【数学】数学二次函数的专项培优练习题含详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】(1) y=﹣x2+

34936x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是457251725，）或（，﹣）．

3363菱形，此时点P的坐标为（【解析】

试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P（m，﹣析式为：y=﹣边的比得：

329m+m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解

44332x+3，表示PD=﹣m3m，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应

44PED的周长PD936=，代入得：L=﹣（m﹣2）2+，求L的最大值即可；

BOC的周长BC55（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣

329n +n+3），则D（n，﹣4433n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论． 44试题解析:

（1）由OC=3OA，有C（0，3），

将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：

abc016a4bc0， c33a49解得：b，

4c3故抛物线的解析式为：y=﹣x2+（2）如图2，设P（m，﹣

349x+3； 4329m+m+3），△PFD的周长为L，

44∵直线BC经过B（4，0），C（0，3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+b，

则4kb0

b33k解得：4

b33x+3， 4332则D（m，﹣m3），PD=﹣m3m，

44∵PE⊥x轴，PE∥OC， ∴∠BDE=∠BCO， ∵∠BDE=∠PDF， ∴∠PDF=∠BCO， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD∽△BOC，

∴直线BC的解析式为：y=﹣∴

PED的周长PD=，

BOC的周长BC由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC的周长=12，

3m23m∴L，

4125936即L=﹣（m﹣2）2+，

55∴当m=2时，L最大=

36； 5（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3， 当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，

理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD， 当点Q落在y轴上时，CQ∥PD， ∴∠PCQ=∠CPD， ∴∠PCD=∠CPD， ∴CD=PD， ∴CD=DP=PQ=QC， ∴四边形CDPQ是菱形， 过D作DG⊥y轴于点G， 设P（n，﹣

33293n +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣n3）， 44443252n， n+3）﹣3]2+n2=1在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣而|PD|=|（﹣∵PD=CD， ∴﹣﹣

33293nn3 n3）﹣（﹣n+3）|=|﹣n2+3n|，

4444325n3nn①， 44325n3nn②， 447或0（不符合条件，舍去）， 317或0（不符合条件，舍去）， 3解方程①得：n=解方程②得：n=当n=

7725时，P（，），如图3， 336

当n=

171725时，P（，﹣），如图4，

333

综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（或（

725，）361725，﹣）．

33点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．

2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【解析】 【分析】

（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论． （2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100， 解得：x＝40， 60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元； （2）设利润为w，

根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000 ＝﹣10（x﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，

利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

3．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为92，此时点P的坐8315，）． 24【解析】

标为（

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论． 【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

1bc0b2得，解得：，

93bc0c3∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形， ∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2， 又∵t≠2， ∴不存在；

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

3mn0m1得，解得：，

n3n3∴直线BC的解析式为y=﹣x+3， ∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

1927333PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；

2222283②∵﹣＜0，

2273∴当t=时，S取最大值，最大值为．

28∴S=

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC=OB2OC232，

27292， ∴P点到直线BC的距离的最大值为8832此时点P的坐标为（

315，）． 42

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

4．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±5，0）或（-

3，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2710，-）．

93【解析】 【分析】

2）或（-（1）利用交点式求二次函数的解析式；

（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线

AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；

（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；

（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；

3，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则2△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点． 【详解】

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1）， 把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1）， a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；

（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），

②如图5，图3中的M（-

设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：2kb＝0，

b＝2解得：k＝1， b＝2∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2），

∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=

1×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， 2∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况：

①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：BC=2212=5，

以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=5， 此时，M2（1-5，0），M3（1+5，0）；

③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=

3， 2∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（-

3，0）， 2综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或

3，0）； 2（4）存在两种情况：

（1±5，0）或（-①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，

此时，△CP1Q∽△BCO，

∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴P1（-1，2），

3，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2， 2过P2作P2Q⊥BC，此时，△CP2Q∽△BCO，

②如图5，由（3）知：当M（-

易得直线CM的解析式为：y=

4x+2， 34yx2则， 32yxx2解得：P2（-

710，-），

93710，-）．

93综上所述，点P的坐标为：（-1，2）或（-【点睛】

本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，

不要丢解．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y4x8与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物3线yax24axc经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似； （3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为y（2）t的值为（3）t的值为

228xx8； 333050或； 1113106025或或； 3178（4）符合条件的点F存在，共有两个F1（4，8），F2(227，-8）. 【解析】

（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用

△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

236a24ac0a3， 解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知{，解得{c8c8∴y228xx8. 33ADAEt102t30，∴，∴t； AOAB61011(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t， ①当△ADE∽△AOB时，

②当△AED∽△AOB时，综上所述，t的值为

AEAD102tt50，∴t，∴； AOAB610133050. 或

1113(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴t10； 360； 173t，5②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=

3102t5，∴t6102t5，∴t③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=∴102t6t25，∴t； 58106025. 或或

3178228xx88，解得x227，33综上所述，t的值为

(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴yFyB8，求得x=4，∴F（4，8）； ②当AD为对角线时，则yFyB8，∴∵x﹥0，∴x227，∴227,8.

