函数的基本性质(含答案)

教师辅导讲义

年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 函数的基本性质 教学目的 通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法 教学内容 【知识梳理】 函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲） 【典型例题分析】 例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2. （1）证明f（x）是奇函数； （2）证明f（x）在R上是减函数； （3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值. （1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+ f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0. ∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数. （2）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1）］=－f（x2－x1）.由x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0. ∴－f（x2－x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），从而f（x）在R上是减函数. （3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）.由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6.从而最大值是6，最小值是－6. 例2、关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________. 解析：作函数y=|x2－4x+3|的图象，如下图. 精品资料 欢迎下载

y 3 2 1 O-11 2 3 x 由图象知直线y=1与y=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2－4x+3|=1也就是方程|x2－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1. 答案：1 例3、已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）. 若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由. 解：设符合条件的f（x）存在， ∵函数图象的对称轴是x=－又b≥0，∴－b， 2b≤0. 21b①当－＜－≤0，即0≤b＜1时， 22b函数x=－有最小值－1，则 2b2b2bb4,c1b0,f()14或（舍去）. 22c3c11bc0f(1)0②当－1＜－b1≤－，即1≤b＜2时，则 22bb2,f()1b2,（舍去）或（舍去）. 2c0c0f(0)0③当－f(1)1,b2,b≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则解得 2f(0)0,c0.综上所述，符合条件的函数有两个， f（x）=x2－1或f（x）=x2+2x. 变式练习： 已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b≥0，c∈R）. 若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由. 解：∵函数图象的对称轴是 b1b11，又b≥0，∴－≤－. 222设符合条件的f（x）存在， b1①当－≤－1时，即b≥1时，函数f（x）在［－1，0］上单调递增，则 2x=－精品资料 欢迎下载

f(1)11(b1)c1b1, f(0)0c0c0.b1)1b11f(②当－1＜－≤－，即0≤b＜1时，则 222f(0)0b12(b1)2)c1b1,(2（舍去）. 2c0c0综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x. 例4、设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0. （1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小； f(a)f(b)ab11）＜f（x－）； 24（3）记P={x|y=f（x－c）}，Q={x|y=f（x－c2）}，且P∩Q=，求c的取值范围. 解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0， （2）解不等式f（x－∴f(x1)f(x2)＞0. x1(x2)∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2）＜0. ∴f（x1）＜－f（－x2）. 又f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）. ∴f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）是增函数. （1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）. （2）由f（x－11）＜f（x－），得 2411x1,21151x1, ∴－≤x≤. 42411xx,2415≤x≤}. 24（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c， ∴P={x|－1+c≤x≤1+c}. 由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2， ∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}. ∵P∩Q=， ∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2， 解得c＞2或c＜－1. ∴不等式的解集为{x|－精品资料 欢迎下载

例5、建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m时总造价最低是___________元. 解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为池底面积为x·800080008000（m），池壁面积为2·6·x＋2·6·＝12（x＋）（m2），6x6x6x80008000＝（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式6x680008000为y＝12a（x＋）＋a. 6x3定义域为（0，＋∞）. x＋8000800040≥2x＝6x6x330（当且仅当x=800020即x=6x330时取“=”）. ∴当底边长为20330 m时造价最低，最低造价为（16030a＋答案：y=12a（x+ 8000800020）+a （0，+∞） 6x338000a）元. 3800030 16030a+a 3【课堂小练】 1．已知fx是定义,上的奇函数，且fx在0,上是减函数．下列关系式中正确的是 ( ) A．f5f5 C．f2f2 B．f4f3 D．f8f8 2．如果奇函数fx在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么fx在区间7,3上是 ( ) Ａ．增函数且最小值为5 Ｃ．减函数且最小值为5 Ｂ．增函数且最大值为5 Ｄ．减函数且最大值为5 3．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 ( ) A．yx1 B．yx C．yx24x5 D．y2 x4．对于定义域是R的任意奇函数fx有 ( ) A．fxfx0 C．fxfx0 5．求函数yxx 2 B．fxfx0 D．fxfx0 1x1的最大值，最小值． 精品资料 欢迎下载

6．将长度为l的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________． 7．函数fxkxbk0的单调性是____________． 8．函数fx是偶函数，而且在0,上是减函数，判断fx在,0上是增函数还是减函数，并加以证明． 9．如果二次函数fxx2a1x5在区间 10．求函数y322xx2的最大值． 11．已知函数fxx 12．已知函数fx是偶函数，且x0时，fx(1) f5的值， (2) fx0时x的值； (3)当x>0时，fx的解析式． 1,1上是增函数，求f2的取值范围． 21．判断fx在区间(0，1]和[1，+∞)上的单调性，说明理由． x1x.．求 1x精品资料 欢迎下载

13．作出函数yx2x1的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间． 答案： 精品资料 欢迎下载

