)－„－

10。(小学数学奥林匹克竞赛题)

(1239)(12310) 解：从算式的整体上看，所有分数的分子都等于分母中两个因数的差，

1111111于是，原式＝1－(1－)－(－)－„－(－)＝1－(1－)＝。

33645555555例3 用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD—A1B1C1D1，大正方体内的对角线AC1、BD1、CA1、DB1所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明玻璃小正方体用了多少个？(“华杯赛”试题)

4

解：AC1、BD1、CA1、DB1四条对角线都穿过位于正方体中心的那个小正方体，此外，任何两条对角线都没有穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过(401－1)÷4＋1＝101(个)小正方体，这表明大正方体的棱是由101个小正方体组成的。所以总共用了无色透明玻璃小正方体1013－401＝1029900(个)。

例4 右面是一个乘法算式，每个□内填一个数字，这个算式中的乘积

应该是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题) 1□

× □□

□ 5□

□□□ □ 8□□

解：算式的被乘数是10几，乘数是两位数，积只能是1800多，而18×99＝1782＜1800，所以被乘数是19。因为19×89＝1691＜1800，所以乘数是90多。被乘数是19，被乘数与乘数个位数的积只能是150几，而150÷19＝7.8„所以乘数的个位数字是8，19×8＝152。算式的乘积是19×98＝1862。 练 习 二

1231988 1．计算：＋＋＋„＋。(北京市“迎春杯”数学竞

1988198819881988赛题)

2．计算：1学竞赛题)

3．有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6m、3m、2m。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4cm。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，那么大水池的水面将升高多少厘米？(“华杯赛”试题)

4．一个圆形水池，小明和小红分别从直径AB两端同时出发，沿池边步

7行，小明顺时针而行，小红逆时针而行，在距A点10处两人第一次相遇，

15相遇后继续行走，第二次相遇正好在B点，那么水池的周长是多少米？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

5．在图中，已知矩形GHCD的面积是矩形ABCD面积的

1，矩形MHCF的411111＋2＋3＋4＋„＋20。(《小学生数学报》数2612204205

面积是矩形ABCD的

1，矩形BCFE的面积等于3m2。矩形AEMG的面积是多少6平方米？(小学数学奥林匹克竞赛题)

D F C

G M H

A E B 6．右上方是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全。这个算式的乘积是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

□□

× 8□ □□□ □□ □□□□

7．计算：19961997×19971996－19961996×19971997＝？(小学数学奥林匹克竞赛题)

8．如果图1是常见的一副七巧板的图，图2是用这副七巧板拼成的小房子图。那么，第2块板的面积等于整幅图的面积是几分之几？第4块板的面积等于整幅图的面积是几分之几？第7块板的面积等于整幅图的面积是几分之几？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

7 6 5 2 3 1 4

(图1) (图2)

9．如果10个互不相同的两位单数之和等于898，那么这10个数中最小的一个是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

10．把自然数1,2,3,„,998,999分成三组，如果每一组数的平均数恰好相等，那么这三组平均数的和是多少？（学数学奥林匹克竞赛题）

11．黑板上写有从1开始的若干个连续的单数：1、3、5、7、9、11、13、„„，擦去其中一个单数以后，剩下的所有单数之和为1998，擦去的单数是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

6

12．有两组正方形(如图)，它们的面积已标在图中(单位：cm2)。问：哪一组两个正方形的面积大？(“华杯赛”试题)

第一组： 19962 19932

第二组： 19972 19922

第三讲 倒过来想

分析问题的方式多种多样，可以从条件出发向问题推进，也可以从问题出发向条件回溯，也就是倒过来想。

例1 有一个分数，将它的分母加上2，得到

7；如果将它的分母加上3，93就得到。那么原来这个分数是多少？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

4解：显然这两个分数是经过约分的，在未约分以前，分子应该相等，于

72132121是把这两个分数化成分子相同的分数：＝,＝，原来的分数是。

92742825 例2 甲、乙、丙三堆棋子共98枚。先从甲堆中分棋子给另外两堆，使两堆的棋子数各增加一倍，再把乙堆棋子照这样分配一次，最后把丙堆棋子

4也这样分配，结果甲堆棋子数是丙堆棋子数的，乙堆棋子数是丙堆棋子数

57的1。求三堆中原来最多一堆的棋子是多少个？(北京市“迎春杯”数学

15竞赛题)

解：用列表法可得原来最多的一堆是甲堆，有52枚棋子。 甲 乙 丙

4747 最后 30×＝24 30×1＝44 98÷(＋1＋1)＝30 515515 丙分配前 24÷2＝12 44÷2＝22 30＋12＋22＝64 乙分配前 12÷2＝6 22＋6＋32＝60 64÷2＝32 甲分配前 6＋30＋16＝52 60÷2＝30 32÷2＝16

7

例3 一个正方形(如图)，被分成四个长方形，它们的面积分别是

12

m、10123222

m、m、m。图中阴影部分是一个正方形，那么，它的面积是多少平方5105米？(小学数学奥林匹克赛试题) 32 10511 510解：要知道阴影正方形的面积，就要知道它的边长,而这个边长可以看成

13是面积为m2的长方形的长，减去面积为m2的长方形的宽，所得的差。因

51011为下面两个长方形有相同的宽，所以这两个长方形的长的比等于∶＝

510212∶1，于是面积为m2的长方形的长，等于原来正方形的边长×。同理，

35323上面两个长方形的宽的比等于∶＝3∶4，于是面积为m2的长方形的

1051033211宽，等于原来正方形的边长×。原来正方形的面积是＋＋＋＝

71055102351(m2)，边长是1m，因此，阴影正方形的边长是1×－1×＝(m)，面

37212555积是×＝(m2)。

2121441例4 小明的储蓄罐里有1角硬币若干个。他每天取出一部分买早点。

11111第一天取出，以后8天分别取出当时所有硬币的，，„，，，9

109832天后还剩下10个硬币。原来罐内共有硬币多少个？(北京市“迎春杯”数学

竞赛题)

111解：原来罐内有硬币10÷(1－)÷(1－)÷„÷(1－)＝100(个)。

2310练 习 三

1．12加上24，减20，再加上24，再减20，如此下去，要经过多少次运算才能得100？（南京市“兴趣杯”数学竞赛题）

8

2．A、B、C三个油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒入之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒入之前桶内油的2倍。这样，各桶的油都为16kg。问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？(《小学生数学报》数学竞赛题)

3．有11个连续的自然数，第10个数是第2个数的1个数的和是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

4．将八个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数都恰好等于前面两个数的和。如果第7个数和与第8个数分别是81和131，那么第1个数是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

5．一个长方体高和宽相等，把长去掉2.5cm，就成为表面积是150cm2

的正方体，长方体的长是宽的几倍？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

116．把一堆铅笔分装在四个盒子里，其中放入甲盒，放入乙盒，放入

53丙盒的正好是甲、乙两盒铅笔数量差的3倍，丁盒放入10枝，这堆铅笔共有多少支？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

7．下图中左边的A、B、C、D表示四个开关，右下角是一个马达。这四个开关哪个能启动马达？

A B C D 4倍，那么这119

8．一架天平原来有1g、2g、4g、8g的砝码各一个，后来不慎丢了一个，以至于在砝码放在天平的一边，物体放在天平的另一边，只能称一次的情况下，无法称出12g和7g的重量。问丢的那个砝码是几克重的？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

9

9．用托盘天平称量物体的重量，砝码只能放在一个托盘中，在1g、2g、4g和8g这四个砝码中，不慎丢了一个砝码，结果最多只能称13g的重量，那么丢失的砝码是多少克的？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

10．一盒棋子，第一次取出一半多3枚，第二次取出所剩棋子的一半多3枚，第三次取出所剩棋子的一半多3枚，第四次取出所剩棋子的一半多3枚，还剩3枚。这盒棋子原来有多少枚？

11．这是一个围棋盘。还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，还余12枚棋子。如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则还差9枚棋子才能摆满。问：这堆棋子原来有多少枚？(“华杯赛”试题)

12．有1992粒钮扣，两个人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。问：保证一定获胜的策略是什么？(《小学生数学报》数学竞赛题)

第四讲 从问题的反面考虑

分析问题的方式多种多样，可以从问题的正面考虑，也可以从问题的反面考虑。

例1 从1到1999这1999个自然数中，有多少个数与5678相加时，至少发生一次进位？(《小学生数学报》数学竞赛题)

解：先考虑与5678相加时，一次进位也没有发生过的数。这些数的个位上只能是0或1；十位上只能是0、1或2；百位上只能是0、1、2或3；千位上只能是0、1。共有2×3×4×2＝48(个)，减去多算的“0000”这个数，实际上这样的数只有47个。所以在与5678相加时，至少发生一次进位的数共有1999－47＝1952(个)。

10

例2 有一个算式：1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋„＋1×2×3ׄ×8×9。

这个算式的得数能否是某个数的平方？(“华杯赛”试题)

解：平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9，而这个算式前4项的得数是1＋2＋6＋24＝33，后面各项得数的个位数都是0，于是算式得数的个位数是3，所以，算式的得数不可能是某个数的平方。

例3 黑色、黄色、白色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？(“华杯赛”试题)

解：从最不利的情况考虑，可能取了8根都是同一种颜色，实际上只取出了一双同一种颜色的筷子。这时还剩下另外两种颜色的筷子，当再取3根时，无论如何总会取出2根颜色相同的筷子。所以，至少要取8＋3＝11(根)才能保证达到要求。

例4 一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确得3分；回答完全错误或不回答，得0分。共有300人参加测验，至少有多少人的分数相同？(《小学生数学报》数学竞赛题) 解：根据评分标准可知，最高得分为50分。试算得出，在0分到50分之间，1分、2分、4分、7分、47分、49分这6种分数不可能出现，所以得分只有51－6＝45(种)。300÷45＝6„„30，因此，至少有6＋1＝7(人)的得分相同。

练 习 四

1．在1～1999这1999个数中，有多少个数与4567相加时，至少在一个数位上发生过进位？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

2347312．已知A×15×1＝B×÷×15＝C×15.2÷＝D×14.8×。

3457499A、B、C、D四个数中最大的是哪个？(《小学生数学报》数学竞赛题)

3．在1到100之间，与77互质的所有奇数的和是多少？(“华杯赛”试题)

11

4．志强小学国庆节举办三项游艺活动，每个学生至多参加两项，至少参加一项，那么只要有多少个学生，就能保证至少有两人参加的活动完全相同？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

5．1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×6这个算式的得数能否是某个数的平方？(“华杯赛”式题)

6．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小是多少？(《小学生数学报》数学竞赛题)

XY7．设X、Y是选自前50个自然数的两个不同的数。求的最大值。

XY(美国小学数学奥林匹克竞赛题)

8．一个自然数，各个上数字之和是1995，这个自然数最小是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

9．布袋里有5种不同颜色的球，每种都有20个，最少取出多少个，才能保证其中一定有3个颜色相同的球？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题) 10．从1、2、3、„99、100中，至少取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

11．现在有64个乒乓球、18个乒乓球盒，每个盒子最多可以放6个乒乓球，如果把这些乒乓球全部装入盒内，不许有空盒，那么至少有多少个乒乓球盒里的乒乓球数目相同？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

12．能否在8行8列的方格表(如图)的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数中的任一个数，使得每行、每列及对角线AC、BD上各个数的和互不相同？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

A B

D C

12

第五讲 分类和对应

分类就是把需要解决的数学问题，按照一定标准分成几部分(即几类)，然后通过对这几部分问题的解答，得到原问题的解。 分类时要注意：

1．分类要有明确的标准，并且分类后所形成的问题要比原问题简单； 2．要确保分类的完整性和互斥性，即要做到既不遗漏也不重复；

3．分类时要始终按照所确定的分类标准进行。

例1 在1～1999这1999个自然数中，所有数字的和是多少？(北京市 “迎春杯” 数学竞赛题)

解：从0～999这1000个自然数可以分成(0～999)、(1,998)、(2,997)、„„、(499,500)共500组，每组两个数的数字和都是27，因此，这1000个数的数字和是27×500＝13500。1000～1999与0～999相比，只是在千位上多了1000个1，所以1000～1999这1000个数的数字和是13500＋1000＝14500。因此，1～1999所有的数的数字和是13500＋14500＝28000。 例2 有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆。其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。那么在全部棋子中，白子共有多少枚？(北京市 “迎春杯”数学竞赛题)

解：按每堆所含白子的枚数分成四类： (1)只有1枚白子的：共27堆；

(2)有0枚白子的：“有2枚或3枚黑子的共42堆”，等于说“有1枚白子的和有0枚白子的共有42堆”，所以，有0枚白子的有42－27＝15(堆)； (3)有3枚白子的：“有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等”，等于说“有3枚白子的与有0枚白子的堆数相等”，也是15堆； (4)有2枚白子的：有100－27－15－15＝43(堆)。 所以共有白子1×27＋3×15＋2×43＝158(枚)。

