2021海淀二模

数

学校

学

准考证号

班级 姓名

考生须知

1．本试卷共 8 页，共三道大题，29 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应 ．．的位置．

1．如图，用圆规比较两条线段 AB和 AB 的长短，其中正确的是 A． AB  AB C． AB  AB

B． AB  AB D． 不确定

2．如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是

A

正面看

B C D

3．下列计算正确的是A． 2a  3a  a C． 2a  2  a

B． a6

3 2

 a6

3

2

D． a a a

4．如图， ABCD 中，AD=5，AB=3，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于 E 点，则 EC 的长为

A．4

B．3 D．1

C．2

5．共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物

园打开某共享单车 APP，如图，“ ”为小白同学的位置，“★

为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停

放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是

A．F6 B．E6

C．D5 D．F7

6．在单词 happy 中随机选择一个字母，选到字母为 p 的概率是

1A．

5 2B．

5 3C．

5 4D．

5

7．如图，OA 为⊙O 的半径，弦 BC⊥OA 于 P 点．若 OA=5，AP=2，则弦 BC 的长为 A．10

B．8 D．4

C．6

8．在下列函数中，其图象与 x 轴没有交点的是 A． y  2x

B． y  3x  1

C． y  x2

1D． y 

x

9．如图，在等边三角形三个顶点和中心处的每个“○”中各填有一个式 子，若图中任意三个“○”中的式子之和均相等，则 a 的值为 A．3

B．2 D．0

C．1

10．利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设 OA=1，以 O 为圆心，

分别以 0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95 长为半径作半圆，再以 OA 为直径作⊙ M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如： sin 60  0.87 ，

sin 45  0.71 ．下列角度中正弦值最接近0.94 的是

A．70° B．50° C．40° D．30°

二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）

1

11．若分式 有意义，则 x 的取值范围是

x  2

．

12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，4）为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合要求的点 B 的坐标

m 1

13．计算：  = ．

．

m 1 1  m

14．某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温 y ℃与向上攀登的

高度 x km 的几组对应值如下表：

向上攀登的高度 x/km 气温 y/℃ 0.5 2.0 1.0 1.5 2.0 0.9 4.1 7.0 若每向上攀登 1 km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为 2.5 km 时，登山队所在位置的气温约为

℃．

15．下图是测量玻璃管内径的示意图，点 D 正对“10mm”刻度线，点 A 正对“30mm”刻度

线，DE∥AB．若量得 AB 的长为 6mm，则内径 DE 的长为

mm．

16．在一次飞镖比赛中，甲、乙两位选手各扔 10 次飞镖，下图记录了他们的比赛结果．你认

为两人中技术更好的是

，你的理由是

．

甲

乙

三、解答题（本题共72 分，第17～26 题每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）

 1 12 3 17．计算：   2  2 tan 60 °    ．

 3

 2 x  3x  2 



18．解不等式组： 1  2 x

 x  1．

1



 3

19．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD．请你添加

一条线把它分成两个全等三角形，并给出证明．

2 4 m

2，求m  4 2m  8 20．若关于 x 的方程   1的根是

x 2x

的值．

21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（2，0）的

直线 l： y  mx  3与 y 轴交于点 B． （1）求直线 l 的表达式；

n

（2）若点 C 是直线 l 与双曲线 y  的一个公共点，

x

AB=2AC，直接写出 n 的值．

22．为了让市民享受到更多的优惠，某市针对乘坐地铁的人群进行了调查．

（1）为获得乘坐地铁人群的月均花费信息，下列调查方式中比较合理的是

；

A．对某小区的住户进行问卷调查

B．对某班的全体同学进行问卷调查

C．在市里的不同地铁站，对进出地铁的人进行问卷调查

（2）调查小组随机调查了该市 1000 人上一年乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了频数分布直方图，如图所示．