【课后练习】（可作为单元测试卷） 一、选择题 1．下面说法正确的选项 （ ） 精品资料 欢迎下载

A．函数的单调区间可以是函数的定义域 B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间(,0)上为增函数的是 A．y1 2 （ ） B．yx2 1x2C．yx2x1 2D．y1x 3．函数yxbxc(x(,1))是单调函数时，b的取值范围 （ ） A．b2 B．b2 C ．b2 D． b2 4．如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[b,a]有 （ ） A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值 5．函数yx|x|px，xR是 A．偶函数 B．奇函数 （ ） D．与p有关 C．不具有奇偶函数 6．函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若x1(a,b),x2(c,d)，且x1x2那么（ ） A．f(x1)f(x2) B．f(x1)f(x2) C．f(x1)f(x2) D．无法确定 7．函数f(x)在区间[2,3]是增函数，则yf(x5)的递增区间是 A．[3,8] B． [7,2] C．[0,5] D．[2,3] （ ） （ ） 8．函数y(2k1)xb在实数集上是增函数，则 A．k11 B．k 22C．b0 D．b0 9．定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x1)f(x)，且在区间[1,0]上为递增，则（ ） A．f(3)f(2)f(2) B．f(2)f(3)f(2) C．f(3)f(2)f(2) D．f(2)f(2)f(3) 10．已知f(x)在实数集上是减函数，若ab0，则下列正确的是 （ ） A．f(a)f(b)[f(a)f(b)] B． f(a)f(b)f(a)f(b) 精品资料 欢迎下载

C．f(a)f(b)[f(a)f(b)] D．f(a)f(b)f(a)f(b) 二、填空题 11．函数f(x)在R上为奇函数，且f(x)2x1,x0，则当x0，f(x) . 12．函数yx|x|，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 . 13．定义在R上的函数s(x)（已知）可用f(x),g(x)的和来表示，且f(x)为奇函数，g(x) 为偶函数，则f(x)= . 14．构造一个满足下面三个条件的函数实例， ①函数在(,1)上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； . 三、解答题 15．已知f(x)(x2),x[1,3]，求函数f(x1)得单调递减区间. 16．判断下列函数的奇偶性 ①yx321； ②y2x112x； xx22(x0)4③yxx； ④y0(x0)。 x22(x0) 17．已知f(x)x 2005ax3b8，f(2)10，求f(2). x精品资料 欢迎下载

18．函数f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义，且在此区间上 ①f(x)为增函数，f(x)0； ②g(x)为减函数，g(x)0. 判断f(x)g(x)在[a,b]的单调性，并给出证明. 19．在经济学中，函数f(x)的边际函数为Mf(x)，定义为Mf(x)f(x1)f(x)，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x台的收入函数为R(x)3000x20x（单位元），其成本函数为C(x)500x4000（单位元），利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)； ②求出的利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值； ③你认为本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义. 20．已知函数f(x)x1，且g(x)f[f(x)]，G(x)g(x)f(x)，试问，是否存在实数，使得G(x)在(,1]上为减函数，并且在(1,0)上为增函数. 22精品资料 欢迎下载

参考答案 一、CBBAB DBAA D 112二、11．yx1； 12．[1,0]和[,)，； 13．s(x)s(x)； 14．yx,xR ； 4222三、15． 解： 函数f(x1)[(x1)2]2(x1)2x22x1，x[2,2]， 故函数的单调递减区间为[2,1]. 16． 解①定义域(,0)(0,)关于原点对称，且f(x)f(x)，奇函数. ②定义域为{}不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. ③定义域为R，关于原点对称，且f(x)x4xx4x，f(x)x4x(x4x)，故其不具有奇偶性. ④定义域为R，关于原点对称， 当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)； 当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)； 当x0时，f(0)0；故该函数为奇函数. 17．解： 已知f(x)中x2005ax3b为奇函数，即g(x)=x2005ax3b中g(x)g(x)，也即g(2)g(2)，xxf(2)g(2)8g(2)810，得g(2)1218，f(2)g(2)826. 18．解：减函数令ax1x2b ，则有f(x1)f(x2)0，即可得0f(x1)f(x2)；同理有g(x1)g(x2)0，即可得f(x2)f(x1)0； 从而有 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2) f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)f(x2)g(x2) f(x1)(g(x1)g(x2))(f(x1)f(x2))g(x2)* 精品资料 欢迎下载

显然f(x1)(g(x1)g(x2))0，(f(x1)f(x2))g(x2)0从而*式*0， 故函数f(x)g(x)为减函数. 19．解：p(x)R(x)C(x)20x22500x4000,x[1,100],xN. Mp(x)p(x1)p(x) [20(x1)22500(x1)4000](20x22500x4000), 248040x x[1,100],xN； p(x)20(x1252)74125,x[1,100],xN，故当x262或63时，p(x)max74120（元）。 因为Mp(x)248040x为减函数，当x1时有最大值2440。故不具有相等的最大值. 边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 20．解：g(x)f[f(x)]f(x1)(x1)1x2x2. 22242G(x)g(x)f(x)x42x22x2x4(2)x2(2) G(x1)G(x2)[x1(2)x1(2)][x2(2)x2(2)] (x1x2)(x1x2)[x1x2(2)] 有题设 当x1x21时， 224242(x1x2)(x1x2)0，x1x2(2)1124， 则40,4 当1x1x20时， 22(x1x2)(x1x2)0，x1x2(2)1124， 则40,4 故4. 22 精品资料 欢迎下载