对应是一种应用非常普遍的数学思想方法，如“式”与“数”的对应，“量”与“率”的对应等等。数学竞赛中常见的“定义新运算”，其实质就是对应。

例3 设a*b表示a的3倍减去b的2倍，即a*b＝3a－2b。例如，当a

13

＝6，b＝5时，6*5＝3×6－2×5＝8。

543 (1)计算：(*)*；(2)已知：x*(4*1)＝7，求：x。( “从小爱数学”

354数学竞赛题) 5454371717317 解：(1)*＝×3－×2＝，*＝×3－×2＝8。

35354105545(2)4*1＝4×3－1×2＝10，x*10＝7，即3x－10×2＝7，所以x＝(10×2＋7)÷3，x＝9。

例4 对于任意的整数x与y定义新运算“△”： x△y＝

6xy(其中m是一个确定的整数)。

mx2y如果1△2＝2，那么2△9＝？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

61212 解：已知1△2＝2，根据定义得1△2＝＝＝2，于是有

m122m4629102×(m＋4)＝12，解出m＝2。所以，2△9＝＝4。

222911练 习 五

1．从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字相同的有多少个？(北京市 “迎春杯”数学竞赛题)

2．数一数，左下图中共有多少条线段？(南京市 “兴趣杯”数学竞赛题)

C

F G H I A E D B 3．右上图中(单位：cm)共有多少个长方形？所有这些长方形的面积的和是多少？( “从小爱数字”数学竞赛题)

4．设a△b＝a×a－2b，那么，(1)5△6＝？(2)(5△2)△3＝？(《小数报》数学竞赛题)

14

5．规定：

③＝2×3×4；④＝3×4×5；⑤＝4×5×6；„„；⑩＝9×10×11；„„

111 如果－＝×□，那么方框里应填的数是多少？(小学数学奥林

⑦⑧⑧匹克数学竞赛题)

6．小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式： 8×8＝8, 9×9×9＝5, 9×3＝3，(93＋8)×7＝837。

老师告诉他，红毛族算式中所用的符号“＋、－、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同。

请你按红毛族的算式规则，计算出89×57＝？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

7．如果两个三位数的和是525，就说明这两个三位数组成一个数对。那么，这样的数对共有多少个？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

8．把印在卡片纸上的数码倒过来看，显然数码0、1、8不变；6与9互换，而其余数码没有意义。某工厂制作了从001到999的号码牌，由于制作的号码牌上下一样，所以有些号码牌倒着看仍保持不变(例如808倒看还是808)。试问：这个工厂制作的999个号码牌中，有多少个号码牌倒着看仍保持不变？( “祖冲之杯”数学竞赛题)

9．光明机械厂共有青年工人207人，分成每3人一组参加植树劳动。在这69个小组中，只有1名男青年的共15个小组，至少有2名女青年的共36个小组，3名男青年的小组与3名女青年的小组同样多。这207名青年工人中有男青年多少人？(《小学生数学报》数学竞赛题)

10．设a△b＝a×a－2b，那么，(1)5△6＝？(2)(5△2)△3＝？(《小学生数学报》数学竞赛题)

11．表一、表二是按同一规律排列的两个方格数表，那么表二空白方格中应填的数是多少？(“祖冲之杯”数学竞赛题) 24 4 6 15 3 5 6 2 4 5 2 4 2 2 3 1 2 表一 表二

15

12．下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两个数据，C是输出的结果。右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值。请你据此判断，当输入A值是1999，输入B值是9时，运算器输出的C值是多少？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

第六讲 类比

当一个比较陌生或复杂的问题与一个比较熟悉或简单的问题之间具有某种相似性的时候，可以把解决前者所用的方法加以推广应用到后者，这种思想方法叫做类比。类比是一种非常有用的思想方法，不过因为任何两个相似的对象之间总会有一定的差异，不恰当的类比也可能产生错误，因此在使用类比方法时要注意避免发生这种情况。

例1 一个正方形可以分成4个小正方形。能否把一个正方形分成6个、7个、8个以至更多的小正方形(大小不一定相同)？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

解：用类比的方法容易想到，可以先把一个正方形分成9个小正方形，再反其道而行之，把其中4个小正方形合并成1个较大的正方形，就能得到6个正方形(图1)。进而想到分成7个小正方形的方法(图2)。再与分成6个正方形的方法类比，就能想到分成8个小正方形的方法(图3)。要得到10个小正方形，只要先分成7个小正方形，再把其中的1个小正方形分成4个更小的正方形就可以了。照这样，分成再多的小正方形都是可以做到的。

图1 图2 图3

例2 一段楼梯有10个台阶，如果规定每一步只能登上一个或两个台阶，

16

那么，要登上第10个台阶，有多少种不同的走法？(“新苗杯”数学竞赛题) 解：登上第1个台阶只有1种走法，而登上第2个台阶就有2种走法。此后，登上第n个台阶的走法an，就与登上第n－1个台阶的走法an-1和登上第n－2个台阶的走法an-2有关，即an＝an-1＋an-2。由于a1＝1，a2＝2，所以，登上各个台阶的走法数依次为1, 2，3, 5，8, 13, 21, 34, 55, 89。所以，登上第10个台阶有89种不同的走法。

例3 用两个点把一个圆周分成两段半圆弧，在这两个分点上写上1；然后把两段半圆弧二等分，在两个分点上写上相邻两点上的数的和；再把4段圆弧二等分，在分点上写上相邻两点上的数的和。如此继续下去，问第6步操作后，圆周上所有点上的数的和是多少？(《小学生数学报》数学竞赛题) 解：每次操作后，因为所增加的每个数都是原来相邻两个数的和，在求和时原来的每个数都用了两次，所以每次增加的数的和，等于这次操作前圆周上所有的数的和的2倍，也就是说，每操作一次，圆周上所有的数的和等于这次操作前圆周上所有的数的和的3倍。于是，如果把第n次操作后圆周上所有的数的和记作an，把这次操作前圆周上所有的数的和记作an-1，就得到an＝3an-1。所以a6＝a1×3×3×3×3×3，因为a1＝2，于是a6＝2×3×3×3×3×3＝486。

例4 如图，象棋盘上一个兵过河后，沿最短路线走到对方的“将”处，有多少种不同的走法？(“从小爱数学”数学竞赛题)

解：“兵”过河后到“将”处的最短路线如下图所示，图中交点处的数表示“兵”到这里的走法总数(后面交点处的数等于到此处来的两个交点处的数的和)。所以“兵”过河后到“将”处共有15种不同的走法。

1 1 1 3 2 1 6 3 1 10 4 1 15 5 1 练 习 六

17

1．把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1、图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形。已知图1中阴影部分的面积是294dm2，那么图2中阴影部分的面积是多少平方分米？(《小学生数学报》数学竞赛题)

2．按照图中所指的方向，从A点到J点有多少条不同的路线？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

3．在桌面上，用6个边长为1的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形(如图)，如果在桌面上要拼成一个边长为6的正六边形，那么需要边长为1的正三角形多少个？(北京市“迎春杯” 数学竞赛题)

4．一个盛有水的圆柱形容器，底面半径为5cm，深20cm。今将一个底面半径为2cm，高为17cm的铁圆柱垂直放入容器中。求这时容器的水深是多少厘米？(“华杯赛”试题)

5．把一个正方形剪成9个大小不完全相同的正方形，请画图表示。(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

6．把一个正六边形分成3个形状、大小都完全相同的正五边形。(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

18

7．把一个正方形剪成11个大小不完全相同的正方形，请用图表示。(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

8．一座美术馆有7个展厅(如图)，相邻的展厅都是连通的。如果观众在参观时只允许从编号比较小的展厅到编号比较大的展厅，如，从“3”号展厅只能到“4”号展厅或者“5”号展厅，不能到“2”号展厅或者“1”号展厅。那么，从“1”号展厅到“7”号展厅一共有多少种不同的走法？

2 4 6 1 3 5 7

9．一个盛有水的圆柱形容器，底面半径5cm，深20cm，水深15cm。把一个底面半径2cm、高17cm的铁圆柱垂直放入容器中。求这时容器内的水深是多少厘米？

10．把下面的正方形分割成三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是8。(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

11．如图，四边形ABCD的周长是60cm，点M到各边的距离都是4.5cm。这个四边形的面积是多少平方厘米？

12．如图，三角形ABC的底BC＝8cm，高AD＝6cm，E、F分别是AB、AC的中点。那么，三角形EBF的面积是多少平方厘米？

19

第七讲 转化

通常，当我们要处理一个陌生的或复杂的问题时，总是先设法把它变成比较熟悉的或者比较简单的问题，这种数学思想方法叫做转化。转化是一种最常用的数学思想方法。

例1 四十一位数55„5□99„9(其中5和9各有20个)，能被7整除，那么，方格内的数字是几？(小学数学奥林匹克竞赛题)

解：试算发现555555、999999能被7整除，而20÷6余2，所以，问题转化为55□99能被7整除，而55□99＝49000＋98＋6□01，问题又转化为6□01能被7整除，而6□01＝1001＋5□00，问题又转化为5□00能被7整除，最终得出方格内的数字应该是6。

例2 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙

1工地的1倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人

27中有的人去甲工地，其余工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，

12乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？(小学数学奥林匹克赛题)

解：上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，即上午去甲工地的占

317总人数的，去乙工地的占总人数的。下午去甲工地的占总人数的，即

44125下午去乙工地的占总人数的。到傍晚时甲工地的工作已做完，即如果半天

1237111完成工作，甲工地需要总人数的＋＝1，乙工地需要总人数的1÷1

41233288158＝，还缺总人数的－－＝。乙工地还需4名工人再做1天，即99412368乙工地还需4×2＝8(人)做半天。所以这批工人有8÷＝36(人)。

36例3 图(a)是一个直径3cm的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针转60°角，此时B点移动到B‘点，见图(b)，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(小学数学奥林匹克赛题)

20

解：阴影部分的面积，等于全部图形的面积减去一个直径为3cm的半圆

1的面积，即阴影部分的面积等于半径为3cm的60°的扇形面积，是×3.14

6×32＝4.71(cm2)。

111 例4 左下图中，已知AE＝AC，CD＝BC，BF＝AB，那么△DEF的

546面积是△ABC的面积的几分之几？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

11BC，所以S△ACD＝S△ABC。因44111144为AE＝AC，所以S△CDE＝S△ACD＝×S△ABC＝S△ABC；同理，S△BDF＝S△ABD

5554561311151＝×S△ABC＝S△ABC；S△AEF＝S△ACF＝×S△ABC＝S△ABC。所以，△DEF的648556611161面积是△ABC的面积的1－－－＝。

586120练 习 七

解：连结AD、BE、CF如右上图。因为CD＝

1．计算：19＋199＋1999＋„＋199„99＝？(“华杯赛”试题)

1999个9

2．和3＋33＋333＋3333＋„＋333„333的末三位数字是哪几个数字？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

1995个3

3．六年级的人数在80～110之间，如果每8人组成一组，那么有一个小组多5人；如果每12人组成一组，那么有3个小组各少1人。六年级共有学生多少人？(《小学生数学报》数学竞赛题)

4．已知一个四边形的两条边的长度和三个角，如左下图所示，那么这个四边形的面积是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

21

5．上中图是由正方形和半圆组成的，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点，那么阴影部分的是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

6．右上图三角形ABC的面积是1cm2，且BE＝2EC，F是CD的中点。那么阴影部分的面积是多少平方厘米？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

7．计算11＋192＋1993＋19994＋199995所得的和的数字和是多少？(“华杯赛”试题)

8．已知15个连续自然数的平均值是15，求前5个数的平均数。(美国小学数学奥林匹克竞赛题)

9．计算：1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋„＋108＋107－106－105＋104＋103－102－101。(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

10．计算：99＋198＋297＋396＋495＋594＋693＋792＋891＋990＝？ (《小学生数学报》数学竞赛题)

11．下图是一块正方形的蓝白格子布，边长60cm。每条蓝色条纹(阴影部分)宽5cm。白色部分的面积是多少平方厘米？

12．下面的数的总和是多少？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

22

0 1 2 „ 49 1 2 3 „ 50 „„ 48 49 50 „ 97 49 50 51 „ 98

第八讲 枚举法

枚举法是将问题所涉及的所有情况全部列举出来，一一加以讨论，从而解决问题的一种方法。当问题出现的情况是有限种，而且这些情况又无法统一处理时，就可以用枚举法来解决。

例1 设n＝200×209×218ׄ×2000，那么n的末尾有多少个连续的0？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

2000200＋1＝41(个)；

952000200200020025的倍数有＋1＝9(个)；125的倍数有＋1＝2(个)。

9559555 解：在200,209,218，„，2000中，5的倍数有

于是，在n的质因数分解式中，便有41＋9＋2＝52(个)5。而在n的质因数分解式中2的个数显然多于5的个数，因此，n的末尾有52个连续的0。

例2 在射击运动中，每射一箭得到的的环数或者是“0”，或者是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。(“华杯赛”试题)