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个F1（4，8），F2(227，-8）.

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．



6．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或

5+41或217132375-41；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

66662【解析】

分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到

∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=22，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2）， AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（解析式为y=-

15，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的22115112x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则52255y＝x5解方程组112得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，

y＝x55如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式

13+x得到3=6，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

2详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得

25a30c0a1，解得， c5b5∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=22AB=×4=22， 22∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=2PQ=2×22=4，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=综上所述，P点的横坐标为4或

5+415-41，m2=， 225+415-41或； 22②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB， ∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（设直线EM1的解析式为y=﹣把E（

15，﹣， 221x+b， 5151512，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣， 221025112x﹣ 55∴直线EM1的解析式为y=﹣

13xyx513176解方程组，则M1（，﹣）； 112得17yx66y556作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB， 设M2（x，x﹣5），

13+x∵3=6

223∴x=，

6∴M2（

237，﹣）. 661317237，﹣）或（，﹣）． 6666综上所述，点M的坐标为（

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

7．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；

（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

14x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线333． 2

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】

（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=求解即可；

（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到

3列出关于a、c的方程组2QxPxFxExQyPyFyEy，，从而2222可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可． 【详解】

（1）当y=0时，

143x0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，33216a12c0得33，

2a2a1解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；

c4（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，

1x． 3∵点P是直线1上任意一点，

∴直线m的解析式为y=

∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a． 又∵PE=3PF， ∴

PCPB． PFPE∴∠FPC=∠EPB． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP⊥PE．

（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a， ∴OF=20﹣3a． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴

QxPxFxExQyPyFyEy，， 2222∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q（﹣2，6）．

如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18， ∴OF=3a﹣20． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形，

QxPxFxExQyPyFyEy，， 2222∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

∴

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q（2，﹣6）．

综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．

8．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=（3-2，2﹣42）． 【解析】 【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案；

9；②P（2，﹣3）或4（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】

（1）将A，B，C代入函数解析式，

abc0a1得9a3bc0，解得b2，

c3c3这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3； （2）设BC的解析式为y=kx+b， 将B，C的坐标代入函数解析式，得

3kb0k1，解得， b3b3BC的解析式为y=x﹣3，

设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣当n=

329）+， 2439时，PM最大=； 24②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2， n2﹣2n﹣3=-3， P（2，-3）；

当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，

解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2， n2﹣2n﹣3=2-42， P（3-2，2-42）；

综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）． 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

9．如图，已知抛物线

A，且与y轴交于点C（0，5）。

的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。 【答案】（1）（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4） 【解析】 【分析】

（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。 （2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线【详解】

解：（1）设直线BC的解析式为

，

联立，即可求得点P的坐标。

将B（5，0），C（0，5）代入，得∴直线BC的解析式为将B（5，0），C（0，5）代入∴抛物线的解析式

。 。

，得

。

，得，得

。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N

。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。 ∴

∴MN的最大值是

。

。

，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。 。 。

，即

。

。

。

（3）当MN取得最大值时，N∵∴

由勾股定理可得，

的对称轴是

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：BH=

，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则

易得，△BEH是等腰直角三角形， ∴EH=

。

或

当

时，与，解得

当

时，与

或

联立，得

。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。

。

∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：

联立，得

，解得

4）。

或。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－

综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

10．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（

）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：

与

y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（－1，0），或（1，－4）． 【解析】 试题分析：（1）在

；（2）；（3）P的坐标为（1，）

中，令y=0，得到

，故

，，令

，得到A（－1，

0），B（3，0），由直线l经过点A，得到

，即

为4，即有

，得到

，由于CD＝4AC，故点D的横坐标

，从而得出直线l的函数表达式；

），则F（，

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，

），

EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝

，故△ACE的面积的最大值为

，解得

，而△ACE的面积的最大值为，所以

；

，即

，解得

，

，得到D

（3）令

（4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若

AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线． 试题解析：（1）∵

=

，令y=0，得到

，

，∴

，

，，令

∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴

，即

4，∴

）， EF＝

S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝

＝

，

，∵△ACE的面积的最大值为，∴

，解得

，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为

，∴直线l的函数表达式为

； ），则F（，

，∴

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，

=

，

∴△ACE的面积的最大值为

；

（3）令5a），∵

，即

，∴抛物线的对称轴为

，解得，，∴D（4，

，设P（1，m），

①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四

边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴∴∴

，∴P1（1，

）；

，，即

，∵

，

②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，＝∴

，∵

），Q（2，），m，即

，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，，∴，∴

，∴P2（1，－4）．

）

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，或（1，－4）．

考点：二次函数综合题．