大工12秋《应用统计》辅导资料七

应用统计辅导资料七

主 题：第二章 随机变量及其分布6-7节 学习时间：2012年11月12日－11月18日

内 容：

这周我们将学习第二章随机变量及其分布6-7节，本周引入了随机变量分布函数的概念，重点讨论二维随机变量—两个随机变量联合在一起构成的二维随机向量。研究二维随机变量，不仅要单独研究其各个分量，更重要的是研究其分量的联合特征。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：

1、理解随机变量的分布函数的概念及性质

2、了解二维随机变量及其多维随机变量的概念 3、了解二维随机变量的联合分布和性质

4、掌握计算二维随机变量的联合分布有关事件的概率的方法

5、掌握二维随机变量的边缘分布和联合分布之间的关系，并会计算有关的分布 基本概念：随机变量的分布函数、二维随机变量及其多维随机变量的概念

知识点：离散型和连续性随机变量分布函数的求法、二维随机变量的联合分布和性质；二维随机变量的边缘分布和联合分布之间的关系

1、为方便理解，我们将主要概念及其性质总结如下： 随机变量的分布函数的概念及其性质 定义:设X是任意一个随机变量，称函数 注意：1)F(x)是实函数，其定义域是整个 F(x)P{Xx},(x)为随机变数轴，故求F(x)时，要就x落在整个数轴量X的分布函数。 F(x)的性质： 上讨论。F(x)的值域是闭区间[0,1]。 2）P{Xb}F(b) 3）由于{x1Xx2}={Xx2}-{Xx1}，故有P{x1Xx2} =P{Xx2}-P{Xx1} =F(x2)-F(x1) P{Xa}1P{Xa}1F(a) P{xa}F(a)F(a0) 1）0F(x)1 2）F(x)是x的单调不减函数 即F(x1)F(x2)(x1x2) 3）F()limF(x)0 xF()limF(x)1 x至多有可列个间断点，且其间断点处右连续，对任何实数x，有F(x0)F(x) X为离散型 X为连续型 第1页 共6页

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分布函数：设X为离散型随机变量， pkP{Xxk},k1,2, 分布函数：设X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，对任何实数x，有 有F(x)P{Xx}P{Xxkxxk}Pxkxk F(x)P{Xx}xf(t)dt 右边和式是根据x的不同取值，所有小于或等于x的xk对应的Pk的和。 在f(x)的连续点x处，有f(x)F(x) 注意：求离散型随机变量的分布函数有两注意：由于连续型随机变量取某一数值时种方法： 的概率为0，有 方法1：按定义 P{x1Xx2}=P{x1Xx2} F(x)P(Xx),(x)直接求； =P{x1Xx2}=P{x1Xx2} 方法2：先求分布列，然后利用 F(x)P{Xx}P{Xxkxxk}Pxkxk=F(x2)-F(x1)=x2x1f(x)dx 求。 二维随机变量的概率分布 定义：以n个随机变量X1,X2,X3,…Xn为分量的向量X(X1,X2,X3,…Xn）为n维随机变量。 n元函数F(X1,X2,X3,…Xn)P{X1x1,X2x2,X3x3…Xnxn}为n维随机变量X(X1,X2,X3,…Xn）的联合分布函数。 当n=2时，则(X1,X2)为二维随机变量，联合分布函数为 F(X1,X2)P{X1x1,X2x2} 联合分布函数的性质： (1)0F(x,y)1 (2)F(x,y)是x(或y)的不减函数且对任意固定的x和任意固定的y有 F(,y)F(x,)F(,)0,F(,)1 (3)F(x,y)关于x右连续，关于y右连续，即F(x,y)F(x0,y)，F(x,y)F(x,y0) 第2页 共6页