解：因为每箭射中的环数都是1764的因子，而1764＝2×2×3×3×7×7，并且环数是不超过10的自然数，所以必有两箭是7环，其它3箭的环数是2×2×3×3的因子。因此，两人射箭的环数有5种可能： 7, 7，1, 4，9，和是28； 7, 7，1, 6，6，和是27； 7, 7，2, 2，9，和是27； 7, 7，2, 3，6，和是25； 7, 7，3, 3，4，和是24。

因为甲的环数比乙少4，所以甲的总环数是24，乙的总环数是28。 例3 有三个棱长分别是3cm、4cm、5cm的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有1个长方体只有一个面是红色的，有1个长方体恰有

23

两个面是红色的，有1个长方体恰有三个面是红色的。染色后把所有的长方体分割成棱长为1cm的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最少有多少个？(日本小学数学奥林匹克竞赛题)

解：一个面染红的长方体，显然应将3×4的面染成红色，这时产生12个一面红的小正方体，个数最少。

两个面染红的长方体，应将3×4、3×5两个长方形染红，产生3×(4－1)＋3×(5－1)＝21(个)一面红的小正方体，其它染法产生的一面红的小正方体均超过21个。

三个面染红的长方体，应将有一个公共顶点的三个面染红，这时产生(3－1)×(4－1)＋(4－1)×(5－1)＋(5－1)×(3－1)＝26(个)一面红的小正方体，其它染法产生的一面红的小正方体均超过26个。 所以，一面红的小正方体最少有12＋21＋26＝59(个)。

例4 设a与b是两个不相同的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有多少种不同的值？(北京市“迎春杯”数学竞赛题) 解：a与b的最小公倍数72＝2×2×2×3×3，有12个约数：1, 2，3, 4，6, 8，9, 12, 18, 24, 36, 72。不妨设a＞b。

(1)当a＝72时，b可取小于72的11种约数，a＋b的值为73、74、75、76、78、80、81、84、90、96、108，共11个；

(2)当a＝36时，b必须取8或24，a＋b的值为44或60，共2个； (3)当a＝24时，b必须取9或18，a＋b的值为33或42，共2个； (4)当a＝18时，b必须取8，a＋b的值只有1个26； (5)当a＝12时，b无解；

(6)当a＝9时，b必须取8，a＋b的值只有1个17。 所以a＋b可以有11＋2＋2＋1＋1＝17种不同的值。

练 习 八

1．连乘积11×12×13ׄ×54×55×56的末尾共有多少个连续的0？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

2．一本书有500页，编上页码1，2，3，„。问数字1在页码中出现多少次？(美国长岛小学数学奥林匹克竞赛题)

3．如图，24块边长为10cm的正方体瓷砖，排成如下黑白相间的长方形。

24

一只蚂蚁沿着瓷砖的边爬行，爬行中它的左边总有一块黑的瓷砖。这只蚂蚁从左上角到右下角，至少爬了多少厘米？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

4．用1，2，3，4，5，6，7七个数字组成两个三位数和一个一位数(其中一个已知是714)，使得这三个数中任意两个都互质，(“华杯赛”试题) 5．三年级小朋友做投球游戏，把红、黄两种颜色的球投到5m外的小铁筐里，每投进一个红球得7分，投进一个黄球得5分。马小勤一共得了58分，他投进了几个红球？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

6．有一类小于200的自然数，每一个数的数字和是奇数，而且都是两个两位数的乘积(例如：144＝12×12)，那么，在这一类自然数中，第三大的数是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

7．如果给一本百科全书编上页码需要6869个数字。那么，这部书共有多少页？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

8．用1角、2角和5角三种人民币(每一种的张数没有限制)组成1元钱，有多少种不同的方法？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

9．在五位数中，是9876的倍数并且各位数字的和等于24的有多少？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

10．一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中 最小的是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

11．方格纸上有一只小虫，从直线AB上的一点O，沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为1cm。小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点。如果小虫一共爬过2cm，那么小虫爬行路线有多少种？如果小虫一共爬过3cm，那么小虫爬行的路线有多少种？(《小学生数学报》数学竞赛题)

A· O· ·B

25

12．下面5张卡片上分别写有数字：

0 0 1 2 3 可以用它们组成许多不同的五位数。求所有这些五位数的平均数。(北京市第 “迎春杯”数学竞赛题)

第九讲 逐步调整

有些问题没有现成的解法，可以根据已知条件先大体上判断一下解可能存在的范围，或者按照题目的要求进行试算，然后再一步步向正确的解逼近，这种数学思想方法叫做逐步调整。

例1 用1，1，2，2，3，3，4，4这八个数字写一个八位数，使得两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字，两个4之间有4个数字。(小学数学奥林匹克竞赛题)

解：试算发现，只有41312432、23421314满足要求。

例2 ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字。已知ABCD＋EFG＝1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少？(“华杯赛”试题)

解：列出算式ABCD＋EFG＝1993。可以看出A＝1；因为E最小是2，所以B最大是7；由于D、G都不能是0、1、2，所以D＋G＝13，G最小是4，D最大是9；于是C＋F＝8，由于F最小是3，所以C最大为5。从而三位数BCD最大为759，这时EFG＝234；BCD最小为234，这时EFG为759。ABCD×EFG＝(1000＋BCD)×(993－BCD)＝1000×993－1000×BCD＋993×BCD－BCD×BCD＝993000－7×BCD－BCD×BCD。于是在BCD最大时，乘积最小；BCD最小时，乘积最大。因此，所求的差是(993000－7×234－234×234)－(993000－7×759－759×759)＝525000。

例3 图中的6条线分别连接着9个○，其中一个○里的数是6。请你选九个连续自然数(包括6在内)，填入○内，使每条线上各数的和都等于23。(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

26

解：当六条线上的数相加时，6只加了一次，其余的数分别加了两次，所以这九个连续自然数的和是(23×6＋6)÷2＝72。于是，九个数的中间数是72÷9＝8，这九个数是4，5，6，7，8，9，10，11，12。其中只有11＋12＝23，所以11和12只能填在右边的两个○内。23－6＝17，所以在6的两边只能填10和7或者9和8。经试算，填10和7时无解；填8和9时得到两个解：

例4 四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场。如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。比赛结果，各队的总得分是四个连续的自然数。问：输给第一名的队总分是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

解：四个队共赛4×3÷2＝6场，6场总分m在2×6＝12到3×6＝18之间。所以m＝2＋3＋4＋5＝14或3＋4＋5＋6＝18。如果m＝18，就是说6场都有胜负，没有平局，而5＝3＋1＋1，表明有两场踢平，出现矛盾，说明这种情况不会发生，所以只能是m＝14。而14＝3×2＋2×4，表明6场中只有2场分出胜负。第一名得5分，5＝3＋1＋1，说明胜一场，平两场。第二名得4分，只能是4＝3＋1＋0，即，胜一场，平一场，负一场。因为6场中只有两场分出胜负，所以第三名和第四名都没有胜过，第二名输掉的这一场只能是输给第一名，因此，输给第一名的队就是第二名，得了4分。

练 习 九

1．一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上1位乘客，第二站上2位乘客，第三站上3位乘客，依此类推，第几站后车上坐满乘客？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

2．把1、2、3、4、5、6、7、8、9按另一种顺序填在下表的第二行空格中，使得每两个上下对齐的数的和都是完全平方数。(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

27

1 2 3 4 5 6 7 8 9 3．哥哥对弟弟说：“到21世纪的x2年，我是x岁。”哥哥是哪年出生的？(《小学生这报》数学竞赛题)

4．算式ABAB－CBA＝BCA中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。则A、B、C分别代表什么数字？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

5．张教授连续做实验若干个小时。开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针与分针重合。已知这个挂钟只在整点报时(几点就敲几下)，整个实验过程中共敲了39下。问： (1)张教授的实验一共做了几小时？

(2)他做完实验时，挂钟敲了几下？(《小学生数学报》数学竞赛题)

6．三个正方体的棱长分别是2cm、2cm、5cm，将它们粘在一起，可得到一个新的几何体。这个几何体的表面积最小是多少平方厘米？(《小学生数学报》数学竞赛题)

7．一本画册的页码是从1开始的，后来缺少了一张(即两个页码)，如果剩下的页码的和是90，那么缺少了哪一张？

8．用1、2、3、4、5、6每个数字只用一次，组成两个三位数，并使它们的和最小。这两个三位数的和是多少？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

9．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数(例如：123的反序数是321)，则n＝？(北京市 “迎春杯”数学竞赛题)

10．有5块正方形的花圃，它们的边长分别是3m、4m、5m、8m、9m。请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班管理，使两个班所管理的面积尽可能接近。(《小学生数学报》数学竞赛题)

11．新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36人。统计员提供的学生总数比实际总人数少180人。原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。这个学校学生总数是多少人？(《小学生数学报》数学竞赛题)

12．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字。已知ABCD＋EFG＝1993，问：三位数EFG的最大

28

是多少？(“华杯赛”试题)

第十讲 假设法

假设法是一种常用的数学思想方法。在运用这种方法时，通常先假设某个条件成立，据此得到某个结论或者引出矛盾，从而使问题得以解决。 例1 正方形客厅边长12m，如果正中铺一块正方形纯毛地毯，外围铺化纤地毯，共需22455元。已知纯毛地毯每平方米250元，化纤地毯每平方米35元，请求出铺在外围的化纤地毯的宽度是多少米？(“华杯赛”试题) 解：如果全铺化纤地毯，可以少用22455－35×122元，每平方米少用250－35元，所以纯毛地毯的面积是(22455－35×122)÷(250－35)＝81(m2)，即纯毛地毯边长9m，外围化纤地毯宽(12－9)÷2＝1.5(m)。

例2 小刚骑车从8路汽车的起点站出发，沿着8路车的行驶路线前进。当他骑了1650米时，一辆8路公共汽车从起点站出发，每分钟行450m。这辆汽车在行驶过程中每行5分钟停靠一站，停车时间为1分钟。小刚骑车速

2度是汽车速度的，这辆汽车出发后多长时间追上小刚？(《小学生数学报》

3数学竞赛题)

解：假设汽车中途不停，那么汽车追上小刚所需的时间是1650÷(450－

2450×)＝11(分钟)。11分钟里包含2个5分钟，汽车要停2次，车停时小

322刚行了450××2＝600(m)，而600÷(450－450×)＝4(分钟)，所以汽车

33追上小刚所需的时间是11＋2＋4＝17(分钟)。

例3 某校数学竞赛，A、B、C、D、E、F、G、H八位同学获得前八名，教师让他们猜一下谁是第一名。

A说：“或者F是第一名，或者H是第一名。” B说：“我是第一名。” C说：“G是第一名。” D说：“B不是第一名。”

E说：“A说得不对。” F说：“我不是第一名，H也不是第一名。” G说：“C不是第一名。” H说：“我同意A的意见。”

老师指出：只有三人猜对了。那么谁是第一名？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

解：如果A是第一名，那么D、E、F、G四人猜对；如果B是第一名，那

29

么B、E、F、G四人猜对；如果C是第一名，那么D、E、F三人猜对；如果D是第一名，那么D、E、F、G四人猜对；如果E是第一名，那么D、E、F、G四人猜对；如果F是第一名，那么A、D、G、H四人猜对；如果G是第一名，那么C、D、E、F、G五人猜对。如果H是第一名，那么A、、D、G、H四人猜对；只有C是第一名时有3人猜对，所以C是第一名。

例4 有大中小三个正方形，组成了八个三角形(如图)。如果把1、2、3、4分别填在每个正方形的四个顶点上，能否使八个三角形顶点上各数之和相等？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

解：假设存在某种填法使八个三角形顶点上各数之和相等，不妨设这个和为k。在计算八个三角形顶点上各数之和时，大正方形每个顶点上的数各用了1次，中正方形每个顶点上的数各用了3次，小正方形每个顶点上的数各用了2次，因此这八个三角形顶点上各数的总和8k＝(1＋2＋3＋4)×(1＋3＋2)＝60，而60不能被8整除，所以假设是错误的，即不存在使八个三角形顶点上各数之和相等的填法。

练 习 十

1．在一个停车场上，现有的车辆数恰好是24，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子。那么，三轮摩托车有多少辆？(小学数学奥林匹克竞赛题)

2．三种昆虫共18只，它们共有20对翅膀116只腿。其中每只蜘蛛是无翅8条腿，每只蜻蜓2对翅膀6条腿，蝉是1对翅膀6条腿，问这三种昆虫各多少只？(《小学生数学报》数学竞赛题)

