水平宽铅垂高求三角形面积.doc

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法

------------二次函数教学反思

铅垂高

如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC

铅垂高 C 1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 2y y A C O B D B h B 水平宽 a 图1

x A P O x

1

例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B（1，3）

33223，因此yxx 333（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.

（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ，得a3）3k3323kb3,3解得设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为y，当x=－1时，，xy3332kb0.b233因此点C的坐标为（－1，3/3）.

（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D. 1SPABSPADSPBD(yDyP)(xBxA)213233223x33x3x323323xx3222

3193x228当x=－

13931时，△PAB的面积的最大值为，此时P,2. 842例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及SCAB；(3)是否存在一点P，使S△PAB=若不存在，请说明理由.

解：(1)设抛物线的解析式为：y1a(x1)4把A（3,0）代入解析式求得a1所以y1(x1)4x2x3设直线AB的解

B

2229S△CAB，若存在，求出P点的坐标；8y C 析式为：y2kxb由y1x2x3求得B点的坐标为(0,3) 把

1

O

2D x 2

1 A

图-2

A(3,0)，B(0,3)代入y2kxb中 解得：k1,b3所以y2x3 ····

(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2SCAB(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则

1323(平方单位) 2199hy1y2(x22x3)(x3)x23x由S△PAB=S△CAB得3(x23x)3化简

828333152得：4x212x90解得，x将x代入y1x2x3中，解得P点坐标为(,)

2224例3．（2015江津）如图，抛物线yxbxc与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代yxbxc中得 ∴抛物线解析式为：yx2x3

(2)存在。 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x1对称 ∴直线BC与x1的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵yx2x3

22221bc＝0b2∴

93bc0c3x1 ∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为：yx3 Q点坐标即为的解

yx3 ∴x1∴Q(－1，2)

y2（3）答：存在。理由如下：

x2x3) (3x0)∵SBPCS四边形BPCOSBOCS四边形BPCO设P点(x，有最大值，则SBPC就最大，∴S四边形BPCO＝SRtBPES直角梯形PEOC＝当当

29若S四边形BPCO211BEPEOE(PEOC) 221133927＝ (x)2(x3)(x22x3)(x)(x22x33)2228223927927927S四边形BPCO最大值＝时， ∴SBPC最大＝ x2282828315315时，∴点P坐标为xx22x3(， ) 2424 3

BOQyCPyCAxBEOAx(2)(3)同学们可以做以下练习：

1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）； （2）若P，A两点在抛物线y=－

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x+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上； 3（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若

存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（湖北省十堰市2014）如图①， 已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

4

图① 图②

3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数错误!未找到引用源。的图象与x轴交于A、B 两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点， 点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP错误!未找到引用源。C， 那么是否存在点P，使四边形POP错误!未找到引用源。C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 解：（1）将B、C两点的坐标代入得

错误!未找到引用源。错误!未找解得：

所以二次函数的表达式为：错误!未找到到引用源。

错误!未找到引用源。图11 引用源。

（2）存在点P，使四边形POP错误!未找到引用源。C为菱形．设P点坐标为（x，错误!未找到引用源。），PP错误!未找到引用源。交CO于E若四边形POP错误!未找到引用源。C是菱形，则有PC＝PO．

连结PP错误!未找到引用源。 则PE⊥CO于E，∴OE=EC=

错误!未找到引用

5

=． 源。错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。=

错误!未找到引用源。

解得错误!未找到引用源。=

，错误!

错误!未找到引用源。

（不合题意，舍去） 未找到引用源。=

错误!未找到引用源。∴P点的坐标为（，）

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

（3）过点P作错误!未找到引用源。轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，错误!未找到），易得，直线BC的解析式为错误!未找到引用源。则Q点的坐标为（x，x－3）. 引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。当时，四边形ABPC的面积最大 错误!未找到引用源。

此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积错误!未找到引

错误!未找到引用源。用源。．

25．（2015绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．

D y C G E A F O B x A F N O B x K D y C G E 116a4b40,【解析】（1）由题意，得  解得a，b =－1．

24a2b40,129． xx4，顶点D的坐标为（－1，）22（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为

所以抛物线的解析式为y

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DH + CH = DH + HB = BD =BM2DM2953． 13． 而 CD12(4)22225313． 22k1b10,3设直线BD的解析式为y = k1x + b，则  解得 ，b1 = 3． k192k1b1,23所以直线BD的解析式为y =x + 3．由于BC = 25，CE = BC∕2 =5，Rt△CEG∽△COB，

213得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y =x +．

22315联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．

481（3）如图所示，设K（t，t2t4），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．

2113513则 KN = yK－yN =t2t4－（t +）=t2t．

222222113229所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +） +．

4222293335即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．

4228

∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =

平面直角坐标系中三角形面积的求法

我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.

1． 有一边在坐标轴上：

例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求△ABC的面积.

分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上， 由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是 A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.

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2． 有一边与坐标轴平行：

例2：如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC的面积.

分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，就可求得线段

CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.

3． 三边均不与坐标轴平行： 例3：

分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接 求边长，也无法求高，因此得另想办法.

4． 三角形面积公式的推广：

过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条 直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在 △ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出 一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=

1ah 28

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

例4：已知：直线l1：y=﹣2x+6与x轴交于点A，直线l2：y=x+3与y轴交于点B，直线l1、l2交于点C． (Ⅰ)建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标； (Ⅱ)利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积．

5． 巩固练习：

（1）已知：如图，直线ykxb与反比例函数yk'（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于x点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （Ⅰ）试确定反比例函数的关系式； （Ⅱ）求△AOC的面积．

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m是常数）（2）如图，在直角坐标平面内，函数y（x0，的图象经过A(1其中a1．过，4)，B(a，b)，

点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB． 若△ABD的面积为4，求点B的坐标；

（3）已知，直线

与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰

mxRt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （Ⅰ）求三角形ABC的面积S△ABC；

（Ⅱ）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （Ⅲ）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

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