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(4)随机点落在矩形域：x1Xx2,y1Yy2上的概率为 P{x1Xx2,y1Yy2}F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1), 且F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1)0（如下图） (X,Y)为离散型 若（X,Y）的全部取值为有限个或至多可列个，则(X,Y)为离散型随机变量。 (X,Y)为连续型 若（X,Y）存在非负可积函数f(x,y)，使记PijP{Xxi,Yyj},i,j1,2,…为X得任意可度量的区域D，有 P{(X,Y)D}和Y的联合概率分布，或（X,Y）的概率D分布。 则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为（X,Y）的联合分布列为： Y X和Y的联合概率密度。记为(X,Y)～f(x,y) y1y2yj X x1x2f(x,y)dxdy p11p21p p121j 性质如下： (1)f(x,y)0 (2). . . xi p222j . . .  . . .  . . .  pi1pi2pijpf(x,y)dxdy1 对任何(x,y)R2,有联合分布函数 F(x,y)P{Xx,Yy} . . . .  . . . .  . . . .  性质如下： (1)Pij0 xyf(s,t)dsdt 第3页 共6页

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(2)Pij1 ij联合分布函数： F(x,y)P{Xx,Yy}Pxixyjyij 二维随机变量的边缘分布 定义：称随机向量(X1,X2)中每一个随机变量Xi的分布，为关于Xi（i=1,2）的边缘分布。设（X,Y）的联合分布函数为F(x,y)。 关于X的边缘分布函数FX(x)P{Xx}P{Xx,Y)F(x,) 关于Y的边缘分布函数FY(y)P{Yy}P{X,Yy)F(,y) (X,Y)为离散型 设（X,Y）的联合概率分布为 PijP{Xxi,Yyj},i,j1,2,(X,Y)为连续型 设（X,Y）的联合概率密度为f(x,y)， 则（X,Y）关于X的边缘密度为： fX(x)， 则（X,Y）关于X的边缘分布为： f(x,y)dy PiP{Xxi}Pj1ij,i1,2,…（联合分（X,Y）关于Y的边缘密度为： fY(y)布列中第i行各元素相加） （X,Y）关于Y的边缘分布为： f(x,y)dx （X,Y）关于X的边缘分布函数为： FX(x)PjP{Yyj}Pi1ij（联合分,j1,2,…[xf(x,y)dy]dx （X,Y）关于Y的边缘分布函数为： FY(y)布列中第j列各元素相加） （X,Y）关于X的边缘分布函数为： y[f(x,y)dx]dy FX(x)P ijxixj1（X,Y）关于Y的边缘分布函数为： FY(y)Pyjyi1ij 第4页 共6页

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2、典型例题解析

题型1：确定离散型和连续型随机变量的分布函数

题型2：确定联合分布函数F(x,y)与联合概率密度f(x,y)中的待定系数 题型3：由联合分布求边缘分布

题型4：求二维随机变量（X,Y）落在某一区域的概率 例1、设随机变量X的分布列为 X -1 2 P(xi) 1412323 14 5212 1）求X的分布函数(题型1) 2）求P(X),P(X)，P(2X3)

解：1）由F(x)xix0,x-10,x-111,-1x2,-1x244p(xi)得F(x)，即F(x)

113,2x3,2x34241,x31,x32）P(XP(32X1511)F()224

34123453311)F()F()222442P(2X3)F(3)F(2)P(X2)1

x,0x1例2、设随机变量X的概率密度为f(x)2-x,1x2

0，其他1）求X的分布函数(题型1) 2）求P(X2132)

解：1）由F(x)x0,x0xxdx,0x10f(t)dt得F(x)1 x0xdx1(2-x)dx,1x21,x2第5页 共6页

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0,x02x,0x12即F(x) 2x2x-1,1x221,x22）P(X213313)F()F()2224

A,0x2,|y|x0，其他例3、设随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)（题型2）

解：由概率密度性质得dxAdy0x2x，求：常数A

2202AxdxAx201A14

例4、二维随机变量(X,Y)联合概率分布由下表所示：

Y -2 0 X 1 0.1 0 0.05 -1 1 2 0.3 0.05 0.2 0.1 0.2 0 1）求P{X0,Y0}及F(0,0)(题型4) 2）求Y的边缘分布（题型3）

解：1）P{X0,Y0}P{X1,Y0}P{X1,Y1}0.10.10.2

F(0,0)P{X0,Y0}P{X1,Y2}P{X1,Y0}0.30.10.4

2）Y的边缘分布即把各列概率相加，得 Y P -2 0.55 0 0.3 1 0.15 分析：对离散型随机向量描述一个随机试验，首先要明确随机向量的所有可能取值，然后根据试验条件求出取各相应值的概率。

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