3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只。每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球，那么，箱子里原有红球多少只？(小学数学奥林匹克竞赛题) 4．A、B、C、D四名学生猜测自己的数学成绩。A说：“如果我得优，那么B也得优。”B说：“如果我得优，那么C也得优。”C说：“如果我得优，那

30

么D也得优”大家都没说错，但只有两个人得优。得优的是哪两个人？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

5．李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一人当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。”张斌说：“我不是记者。”王大为说：“李志明说了假话。”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么谁是记者？(《小学生数学报》数学竞赛题)

6．王春、陈刚、殷华当中有一人做了件坏事，李老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：陈：“我没做这件事。殷华也没做这件事。”

王：“我没做这件事。陈刚也没做这件事。”殷：“我没做这件事。也不知道谁做了这件事。”当李老师追问时，得知他们都讲了一句真话，一句假话。那么做坏事的是谁？(小学数学奥林匹克赛题)

7．有5000多根牙签，按六种规格分成小包。如果10根一包，那么最后还剩9根。如果9根一包，那么最后还剩8根。第三、四、五、六种规格是，分别以8、7、6、5根为一包，那么最后剩7、6、5、4根。原来一共有牙签多少根？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

8．六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，共花2800元。其中单程票每张20元，往返票每张40元。那么单程票和往返票相差多少张？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

9．马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7620元。他在甲公司打工几个月？在乙公司打工几个月？(《小学生数学报》数学竞赛题)

10．小刚骑车从8路汽车的起点站出发，沿着8路车的行驶路线前进。当他骑了1650m时，一辆8路公共汽车从起点站出发，每分钟行450m。这辆汽车在行驶过程中每行5分钟停靠一站，停车时间为1分钟。已知小刚骑车的速度是每分钟300m，这辆汽车出发后多长时间追上小刚？(《小学生数学报》数学竞赛题)

11．小克林顿做家务每天可得3美元，做得特别好时每天可得5美元。有一个月(30天)他共得100美元，这个月他有几天做得特别好？(美国小学数学奥林匹克竞赛题)

31

12．有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中的两份，再将它们三等分后还剩2个苹果；然后再取出其中的两份，又将它们三等分后还剩2个苹果。问：这筐苹果至少有多少个？（“华杯赛”试题）

第十一讲 辅助量

在解决数学问题时，如果涉及的数量关系比较复杂，可以设立适当的辅助未知数，使关系更加清晰。类似地，对于某些比较复杂的图形问题，可以适当地添加一些辅助线，使图形的特性更加鲜明。

例1 如图，长方形面积为35cm2，左下角直角三角形的面积为5cm2，右上角直角三角形的面积为7cm2，那么中间三角形(阴影部分)的面积是多少平方厘米？(小学数学奥林匹克竞赛题)

7

5

解：设长方形的长和宽分别是a和b，那么，右下角三角形的底就是a

1533723525的1－＝，高就是b的1－＝，面积是×(a×b)＝ab

357527514353＝×35＝7.5(cm2)。阴影部分的面积是35－(7＋5＋7.5)＝15.5(cm2)。 14 例2 左下图中有9个方格，要求每个方格中填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。问：图中左上角的数是多少？(“华杯赛”试题)

？ ？ x1 x2 19 x3 19 13 13 x4 解：如右上图，设相应方格中的数为x1，x2，x3，x4。于是，？＋x1＋x2＝？＋x3＋x4＝x1＋x3＋13＝x2＋19＋x4，从而前两个式子的和等于后两个式子的和，即2×？＋x1＋x2＋x3＋x4＝13＋19＋x1＋x2＋x3＋x4。所以2×？＝13＋19＝32，？＝16。

例3 甲班有42名学生，乙班有48名学生。已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的总成绩相同，各班的平均成绩都是整数并且都

32

高于80分。那么甲班的平均成绩比乙班高多少分？(小学数学奥林匹克赛题) 解：设甲班的平均成绩为a，乙班的平均成绩为b，于是42a＝48b，即7a＝8b。从而b是7的倍数，因为80＜b≤100，所以b＝84、91、98。试算发现，当b＝91时，a＝91×8÷7＞100，所以b＝84，a＝84×8÷7＝96。

例4 左图中三角形ABC被分成甲(阴影部分)、乙两部分。BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6。甲部分的面积是乙部分面积的几分之几？(《小学生数学报》数学竞赛题)

A A

E 乙 E 乙 甲 甲 B D C B D C 解：连结AD。因为BE＝

1AE，所以三角形AED的面积＝2×甲的面积，2三角形ABD的面积＝3×甲的面积。又因为BD＝CD，所以，三角形ABD的面积＝三角形ADC的面积，三角形ABC的面积＝6×甲的面积。从而，

甲的面积甲的面积1＝＝

乙的面积6甲的面积－甲的面积51即甲部分的面积是乙部分面积的。

5练 习 十 一

1．动物园的饲养员给三群猴子分花生。如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么平均分给三群猴子，每只猴子可得多少粒？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

2．一个长方形(如图)，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20亩、25亩、30亩。问：另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少亩？(“华杯赛”试题)

25 20

30

33

3．下图是一个400m的跑道，两头是两个半圆，每个半圆的弧长是100m，中间是一个长方形，长为100m，那么两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比是多少？(小学数学奥林匹克赛题)

4．某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是75.5分、81分。问：这个班男、女生人数的比是多少？(“华杯赛”试题)

5．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄差是小明年龄的4倍，求小明的年龄。(“华杯赛”试题)

6．图中的“○”内分别有五个数A、B、C、D、E，“□”内的数表示与它相连的所有“○”中的数的平均数。C＝？(《小学生数学报》数学竞赛题)

7．一个自然数除以19余9，除以23余7。那么这个自然数最小是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

8．有甲、乙、丙三个数，已知甲数是乙数的3倍，乙数是丙数的2倍，那么甲数是乙、丙两数之和的几倍？

9．一艘轮船往返于A、B两地，去时顺流每小时行36km，返回时逆流每小时行24km，往返一次共用15小时。A、B两地相距多少千米？

10．如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4。那么，三角形ABC的面积是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

A F

C

D B E 34

11．已知四边形ABCD是正方形，边长为3，BE＝1.5，AF＝1。求阴影部分的面积。(日本算术奥林匹克赛题)

A D

F

B E C

12．平行四边形花池的边长分别为60m和30m。小明和小华同时从A点出发，沿着花池的边按A→B→C→D→A„„的顺序走下去。小明每分钟走50m，小华每分钟走20m，出发5分钟后，小明走到E点，小华走到F点。连结AE、AF，四边形AECF的面积与平行四边形ABCD的面积的比是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

A D

30M

B 60M C

第十二讲 等量代换

用一个与已知量相等的量代替已知量，使问题经过转化而最终得以解决，这种思考方法叫做等量代换。

例1 图中的五角星∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和是多少度？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

123217634545

解：如右上图，因为∠2＋∠5＝∠7，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝∠1＋∠3＋∠4＋∠7，而∠3＋∠7＝∠6，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝∠1＋∠4＋∠6＝180°。

35

例2 在三角形ABC中，D、E是BC边上的点，BD＝AB，CE＝CA，∠DAE1＝∠BAC，求∠BAC的度数。(“华杯赛”试题) 3

1解：设∠BAE、∠EAD、∠DAC的度数分别为a、b、c，则b＝(a＋b＋

3c)，即2b＝a＋c(式①)。由AB＝BD，得a＋b＝∠BDA＝c＋∠C(式②；由CE＝AC，得b＋c＝∠CEA＝a＋∠B(③式)。由②＋③，得a＋c＋2b＝a＋c＋∠B＋∠C，两边加上b，得a＋c＋3b＝∠B＋∠C＋∠BAC＝180°。再由①，得5b＝180°，所以b＝36°。于是，∠BAC＝3b＝108°。

1 例3 图中，AD＝AC，三角形CDE的面积是三角形ABC的一半。问：

4BE的长是BC的几分之几？(“华杯赛”赛题)

115AC，所以S△ADB＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＋S△ADB＝ 444151S△ABC，而S△BCD＝S△CDE＋S△BDE，S△CDE＝S△ABC，所以S△BDE＝S△BCD－S△CDE＝S△ABC－S

242解：连结BD，由于AD＝

△ABC

3132BE3CESCDE＝S△ABC，从而＝＝÷＝，＝。 4243BC5EBSBDE 例4 梯形ABCD的中位线EF长15cm(如图)，∠ABC＝∠AEF＝90°，G

1是EF上的一点。如果三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积是，那么EG的

5长度是多少厘米？(“华杯赛”试题)

36

解：梯形ABCD的面积等于EF×AB，而三角形ABG的面积等于因此三角形ABG和梯形ABCD的面积比等于

1EG×AB，21EG与EF的比。因为三角形ABG211的面积是梯形ABCD的面积的，即EG∶EF＝1∶5，所以EG∶EF＝2∶5，

522于是EG＝15×＝6(cm)。

5练 习 十 二

1．在一个三角形中，第一个内角的度数是第二个内角度数的3倍；第三个内角的度数是第二个内角度数的二分之一，那么第一个内角是多少度？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

2．如图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2。求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是多少厘米？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

3．某次考试，张、王、李、陈四人的成绩统计如下：张、王、李平均91分；王、李、陈平均89分；张、陈平均95分。那么张得了多少分？(小学数学奥林匹克竞赛题)

4．如图，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6cm2，那么a的长度是多少厘米？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

5．下图中，∠1、∠2、∠3、∠4的和是多少度？(《小学生数学报》数学竞赛题)

37

6．在算式1abcde×3＝abcde1中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么1abcde是多少？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

7．○＋○＋○＋○＝100，(△＋△)×○＝100，□＋○×△×△＝104，□＝？(《小学生数学报》数学竞赛题)

8．在图中的7个圆圈内各填一个数，要求每条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数。现在已经填好两个数，那么x＝ 。(小学数学奥林匹克竞赛题)

B

D x C

13 A 17 9．已知在下列两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。那么，满足下列算式的A＋B＋C＋D＋E＝？(北京市 “迎春杯”数学竞赛题)

A B C C B A ＋ D E ＋ E D 6 6 4 1 7 8

10．妈妈给小青14元，让他去买5斤香蕉、4斤苹果，结果他买的数量给弄颠倒了，从而还剩下1元。那么苹果每斤的售价是多少元？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

11．有A、B、C三种货物，甲购A物3件、B物5件、C物1件，付款20元；乙购A物4件、B物7件、C物1件付款25元；丙购A、B、C物各1件，应付多少元？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

12．甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每月保持不变，乙厂生产的玩具数量每月增加一倍。已知一月份甲、乙两厂生产的玩具总数是98件，二月份甲、乙两厂生产的玩具总数是106件，那么乙厂生产的玩具

38

数量，第一次超过甲厂生产的玩具数量是在几月份？(小学数学奥林匹克竞赛题)

第十三讲 数形结合与抓住不变量

在一定条件下数和形的可以转化的。解题中，常常可以借助于图形的性质，使许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，从而有利于问题的解决；也常常将一些较为复杂的图形问题归结为数量关系来加以研究解决，这种思考方法叫做数形结合。

例1 五年级三个班共有37人参加数学竞赛，其中一班参加人数的

1比4111二班参加人数的多1人；一班参加人数的与二班参加人数的的和等于

5451三班参加人数的。问：一、二、三班各有多少人参加？(“祖冲之杯”数学

3竞赛题)

解：题中的数量关系非常复杂，可以采用画线段图的方法来解决。 一班人数：

1 1 1 1 1

二班人数加5人： 1 1 1

三班人数加3人：

可以看出，二班人数加5人，三班人数加3人以后，三个班的总人数包 含4＋5＋6＝15个小段，每段是(37＋5＋3)÷15＝3(人)，所以一班参加的有3×4＝12(人)；二班参加的有3×5－5＝10(人)；三班参加的有3×6－3＝15(人)。

例2 把边长9.5分米的正方形钢板切割成如图的直角三角形小钢板，最多可以切割成多少块？(《小学生数学报》数学竞赛题)

解：9.5×9.5÷(4.5×1)×2＝40.1，所以切割成的块数不超过40。另一方面，边长9.5分米的正方形可以分成4个4.5×5的长方形和一个0.5×0.5的正方形(图1)，而每个4.5×5的长方形可以分成10个所说的三角形(图

39

2)，因此这块正方形钢板可以切割成40块所要求的三角形钢板。

在解题过程中许多量都在改变，不过有时也会有一些量始终不变，抓住这些不变量往往会促使问题得到解决。

132426483972 例3 计算。(《小学生数学报》数学竞赛

1242483612题)

解：观察发现，分子的三项中都含有因数1×3×24，分母的三项中都含有因数1×2×4，于是，原式＝

1324(1827)＝9。

124(1827) 例4 小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是多少？(《小学生数学报》数学竞赛题)

解：由于二人都没有看错乙数，所以乙数是1274和819的公约数。1274＝2×7×7×13,819＝3×3×7×13，1274和819的公约数有1、7、13、91四个。由乙数是两位数，可排除乙数是1和7；又由小涂看错了的甲数也是两位数，可排除乙数是91，否则小涂看错了的甲数只能是一位数9，因此乙数是13。于是，小胡看错的甲数是1274÷13＝98，十位上的9没有看错；小涂看错的甲数是819÷13＝63，个位上的3没有看错，所以甲数是93。 练 习 十 三

1．有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如左下图)的面积是45cm2，求这个大长方形的周长。(《小数学生学报》数学竞赛题)

40

2．一个矩形分成4个不同的三角形(右上图)，绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21cm2。问：矩形的面积是多少平方厘米？(“华杯赛”试题)

黄 红 蓝 绿

3．图1、图2都是由完全相同的正方形拼成的，并且图1的周长是24cm，那么图2的周长是多少厘米？(《小学生数学》数学竞赛题)

(图1) (图2)

4．图中有5个正方形，边长分别是1m、2m、3m、4m、5m。黑色部分的面积是多少平方米？白色部分的面积是多少平方米？(“华杯赛”试题)

5．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问：小强赛了几盘？(“华杯赛”试题)

6．铁路沿线有25个村镇：A1，A2，A3，„„，A25。每两个相邻的村镇相距5km。在A1已有一个车站，现要增设一个车站，使得各村镇居民到车站的距离尽可能短。那么新车站应设在哪个村镇？（南京市“兴趣杯”数学竞赛题）

123246714217．计算：＝？(小学数学奥林匹克竞赛题)

1352610721358．有两堆煤，第一堆的重量是第二堆的4倍。当第二堆运走6.25t后，第一堆煤的重量是第二堆的6倍。第二堆煤原有多少吨？(《小学生数学报》数学竞赛题)

41

9．今年祖父的年龄是小明的6倍。几年后祖父的年龄将是小明的5倍。又过几年后祖父的年龄将是小明的4倍。祖父今年多少岁？(“华杯赛”试题) 10．222„2除以13所得的余数是多少？(《小学生数学报》数学竞赛题)

2000个“2”

11．一个11位数9□□□□□□□□□7，它的每三个相邻数字之和都是20，这个数的百万位上的数字是几？(“华杯赛”试题)

12．如图，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1～7这7个数字。已知3条直线的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等。图中间的“好”代表几？（《小学生数学报》数学竞赛题)

第十四讲 用字母表示数

用字母表示数，可以把数和数量关系简明地表示出来，有利于对数和数量关系进行分析。

例1 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来，得数恰好是某个自然数的平方。这个和数是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

解：设原来的两位数是xy，交换十位数字与个位数字后的两位数就是yx，两数的和为xy＋yx＝10x＋y＋10y＋x＝11×(x＋y)。这个和是11的倍数，所以也是112＝121的倍数。因为两个两位数的和小于200，所以要求的和数就是121。

例2 有一个电话号码是6位数，其中左边3位数字相同，右边3位数字是3个连续的自然数，6个数的和恰好等于末尾的两位数。这个电话号码是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)

解：设这个电话号码是aaabcd。因为b、c、d是三个连续的自然数，所以d＝c＋1或d＝c－1。六个数字的和3a＋3c＝10c＋d可简化为

3a＋3c＝11c＋1 ①

42

或 3a＋3c＝11c－1 ②

由①得3a＝8c＋1，于是c＝1，a＝3。由②得3a＝8c－1，于是c＝2，a＝5。因此，这个电话号码是333012或555321。

111111 例3 ＋＋＋＋＋＝1。请找出6个不同的自然数，分

□□□□□□别填入6个方框中，使这个等式成立。(“华杯赛”试题)

解：先采取“一分为二”的方法：

111111111111111＝＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＋，

22244248824816161111111再根据－＝可得，＝＋＝，于是，1＝

nn1n(n1)16171617272111111＋＋＋＋＋。(答案不惟一。) 2481617272 例4 某公共汽车线路上有15个车站(包括起点站和终点站)，公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中，每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车。要使汽车在行驶中乘客都有座位，那么在车上至少要安排多少个座位？(“祖冲之杯”数学竞赛题) 解：按照题意列出下表： 第几站 下车人数 1 0 2 13 1 26 3 12 2 36 „„ „„ „„ „„ 13 2 12 26 14 1 13 14 15 0 14 0 上车人数 14 留有人数 14 观察发现，如果用k表示站的序数，那么，汽车从第k站开出时，留在车上的乘客人数可以用k(15－k)表示。试算得出，当k＝7或8时，k(15－k)＝7×8＝56，或k(15－k)＝8×7＝56，k(15－k)的值最大，所以车上至少要安排56个座位。

练 习 十 四

1．四位数3AA1能被9整除，求A。(美国长岛小学数学奥林匹克竞赛题)

2．老师报出一个四位数，要求先把这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新的四位数，再把这两个四位数相加。甲的答数是9898；乙的答数是9998；丙的答数是9988；丁的答数是9888。已知甲、乙、丙、丁四位同学中有一位

43

同学的结果是正确的，那么做对的同学是谁？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

3．一个两位数中间插入一个数字(包括0)，就变成一个三位数。例如72中间插入6后成了762。有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9倍，这样的两位数有哪几个？(“祖冲之杯”数学竞赛题) 4．有这样三个数字，它们能组成6个不同的三位数，已知这6个三位数的和是2886，那么其中最小的一个三位数是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

5．写出10个不同的自然数，使它们的倒数的和等于1。(《小学生数学报》数学竞赛题)

6．有4个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长为1、3、5、7。将这些正方体锯成棱长为1的小正方体，得到的小正方体中，至少有一个面是红色的有多少个？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

7．有一个八位数abcdefgh，这个八位数乘h所得的积是aaaaaaaaa，那么a＝？(小学数学奥林匹克竞赛题)

8．王小二放一群鸭子到池塘，邻居李大妈问王小二一共有多少只鸭子。王小二答道：“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100。”王小二一共有鸭子多少只？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

9．a、b、c都是自然数，已知a×b＝132，b×c＝,156，c×a＝143，那么a＋b＋c＝？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

10．甲班有42名学生，乙班有48名学生。已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果两班的数学总成绩相同，两班平均成绩都是整数并且都高于80分。那么，甲班的平均成绩比乙班高多少分？(小学数学奥林匹克竞赛题)

11．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄。又知道他们年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄。(“华杯赛”试题)

12．两年前甲的年龄是乙的4倍；两年后，甲的年龄是乙的3倍。今年甲多少岁？乙多少岁？(小学数学奥林匹克竞赛题)

第十五讲 奇偶分析法

奇数和偶数除了自身的一些特性(如奇数不可能等于偶数)以外，还有许

44

多运算特性，如两个偶数的和一定还是偶数，两个奇数的积一定还是奇数等。利用奇偶数的这些特性，可以解决许多数学问题。

例1 某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50题。评分标准是：答对一道题给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请说明：该班同学得分总和一定是偶数。(“从小爱数学”数学竞赛题)

解：在未答题前每人都是0分，0是偶数。做一道题，无论答对、答错或不答，增加或减少的都奇数分(3和1都是奇数)，得分变成奇数，再做一道题，得分又变成偶数，照这样做50道题，得分从偶数开始变50次，最后还是偶数。全班无论多少人，总分都是若干个偶数的和，所以得分总和一定是偶数。

例2 图中圆圈内依次写出前25个质数。甲顺序计算相邻两个质数之和填在上行方格中；乙顺序计算相邻两个质数之积填在下行方格中。

问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同？为什么？(“华杯赛”试题)

解：质数中只有一个偶数，其余都是奇数。所以甲填的各中除了第一个是奇数5以外，其余的都是不小于8的偶数。乙填的积数中，除了第一个偶数6以外，其余所填的都是不小于15的奇数。因此，甲填的数与乙填的数全都不相同。

例3 把下图中的圆圈任意涂成红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。(“华杯赛”试题)

解：假设每条线上的红圈都是奇数个，那么，5条线上的红圈数相加仍

45

是奇数。但是，5条线上的红圈数相加时，由于每一个圈都在两条线上，因而都计算了2次，于是相加的总和应当是偶数。这就出现了矛盾，所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数。

例4 六(1)班全班35名同学。教室的课桌排成5排，每排7人。每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座。为了保护视力，打算改变一下座位，能否做到让每个同学都换到他的邻座？

解：奇数和偶数是交互相邻的自然数，这种特性可以用“黑”“白”格子来表示。画一个5行7列的方格图，并且用“黑”“白”格子区分出邻座关系。

图中共有18个白格子、17个黑格子，二者的个数不相等，所以无论怎样改换座位，都不可能做到让每个同学都换到他的邻座。这种由奇偶数的特性所形成的特殊方法叫做“染色区分法”。

练 习 十 五

1．能不能在式子1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？(“华杯赛”试题)

2．两个四位数相加，第一个四位数的每一个数字都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数字调换了位置。某同学的答数是16246。试问，该同学的答数正确吗？如果正确，请写出这两个四位数；如果不正确，请说明理由。(“从小爱数学”数学竞赛题)

3．二十七名小运动员所穿运动服的号码为1，2，3，„，26，27这二十七个自然数。问：这些小运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻两个运动员号码数之和都是质数？请说明理由。(“华杯赛”试题)

4．如图，从O点起每隔3米 棵树。如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数(以米为单位)。试说明理由。

46

(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

5．有11张卡片，分别写着1～11这11个自然数。现在要把这11张卡片分成两堆，使得一堆所有卡片上的数之和都是奇数，另一堆卡片所有上的数之和都是偶数。能否做到？为什么？

6．任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？为什么？

7．有12张卡片，其中三张上面写着1，三张上面写着3，三张上面写着5，三张上面写着7。能否从中选出5张，使它们上面的数的总和等于20？为什么？

8．有一本500页的书，从中任意选出20张，这20张上所有页码之和能否等于1999？

9．有一根团面一团的毛线，拿剪刀任意剪一刀，如果剪出了偶数个断口，那么，这根毛线被剪成了偶数段还是奇数段？

10．下图是一张9行9列的方格纸，在每个方格内填入所在行数与列数之和，例如a＝4＋7＝11。在填入的81个数中，偶数有多少个？

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 a 5 6 7 8 9

11．3～9这七个数，两两相乘后所得乘积之和是奇数还是偶数？ 12．右上图是一套房子的平面图，图中的方格表示房间，每个房间都有通向邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？

47

参考答案：

第一讲 从简单情况找规律

..19951．＝153.461538，循环节有6个数字，其中只有1个“6”。1995÷6＝332„„

133，所以数字6共出现332＋1＝333(次)。

2．从5！＝1×2×3×4×5＝120可知，对于所有大于4的自然数n，n！的个位数字都是0，因此，1！＋2！＋3！＋„＋100！的个位数字就是1！＋2！＋3！＋4！＝33的个位数字3。

3．按规则多写几个数字：1989286884286884„，可见1989后面不断重复出现286884，每6个一组。(1989－4)÷6余5，所求的数字是8。

4．(1)分母为1,2,3,4,5,„的分数分别有1,3,5,7,9,„个。如果把分母相同的分

7是其中的第7个和107第13个分数。在它前面还有1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝81(个)分数，所以是

10数看成一组，分母是10的第10组分数共有10×2－1＝19(个)，

第81＋7＝88(个)和第81＋13＝94(个)分数。(2)因为1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝n，而400＝20，所以第400个分数是第20组的最后一个分数，是

2

2

1。 205．从1条直线开始，逐渐增加直线的条数，从最多分成的纸片数找规律。 直线的条数n：1 2 3 4 5 „„ 分成的片数N：2 4 7 11 16 „„

观察发现，N＝1＋1＋2＋3＋„＋n。当n＝9时，N＝46；当n＝10时，N＝56。所以至少要画10条直线。

6．按照规则，前几个小朋友放完后，盒子里球的个数依次是： 盒 子 未移动以前 第1人放过后 第2人放过后 第3人放过后 第4人放过后 第5人放过后 A 6 5 4 3 6 5 B 4 3 6 5 4 3 C 5 4 3 6 5 4 D 3 6 5 4 3 6 可见经过4人后，四个盒子中的球数重复出现，34÷4余2，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子里中有6个球。

48

7．观察发现：1,1,2,3,5,8,13,21,„„是按“奇数，奇数，偶数”3个数一循环。2007÷3没有余数，所以第2007个数是偶数。

8．计算得到：这串数的后一个数总是前一个数的2倍，接下去是128,256,512,„从第一个数开始，除以9的余数依次是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8，„按“1,2,4,8,7,5”6个数一循环。2008除以5余3，所以第2008个数除以9的余数是4。

9．观察发现：每8个数一循环，所在的列数依次是“2,3,4,5,4,3,2,1”。2007除以8余7，所以第2007个数出现在第2列。

10．一位数从1到9有9个数字；两位数从10到99有90个数，一共有2×90＝180(个)数字；还差200－9－180＝11(个)数字。依次写出三位数100,101,102,103，第11个数字是0，所以这个数从左数第200位上的数字是0。

11．试验得知，对折3次一共形成7个折痕，这些折痕是剪不到的，所以最后会得到2cm长的小长方形7块。从40cm的总面积中减去这7块长方形的面积还剩40－7×2＝26(cm)，说明边长为1 cm的小正方形有26块。

12．第3行第3个数是1；第4行第3个数是3＝1＋2；第5行第3个数是6＝1＋2＋3；第6行第3个数是10＝1＋2＋3＋4。观察发现：最后的那个加数总是比行数少2。所以，第100行第3个数是1＋2＋3＋„＋98＝(1＋98)×98÷2＝4851。

第二讲 从整体上看问题

2

2

1231988＝994.5。

198811112．原式＝(1＋2＋3＋„＋20)＋(＋＋＋„＋)＝210＋(1

1223341021201－)＝210。

21211．原式＝

3．两堆碎石的体积是3×3×0.06＋2×2×0.04＝0.7(m)，大水池水面升高0.7÷(6×6)＝

3

0.717(米)，合1cm。 36187m。从第一次相154．从出发到第一次相遇，两人共走半个周长，其中小明走了10遇到第二次相遇，两人共走一个周长，其中小明走10

714×2＝20(m)。小明从出发到1515714第二次相遇，共走了半个周长，所以水池的周长是(10＋20)×2＝62.8(m)。

15151115．因为GM∶MH＝(－)∶＝1∶2，所以长方形AEFD的面积等于长方形BCFE

46649

11121，即3×＝1(m)。又因为AG∶AD＝(1－)∶1＝3∶4，所以长方形AEMG的222431312

面积等于长方形AEFD的，即1×＝1(m)。

4248的

6．从算式整体上看，乘数十位数的本位积是两位数，而乘数个位数的本位积是三位数，乘数只能是89，被乘数只能是12。所以积是12×89＝1068。

7．原式＝(19961996＋1)×19971996－19961996×(19971996＋1)＝19971996－19961996＝10000。

8．

111，，。 81689．因为最大的两位单数是99，所以，这10个数中最小的一个是898－(99＋97＋95＋„＋83)＝79。

10．每组数的平均数相等，这个平均数就是这999个自然数的平均数，等于(1＋2＋3＋„＋999)×999÷2÷999＝500，因此，这三组平均数的和是500×3＝1500。

11．1＋3＋5＋„＋87＝1936＜1998，1＋3＋5＋„＋89＝2025＞1998，所以擦去的单数是2025－1998＝27。

12．因为1997－1996＝(1997＋1996)×(1997－1996)＝1997＋1996＝3993，1993－1992＝(1993＋1992)×(1993－1992)＝1993＋1992＝3985，所以1997－1996＞1993

22

2

2

2

2

2

2

－1992，即第二组大正方形的面积与第一组大正方形的面积的差，大于第一组小正方形的面积与第一组小正方形的面积的差，因此，第二组两个正方形的面积比较大。

第三讲 倒过来想

1．最后一次应该是加上24。100减去原来的12，再减去最后加上的24，还差100－12－24＝64，把加24减20作为一轮，需要进行64÷(24－20)＝16轮，所以至少要经过1＋2×16＝33(次)运算才能得100。

2．用列表法可得，原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克。 3．第10个数比第2个数多8，第2个数是8÷(1＝22，这11个数的和是22×11＝242。

4．第6个数是131－81＝50，第5个数是81－50＝31，第4个数是50－31＝19，第3个数是31－19＝12，第2个数是19－12＝7，第1个数是12－7＝5。

5．当长方体变成正方体后，每个面的面积是150÷6＝25(cm)，棱长是5 cm，说明长方体的长是5＋2.5＝7.5(cm)，长是宽的7.5÷5＝1.5倍。

50

2

4－1)＝18，第6个数是18＋496．丙盒铅笔占(7．C。

112112－)×3＝，共有铅笔10÷(1－－－)＝150(支)。 3555358．倒过来想。要称出12g的重量，必须有8g和4g的砝码；要称出7g的重量，必须有1g、2g、4g的砝码。对两种情况进行对比发现，只有4g的砝码在两种情况下都出现，所以丢的那个砝码是4g重的。

9．因为13＝1＋4＋8，所以丢失的砝码是2g的。 10．(((((3＋3)×2＋3)×2＋3)×2)＋3)×2＝138(枚)。

11．每边各加一枚棋子后要多用12＋9＝21(枚)棋子，因为加摆上去的棋子排列呈“┐”形，去掉角上的一枚后再分成两段，就等于原来每边上的棋子数，说明原来的正方阵每边是(21－1)÷2＝10(枚)，所以这堆棋子原来有10×10＋21＝112(枚)。

12．先取1粒，还剩1991粒；等对方取后，和他凑成5粒，每轮都这样。因为1991的个位数是1，最后必然会给对方留下1粒，对方就输定了。

第四讲 从问题的反面考虑

1．先考虑4567相加时，一次进位也没有发生过的数。这些数的个位上只能是0、1、2；十位上只能是0、1、2、3；百位上只能是0、1、2、3、4；千位上只能是0、1。共有3×4×5×2＝120(个)，减去多算的“0000”这个数，实际上这样的数只有119个。所以在与4567相加时，至少发生一次进位的数共有1999－119＝1880(个)。

2．要找A、B、C、D中最大的，也就是找15×1×

4123、÷×15、15.2÷、14.8

599347323中最小的。容易求出÷×15最小，所以B最大。 74343．100以内所有奇数的和是1＋3＋5＋„＋99＝2500。100以内有约数7的奇数之

和是7×(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13)＝343。100以内有约数11的奇数之和是11×(1＋3＋5＋7＋9)＝275。100以内有约数7和11的大奇数只有77。所以100以内与77互质的所有奇数之和是2500－343－275＋77＝1959。

4．一个学生可能只参加第一种或第二种或第三种活动；也可以参加第一、二两种或第一、三两种或第二、三两种活动。总之只有6种可能性。所以只要有7个学生就能保证至少有两人参加的活动完全相同。

5．参考例2，不能。

6．2×3×5×11＝330，199200÷330余12，因此，199200＋(330－12)＝1992210就是所要求的数。

51

7．最小为1，分子最大为49＋50＝99，在X＝50，Y＝49时，

XY取最大值99。 XY8．要使这个自然数最小，位数应少，1995÷9＝221„„6，所以，这个自然数和最小值是699„99。

221个9

9．2×5＋1＝11(个)。

10．100以内5的倍数有20个，不是5的倍数的有80个，所以只要取出81个数，其中必有一个数能被5整除。

11．因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，如果装1个、2个、3个、4个、5个、6个乒乓球的盒子各有3个，也只能装21×3＝63(个)乒乓球，18个盒子已经用完，还剩下1个乒乓球，无论装在哪个盒子里，也会有4个盒子里的乒乓球数目相同。

12．因为每行、每列及对角线AC、BD上8个数的和最小是8，最大是24，从8到24共有17个整数值，而8行、8列、2条对角线上各数的和共有18个，所以这18条线上各数的和至少有2个相同。

第五讲 分类与对应

1．千位数字是1的，十位、个位数字相同的有88、99共2个。千位数字是2的一类中，百位数字是0，而十位、个位数字相同的有00、11、22、„、99共10个，同理，百位数字是1、2、3、„、9的也各有10个，所以共有10×10＝100(个)。同样，千位数字是3的也有100个。千位数字是4的一类中，从百位数字是0至百位数字是7，十位、个位数字相同的有10×8＝80(个)；百位数字是8，十位、个位数字相同的数00、11、22、„、88共9个，所以共有89个。因此，从1985到4891的整数中，十位、个位数字相同的共有2＋100＋100＋89＝291(个)。

2．按照所形成的线段的多少分类。(1)AG、AB中共有线段(3＋2＋1)×2＝12(条)；(2)EF、CD、BC、AC中共有线段(2＋1)×4＝12(条)。总共有线段12＋12＝24(条)。 3．大长方形的长和宽上，各有10条线段，一共可以形成10×10＝100(个)长方形。面积的和是[5＋12＋8＋1＋(5＋12)＋(12＋8)＋(8＋1)＋(5＋12＋8)＋(12＋8＋1)＋(5＋12＋8＋1)]×[2＋4＋7＋3＋(2＋4)＋(4＋7)＋(7＋3)＋(2＋4＋7)＋(4＋7＋3)＋(2＋4＋7＋3)]＝12384(cm)。

4．(1)5△6＝5×5－2×6＝13；(2)(5△2)△3＝(5×5－2×2)△3＝21△3＝21×21－2×3＝435。

52

2

5．□＝(

⑧1117891－)÷＝－1＝－1＝。 ⑦⑧⑧⑦67826．由9×9×9＝5推知“9”是2，“5”是8。由9×3＝3推知“3”是0。进而推知“8”是1，“7”是5。所以“89×57”是12×85，12×85＝1020，即“89×57＝8393”。

7．这样的数对有：100、425；101、424；„；262、263。共262－100＋1＝163对。 8．(1)中间是0、1、8中的一个，而两边的数码相同，也是0、1、8中的一个，这样的号码牌有101、808、111、818、181、888，共6个；

(2)中间是0、1、8中的一个，而两边的数码一边是6一边是9，这样的号码牌有609、906、619、916、689、986共6个。

总共有6＋6＝12(个)。

9．有男青年的小组可以分为下面3种情况： (1)有1名男青年的：共15个小组；

(2)有3名男青年的： 因为“至少有2名女青年的36个小组”中，包括“有2名女青年的”也就是“只有1名男青年的15个小组” 和“有3名女青年的小组”，所以，“有3名女青年的”有36－15＝21(个)小组，而“有3名男青年的小组与3名女青年的小组同样多”所以，有3名男青年的也有21个小组；

(3)有2名男青年的：从全部69个小组中，去掉“有3名男青年的”21个小组，去掉“有1名男青年的”15个小组和“没有男青年的(也就是有3名女青年的”21个小组，得到60－21－21－15＝12(个)小组。

因此，男青年共有1×15＋2×12＋3×21＝102(人)。 10．(1)13；(2)435。 11．3。 12．1。

第六讲 类比

1．294÷

12162

×＝200(dm)。 25492．参考例2，从A点到J点有55条不同的路线。

3．拼成边长为6的正三角形，需要36个边长为1的正三角形。所以拼成边长为6的正六边形，需要36×6＝216(个)边长为1的正三角形。

4．(3.14×5×15＋3.14×2×17)÷(3.14×5)＝17.72(cm)。 5．(略)。 6．(略)。

53

2

2

2

7．如图。

8．画一画路线就可以得出：到“2”号只有1种走法；到“3”号既可以从“1”号，也可以从“2”号，有1＋1＝2种走法；到“4”号”既可以从“2”号，也可以从“3”号，有1＋2＝3种走法；同理，到“5”有2＋3＝5种走法；到“6”有3＋5＝8种走法；到“7”有8＋5＝13种走法。

9．如果铁圆柱能完全浸入水中，那么水深与容器底面面积的乘积应该等于原有水

5215＋2217的体积与铁柱在水中体积之和，因而水深为＝17.72(cm)。

52 10．如图。

11．作辅助线把四边形分成四个三角形(如图)，所以四边形的面积是60×4.5÷2＝135(cm)。

2

11，三角形EBF的面积是三角形ABF的，221112

所以，三角形EBF的面积是×8×6××＝6(cm)。

222 12．三角形ABF的面积是三角形ABC的

第七讲 转化

1．原式＝22„20－1×1999＝22„20221。

1999个2 1996个2

2．原式得数末三位数字与3×1995＋30×1994＋300×1993＝663705的末三位数字相同，是705。

3．把两个条件转化为8人一组多5人；12人一组少3人。进而再转化为8人一组、12人一组都少3人。所以人数比8和12的公倍数少3，是93人。

54

4．7×7÷2－3×3÷2＝20。

5．连接P与AB的中点M。阴影部分的面积等于正方形ABCD与半圆面积的和，减去三角形AMP与梯形BCPM的面积，是10×10＋3.14×5－(10＋5)×5÷2－[5＋(10＋5)]×5÷2＝51.75。

6．三角形ABE的面积是

2

2212

cm，三角形ACE的面积是 cm。三角形ACF与三角形33AFD的面积相等，所以三角形ACF与三角形BCF面积的和等于三角形ABC面积的一半，

12

cm。于是，三角形BEF的面积等于三角形ACF与三角形BCF面积的和减去三角形2111112

ACE的面积，是－＝(cm)。三角形CEF的面积等于三角形BEF的一半，是×

236621112＝(cm)。而三角形BDF的面积等于三角形BEF与三角形CEF面积的和，是＋＝12612111522

(cm)。阴影部分的面积等于三角形BDF与三角形BEF面积的和，是＋＝( cm)。 44612是

7．原式＝(20－9)＋(200－8)＋(2000－6)＋(20000－5)＝222220－35＝222185。和的数字和是2＋2＋2＋1＋8＋5＝20。

8．15个连续自然数的平均值是15，等于说第(15＋1)÷2＝8个数是15。求前5个数的平均数，等于说求第3个数。所以，要求的数是15－5＝10。

9．从101到1000一共900个数，从1000开始，每4个数加减的结果都得4，所以，原式＝(1000＋999－998－997)＋„＋(104＋103－102－101)＝4×(900÷4)＝900。 10．原式＝100－1＋200－2＋300－3＋„＋1000－10＝(100＋200＋300＋L＋1000－10＝(100＋200＋300＋„＋1000)－(1＋2＋3＋„＋10)＝5500－55＝5445。 11．(60－5×3)＝2025(cm)。

12．观察发现：这个数表共有50行，每行有50个数。位于右上角到左下角对角线上的数都是49，而每个49都是它左边和下边那些数的平均数，所以这50×50＝2500(个)数的平均数就是49，表中2500个数的总和是49×2500＝122500。

第八讲 枚举法

1．11到56之间含有因数5的数有15、20、25、30、35、40、45、50、55，因数5在这些数中共出现11次，而积中因数2出现的次数多于11，所以在积的末尾有11个连续的0。

55

2

2

2．连续10个数中出现1个1，个位上共出现500÷10＝50(次)；连续100个数中，十位上出现10个1，共出现10×(500÷100)＝50(次)；百位上出现100个1。所以数字1共出现50＋50＋100＝200(次)。

3．蚂蚁爬行的路线只有下面三种情况，长度是120厘米。 P P P

Q Q Q

4．另外两个数是263和5。

5．设共投入x个红球，58－7x是5的倍数，试算得到x＝4，即投入了4个红球。 6．小于200的自然数中数字和为奇数的有199、197、195、193、191、188、186、184、182、180、„，其中可以写成两个两位数的和的有只有195＝13×15，182＝13×14，180＝18×10，„。所以，所求的数是180

7．第1～9页共需9个数字；第10～99页共需2×90＝180(个)数字；第100～999页共需3×900＝2700个数字。因此，第1～999页共需9＋180＋2700＝2889(个)数字。剩下的6869－2889＝3980(个)数字，编四位数的页码可以编3980÷4＝995(页)，所以这部书共有999＋995＝1994(页)。

8．5角×2,5角＋2角×2＋1角,5角＋2角＋1角×3,5角＋1角×5,2角×5,2角×4＋1角×2,2角×3＋1角×4,2角×2＋1角×6,2角＋1×8,1角×10。共10种。

9．五位数中，的9876的倍数的有：19752、29628、39504、49380、59256、69132、79008、88884、98760，以检验，只有19752，49380的数字和是24。，

10．最后三位数是123的整数从小到大依次是：123,1123,2123,3123,

4123,5123,6123,„用13去除这些数，前6个数都有余数，而6123÷13＝471，没有余数，所以要求的数是471。

11．(1)小虫爬过2cm的有：左，右；右，左；上，下；下，上；左，左；右，右6种；

(2)爬过3cm，第一步为左或右的，都转化为上面的6种；第一步为上或下的有：上，左，下；上，右，下；上，下，左；上，下，右；下，左，上；下，右，上；下，上，左；下，上，右8种。总共有6×2＋8＝20(种)。

12．(1)首先确定这些五位数的个数。设五位数是abcde：

当a＝1时，有12个数：10023, 10032, 10203, 10230, 10302, 10320, 12003, 12030,

56

12300, 13002, 13020, 13200；

当a＝2时，有12个数：20013, 20031, 20103, 20130， 20301, 20310, 21003, 21030, 21300，23001, 23010, 23100；

当a＝3时，有12个数：30012, 30021, 30102, 30120, 30201, 30210, 31002，31020, 31200, 32001, 32010, 32100。

(2)其次求所有这些五位数的平均数。

因为数字1、2、3在万位上各出现12次；在千位上、百位上、十位上、个位上各出现6次。所以这36个数的平均数是[(1＋2＋3)×12×10000＋(1＋2＋3)×6×(1000＋100＋10＋1)]÷36＝21111。

第九讲 逐步调整

1．1＋2＋3＋„＋10＝55，66＝55＋11，所以从第11站后车上坐满乘客。

2．试填得到：

2

1 8 2 2 2

3 6 4 5 2

5 4 6 3 2

7 9 8 1 9 7 3．44＝1936，45＝2025，46＝2116，只有45＝2025符合题意。2025－45＝1980，哥哥生于1980年年。

4．从千位看，A＝1；从个位看，B＝2；从十位看C＝9。

5．39＝4＋5＋6＋7＋8＋9或39＝10＋11＋12＋1＋2＋3，而9时16分前后，时针和分针不可能重合，可以排除第一种情况，于是，张教授的实验一共做了5小时；他做完实验时，挂钟敲了3下。

6．如下图所示的方法粘接，表面积最小，是5×5×6＋2×2×6×2－(2×2＋4×2)×2＝174(cm)。

7．试算得到1＋2＋3＋„＋14＝105，105－90＝15，可见缺少的哪张的页码是7和8。

8．把较小的数字放在较高的数位上，得到135＋246＝381。 9．1089×9＝9801，所以n＝1089。

10．4＋9＝97,3＋5＋8＝98，97与98比较接近，所以应该把边长4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理。

57

2

2

2

2

2

2

11．统计员提供的学生总数比实际总人数少180人，说明百位数字比十位数字大2。这个学校学生总人数只能是20□、31□、42□、53□、64□、75□、86□、97□。因为总人数是36的倍数，所以总人数的数字和只能是9或18，并且个位数是偶数，因此总人数只能是648、756、864或972。 12．列出竖式 A B C D ＋ E F G 1 9 9 3

可以看出A＝1；因为B最小是2，所以E最大是7；由于D、G都不能是1、2，所以D＋G＝13，D最小是4，G最大是9；于是C＋F＝8，由于C最小是3，所以F最大为5。从而三位数EFG最大为759。

第十讲 假设法

1．假设24辆全是汽车，有4×24＝96(个)轮子，比实际多96－86＝10(个)，每辆摩托车比汽车少4－3＝1(个)轮子，所以三轮摩托车有10辆。

2．假设18只全是蜻蜓和蝉，有6×18＝108(条)腿，比实际少116－108＝8(条)腿，每只蜘蛛比蜻蜓多8－6＝2(条)腿，所以有8÷2＝4(只)蜘蛛。假设剩下的18－4＝14(只)全是蜻蜓，有2×14＝28(对)翅膀，比实际多28－20＝8(对)翅膀，每只蝉比蜻蜓少2－1＝1(对)翅膀，所以有8只蝉，14－8＝6(只)蜻蜓。

3．如果每次取出红球7×3＝21(只)，最后剩下的红球应是白球的3倍多2只，即3×3＋2＝11(只)，比实际少53＝11＝42(只)。这是由于每次少取21－15＝6(只)的缘故。所以共取了42÷6＝7(次)，原来有红球15×7＋53＝158(只)。

4．假设A得优，那么四人全为优，不符合题意；同理，B也没有得优。得优是C和D。

5．如果李是记者，那么李、张的话就都是真的；如果王是记者，那么张、王的话就都是真的，而三句话中只有一句是真的，所以张斌是记者。

6．如果王做了坏事，那么陈的两句话就都是真的，不合题意；如果殷做了坏事，那么王的两句话就都是真的，不合题意，所以做坏事的是陈刚。

7．从题目的条件看，当牙签总数分别被10、9、8、7、6、5除时，余数总是比除数少1，由此想到，假设再增加1根牙签，那么就不会有余数了。因此增加1根以后的牙签总数就是10、9、8、7、6、5的倍数。一个数是10的倍数，当然也就是5的倍数；一个数是90的倍数当然也就是6的倍数。所以增加1根以后的牙签总数应该是90×8×7＝5040(根)，原来的牙签总数是5039根。

58

8．单程票(40×99－2800)÷(40－20)＝58(张)。往返票99－58＝41(张)，相差58－41＝17(张)要！。

9．从薪金总数7620元的十位数是2，对照甲公司每月薪金470元，乙公司每月薪金350元可知，马小富在甲公司打工只能是1个月、6个月或11个月。如果在甲公司打工1个月，在乙公司打工就是(7620－470)÷350个月，商大于20，不合题意；如果在甲公司打工6个月，在乙公司打工就是(7620－470×6)÷350个月，商大于13，不合题意；所以马小富在甲公司打工11个月，在乙公司打工(7620－470×11)÷350＝7(个)月。

10．假设汽车中途不停，那么汽车追上小刚所需的时间是1650÷(450－300)＝11(分钟)。11分钟里包含2个5分钟，汽车要停2次，车停时小刚行了300×2＝600(m)，而600÷(450－300)＝4(分钟)，所以汽车追上小刚所需的时间是11＋2＋4＝17(分钟)。

11．假设他30天都做得一般，应得3×30＝90(美元)，比实际少得100－90＝10(美元)，每有1天做得特别好，可以多得5－3＝2(美元)，说明他有10÷2＝5(天)做得特别好。

12．设想如果增加4个苹果，这样一来，第一次三等分时，就不会有剩余，每份比原来多2个。并且第二次、第三次三等分时也不再有剩余，每份都比原来多2个。第三次等分时，所分苹果的总数是第二次等分所得的两份，所以苹果的总数是偶数，因为第三次等分后所得的每份比原来多2个，所以每份至少有4个(如果是3个，总数就不是偶数)。于是，这筐苹果至少有4×3÷2×3÷2×3－4＝23(个)。

第十一讲 辅助量

1．花生总数n应该是12、15、20的公倍数。12、15、20的最小公倍数是60，设n＝60m，第一群猴子有60m÷12＝5m(只)；第二群猴子有60m÷15＝4m(只)；第三群猴子有60m÷20＝3m(只)。三群猴子共有5m＋4m＋3m＝12m(只)，每只猴子可得60m÷12m＝5(粒)。

2．设面积为25亩的长方形，长为a，宽为b。面积为30亩的长方形，长为c，宽为d。则面积为20亩的长方形，长为c，宽为b。而所求长方形的长为a，宽为d，它的面积是a×d＝[(a×b)×(c×d)]÷(b×c)＝37.5(亩)。

3．设圆的半径为r，两个半圆的面积是πr＝πr×r＝100×r ，跑道的面积＝100×r＋2×r×100＝300×r，所求的比＝(100×r)∶(300×r)＝1∶3。

4．设男生有a人，女生有b人。(78－75.5)×a＝(81－78)×b，所以a∶b＝(81－78)∶(78－75.5)＝3∶2.5＝6∶5。

59

2

5．设爷爷的年龄是10a＋b，爸爸的年龄是10b＋a，年龄差(10a＋b)－(10b＋a)＝9×(a－b)是4的倍数，即a－b是4的倍数。爸爸的年龄不可能是十几岁，所以b≥2，因为a≤9，所以a－b只能等于4，于是，小明9×4÷4＝9(岁)。

6．A＋B＋C＝3×3＝9，C＋D＋E＝3×7＝21，A＋B＋C＋D＋E＝5×6＝30，前两个算式相加得A＋B＋C＋C＋D＋E＝9＋21＝30，与第三个算式比较得C＝0。

7．设这个自然数是23a＋7，因为它除以19余9，所以23a＋7－9＝23a－2能被19整除，而23a－2＝19a＋(4a－2)，因此4a－2能被19整除。取a＝1，2，3，„代入检验，当a＝10时，4a－2＝38，第一次能被19整除，所以这个自然数最小是23×10＋7＝237。

8．设丙数为1，乙数是2，甲数是6。甲数是乙、丙两数之和的6÷(1＋2)＝2倍。 9．设A、B两地相距72(36和24的最小公倍数)km。往返一次需72÷36＋72÷24＝5(时)。实际用15时，所以两地相距72×(15÷5)＝216(km)。

10．连结对角线AE，三角形AEC的面积是16÷2－4＝4，因为三角形ACF与三角形AEC有相同的高线AF，并且它们的面积都等于4，所以，CF＝CE。同理，三角形ABE的

BD355＝，即BE＝DE＝AF。又因为三角形BCE与三角BE58855形ACF有相等的高(CE＝CF)，所以三角形BEC的面积是三角形ACF的，即4×＝2.5。

88面积是16÷2－3＝5，所以，

从而三角形ABC的面积等于16－(3＋4＋2.5)＝6.5。 A F

C

D B E

11．延长DE交AB的延长线于H，由于E是BC的中点，所以BH＝CD＝3。连结DF，设DE与CF相交于G。因为CD∶FH＝3∶(2＋3)＝3∶5，所以DG∶GH＝3∶5。三角形ADH

1×3×(3＋3)＝9，三角形ADF的面积＝21＝9，三角形ADF的面积＝21×32331515575×1＝。所以三角形DFH的面积＝9－＝，三角形GHF的面积＝×＝。

222235161975939三角形BEH的面积＝×1.5×3＝，所求面积是－＝。

2416416的面积＝

60

A D

F

B E C

B

12．出发5分钟后，小明走了50×5＝250(m)，到达E点，EC＝20m。小华走了20×5＝100(m)，到达F点，CF＝10m。如图，连结AE、AF、AC。 A D

F 10m B E 20m C 因为EC∶BC＝20∶60＝1∶3，所以，三角形AEC的面积＝CF∶CD＝10∶30＝1∶3，所以，三角形ACF的面积＝AEC的面积＋三角形ACF的面积＝边形AECF的面积＝积＝1∶3。

第十二讲 等量代换

1．由已知条件可知，第二个角是第一个角的一个角是180÷(1＋

1三角形ABC面积。因为31三角形ACD面积。于是，三角形31×(三角形ABC面积＋三角形ACD面积)。也就是四31四边形ABCD的面积，即，四边形AECF的面积∶四边形ABCD的面311，第三个角是一个角的，所以第3611＋)＝120(度)。 362

2．正方形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积加上甲、乙、丙、丁四个长方形面积的一半，是20＋32÷2＝36(cm)，所以，正方形EFGH的边长是6cm。从图上可以看出，甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和等于正方形EFGH周长的2倍，是6×4×2＝48(cm)。

3．(91×3＋95×2－89×3)÷2＝98(分)。

4．三角形AEF的面积减长方形CDEF的面积＝4×(4＋a)÷2－4a＝8－2a＝6(cm)，所以a＝1(cm)。

61

2

5．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠1＋40°＋43°＋∠3＋45°＋75°＝(∠1＋40°＋45°)＋(∠3＋75°)＋43°＝180°＋180°＋43°＝403°。 6．设abcde＝x，则4(100000＋x)×3＝10x＋1，x＝42857。

7．○＝100÷4＝25，△＝100÷25÷2＝2，□＝104－25×2×2＝4。

8．A＝(13＋17)÷2＝15。因为C是B＋A的平均数，也是D＋17的平均数，所以B＋A＝D＋17，即B＋15＝D＋17，于是B比D大2。由D×2＝B＋13可知，D×2＝D＋2＋13，所以D＝15，B＝17。C＝(15＋17)÷2＝16，x＝16×2－13＝19。

9．从右式可知C＝1；再从左式个位上的数推知E＝3；再从右式十位上的数推知B＝4；再从左式十位上的数推知D＝2；最后从左式百位或右式个位上的数推知A＝6。

10．从5斤香蕉、4斤苹果比4斤香蕉、5斤苹果多1元可知，1斤香蕉比1斤苹果贵1元。所以苹果每斤的售价是(14－1×5)÷(5＋4)＝1(元)。

11．A物3件＋B物5件＋C物1件＝20元，①

A物4件＋B物7件＋C物1件＝25元，②

观察发现：②－①可得A物1件＋B物2件＝5元，③ ③×2可得A物2件＋B物4件＝10元，④

①－④可得A物1件＋B物1件＋C物1件＝10元。

12．两厂二月份生产的玩具数量比一月份多106－98＝8(件)，说明乙厂一月份生产的玩具数量就是8件，所以甲厂一月份生产的玩具数量是98－8＝90(件)。于是乙厂从一月份开始逐月的产量是8，16，32，64，128，„„可见5月份就首次超过甲厂生产的玩具数量。

第十三讲 数形结合与抓不变量

42

，每个小长方形的面积是45÷9＝5(cm)，所以，长×(长54425522222×)＝5(cm)，长×＝5(cm)，长＝(cm)，于是，长＝＝2.5(cm)，宽＝2.555424×＝2(cm)，大长方形的周长＝(2.5×4＋2＋2.5)×2＝29(cm)。 51．小长方形的宽是长的

2．黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，所以黄色三角形占矩形面积的50%－15%＝35%。矩形面积是21÷35%＝60(cm)。

3．图1的周长是小正方形边长的12倍，图2的周长是小正方形边长的18倍，所以图2的周长是24÷12×18＝38(cm)。

4．黑色部分的面积是5－4＋3－2＋1＝15(m)，白色部分的面积是4－3＋2－

62

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1＝10(m)。

5．用5个点代表甲、乙、丙、丁、小强，用线段把某两个点连起来，就表示这两个人已经比赛过，如图。甲赛过4盘，应该与4个点相连；乙赛过3盘，只能再和丙、小强相连(因为丁只与甲赛过1盘)。至此该连的已经连过，小可见强赛了2盘。 甲

乙 小强

丙 丁

6．为了能比较直观地进行分析，画出示意图：

A1 A2 A3 A4 A25

观察发现，新车站应设在A1到A25的三等分点附近，并且靠近A25一端。因为25个村镇间共有24个间隔，所以新车站距A25应该有8个间隔，即应设在A17处，这样，A1～A9村镇的居民可以到A1处的车站，距离不超过5×(9－1)＝40(km)；A9～A17村镇的居民可以到A17处的车站，距离不超过5×(17－9)＝40(km)；A17～A25村镇的居民可以到A17处的车站，距离不超过5×(25－17)＝40(km)。

还可以把新车站设在A18处，让A9以前村镇的居民到老车站，A10以后村镇的居民到新车站，因为5×(18－10)＝40(km)，5×(25－18)＝35(km)，距离也不超过40km。

7．原式＝

22

123(1222777)2＝。

135(1222777)58．6.25÷(

111－)×＝18.75(t)。 4649．年龄差是不变的，而这个差是5、4、3的公倍数，所以年龄差是5×4×3＝60(岁)，小明今年60÷5＝12(岁)，祖父今年12×6＝72(岁)。

10．因为222222＝2×111111＝2×111×1001＝2×111×7×11×13，所以222222能被13整除。2000÷6余2，22÷13余9，因此要求的余数是9。

11．因为它的每三个相邻数字之和都是20，即一定，所以，每隔两位，相同的数字便会重复出现，百万位与个位正好符合这个条件，所以，百万位上的数字是7。

12．题中每条直线上三个数的和、每个圆圈上三个数的和都相等，是一个不变量，用a表示。

(1)三条直线上的数相加(其中“好”出现了3次)等于3a；

63

(2)两个圆圈上的数相加等于2a；

(3)对比(1)和(2)得到，a等于3个“好”, 两个圆圈上的数相加，2a等于6个“好”； (4)两个圆圈上的数再加上“好”共7个“好”，也就是1～7这七个数的总和等于7个“好”，所以，“好”＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)÷7＝4。

第十四讲 用字母表示数

1．3＋A＋A＋1是9的倍数，所以，A＝7。

2．设这个四位数是abcd，数字顺序倒排后是dcba。abcd＋dcba＝1001a＋110b＋110c＋1001d，能被11整除。只有9988满足要求，所以做对的同学是丙。

3．设原两位数的十位数字和个位数字分别是a、b，则ab0－ab是原两位数的9倍。经试算，满足要求的数有15、25、35、45。

4．设三个数字是a、b、c，因为每个数字在不同数位上都要出现2次，所以6个不同的三位数的和＝222×(a＋b＋c)＝2886，a＋b＋c＝13，因此最小的三位数是139。

5．答案不惟一，如2，4，8，16，32，64，128，256，257，65792。

6．棱长为a的正方体表面涂成红色，再锯成棱长为1的小正方体，它的内部共有(a－2)个小正方体，所以至少有一个面是红色的小正方体有a－(a－2)个。于是，至少有一个面是红色小正方体共有(7－5)＋(5－3)＋(3－1)＝343(个)。

7．列出竖式：

a b c d e f g h ＋ h a a a a a a a a a

从个位上看，首先，h不是1、5、6。再联系到位，h也不是2、3、4、7、8。所以h＝9。由此推知a＝1。积是111111111，被乘数是111111111÷9＝12345679，经验算无误。

8．头数和只数是一回事。用x表示鸭子的头数和只数，可以列出(x＋x)－(x－x)＋x×x＋x÷x＝100，也就是2×x＋0＋x×x＋＋1＝100，也就是2×x＋x×x＝99，也就是x×(2＋x)＝99，试算得到x＝9。

9．计算发现：132＝11×12，156＝12×13，143＝13×11，所以a＝11，b＝12，c＝13，a＋b＋c，11＋12＋13＝36。

10．设甲班平均成绩为a，乙班平均成绩为b，于是，42a＝48b，即7a＝8b，所以b一定是7的倍数。由于b在80到100之间，只有b＝84，91，98。如果b＝84，那么a＝8×84÷7＝96；如果b＝91，那么a＝8×91÷7＝104，不合题意；98＞91，就不必再算了。所以，甲班的平均成绩比乙班高96－84＝12(分)。

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11．设爷爷的年龄是10a＋b，爸爸的年龄就是10b＋a。他们年龄的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9×(a－b)，这个差是4的倍数，也就是a－b是4的倍数，因为a≤9，并且小明的爸爸不可能是十几岁，所以b≥2，必有a－b＝4，所以小明的年龄是9×4÷4＝9(岁)。

12．设今年乙x岁。两年前乙就是x－2岁，甲就是4×(x－2)岁；两年后乙就是x＋2岁，甲就是3×(x＋2)岁。根据两年前与两年后甲的年龄相差4岁，可以列出等式4×(x－2)＋4＝3×(x＋2)，化简后是4x－4＝3x＋6，这个等式说明x的4倍减去4以后还比它的3倍6，如果x的4倍不减4，就会比它的3倍多10，于是x＝10，所以，乙今年10岁。再根据两年前甲是4×(x－2)岁，即4×(10－2)＝32(岁)，所以今年甲是32＋2＝34(岁)。

第十五讲 奇偶分析法

1．在一个只有自然数加减运算的式子中，如果把式子中任一减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变。因此无论在每个方框中怎样填加减号，所得结果的奇偶性，与每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样。但是，每个方框中都填入加号所得结果是奇数，而式子右边的10是偶数。因而无论怎样填加减号，两边的奇偶性不同，所以不能使等式成立。

2．这两个四位数的数字之和，等于第一个四位数的数字和的2倍，是一个偶数。另一方面，由于每个数字都不小于5，这两个四位数的个位、十位、百位、千位相应的两个数字之和，按照该同学的计算结果分别是16、13、11、15。这四个数相加所得的和是奇数，出现矛盾，所以该同学的答数不正确。

3．两个奇数或两个偶数之和都是大于2的偶数，因而必是合数。所以，要使任意相邻两个运动员号码数之和都是质数，运动员必须号码奇偶相间地排成一圈。这表明号码为奇数的运动员与号码为偶数的运动员人数相等。因此，运动员总数为偶数个，这与运动员总数是奇数27不符。所以，所要求的站法是办不到的。

4．设3棵挂牌的树离O点的距离分别是a、b、c 米。这3个数中至少有两个同是奇数或同是偶数。这两棵树之间的距离等于它们到O点距离的差，而无论是两个奇数或两个偶数之差都是偶数。

5．这11张卡片上的数中有6个奇数、5个偶数，总和是偶数，而一堆所有卡片上的数之和都是奇数，另一堆卡片所有上的数之和都是偶数，总和是奇数，所以做不到。

6．不能。因为两个三位数的和如果是999，相加时就没有进位。因为新三位数只是改变了原三位数的数字排列顺序，相加时每个数字都出现2次，两个加数的数字和是

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偶数，而999的数字和是奇数。

7．不能。1、3、5、7都是奇数，5个奇数的和还是奇数，而20是偶数。 8．不能。因为任何一张上两面的页码都是两个连续的自然数，这两个自然数一个是奇数、一个是偶数，两个页码的和都是奇数。20张上的页码总和是20个奇数的和，是一个偶数，而1999是奇数。

9．因为段数等于剪口数加1，所以这根毛线被剪成了奇数段。

10．第1、3、5、7、9行有5个偶数，第2、4、6、8行有4个偶数，5×5＋4×4＝41(个)偶数。

11．是偶数。因为这七个数中有3、5、7、9四个奇数，这四个奇数两两相乘的积得到6个奇数，这6个奇数奇数的和是偶数，其余的数两两相乘的积都是偶数，所以总和一定是偶数。

12．解法一：用染色区分法。

黑格子有5个，白格子有7个。如果能够从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，黑格子数与白格子数应该相等或相差1个，现在相差2个，所以他的想法不能实现。

解法二：用“一笔画”的条件来检验。把房间图简化为：

图中有6个奇点，这个图不能一笔画成，他的想法不能实现。 奇点：进、出线总数为奇数的点。 偶点：进、出线总数为偶数的点。

条件：一个由相互连接的点组成的图形，如果没有奇点，或者只有2个奇点，这个图形就能一笔画成，否则就不能一笔画成。

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