① 根据图中信息，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是

元；

A．20—60 B．60—120 C．120—180

②为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使 30%左右的人获得折扣优惠．根据图中信息，乘坐地铁的月均花费达到 以享受折扣．

元的人可

23．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于 D 点，交 BC 于 E 点，

过点 A 作 BC 的平行线交直线 ED 于 F 点，连接 AE，CF． （1）求证：四边形 AECF 是菱形；

（2）若 AB=10，∠ACB=30°，求菱形 AECF 的面积．

24．阅读下列材料：

2016 年，北京市坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，围绕首都城市战略定位，加快建设国际一流的和谐宜居之都，在教育、科技等方面保持平稳健康发展， 实现了“十三五”良好开局．

在教育方面，全市共有 58 所普通高校和 81 个科研机构培养研究生，全年研究生招

生 9.7 万人，在校研究生 29.2 万人．全市 91 所普通高校全年招收本专科学生 15.5 万人，

在校生 58.8 万人．全市成人本专科招生 6.1 万人，在校生 17.2 万人．

在科技方面，2016 年全年研究与试验发展（R&D）经费支出 1479.8 亿元，比 2015

年增长了6.9%，全市研究与试验发展（R&D）活动人员36.2 万人，比上年增长1.1 万人．2013年，2014 年，2015 年全年研究与试验发展（R&D）经费支出分别为 1185.0 亿元，1268.8 亿元，1384.0 亿元，分别比前一年度增长 11.4%，7.1%，9.1%．

（以上数据来源于北京市统计局）

根据以上材料解答下列问题：

（1）请用统计图或统计表将北京市 2016 年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科

学生的招生人数和在校生人数表示出来；

（2）2015 年北京市研究与试验发展（R&D）活动人员为

万人；

（3）根据材料中的信息，预估 2017 年北京市全年研究与试验发展（R&D）经费支出约

亿元，你的预估理由是

．

25．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，D 为 AC 的中点，AC，BD 相交于 E 点，过点 A 作⊙

O 的切线交 BD 的延长线于 P 点．

（1）求证：∠PAC=2∠CBE；

（2）若 PD=m，∠CBE=α，请写出求线段 CE 长的思路．

26．已知 y 是 x 的函数，该函数的图象经过 A（1，6），B（3，2）两点．

（1）请写出一个符合要求的函数表达式

；

（2）若该函数的图象还经过点 C（4，3），自变量 x 的取值范围是 x≥0 ，该函数无最小值．

①如图，在给定的坐标系 xOy 中，画出一个符合条件的函数的图象； ．．

②根据①中画出的函数图象，写出 x  6对应的函数值 y 约为 （3）写出（2）中函数的一条性质（题目中已给出的除外）．

；

27．抛物线 y  x 2mx  m 4 与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于点

2 2

C，抛物线的对称轴为 x=1．

（1）求抛物线的表达式；

1

（2）若 CD∥x 轴，点 D 在点 C 的左侧， CD  AB ，求点 D 的坐标；

2

（3）在（2）的条件下，将抛物线在直线 x=t 右侧的部分沿直线 x=t 翻折后的图形记为 G，

若图形 G 与线段 CD 有公共点，请直接写出 t 的取值范围．

28．在锐角△ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的高，E 为 AC 中点．

（1）如图 1，过点 C 作 CF⊥AB 于 F 点，连接 EF．若∠BAD=20°，求∠AFE 的度数；

（2）若 M 为线段 BD 上的动点（点 M 与点 D 不重合），过点 C 作 CN⊥AM 于 N 点，射线

EN，AB 交于 P 点．

①依题意将图 2 补全；

②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点 M 运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：连接 DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．

想法 2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠

APE=2α．

想法 3：在 NE 上取点 Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证

△NAQ∽△APQ．

请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD．（一种方法即可）

图 1 图 2

29．在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P，Q 两点给出如下定义：若点 P 到两坐标轴的距离之

和等于点 Q 到两坐标轴的距离之和，则称 P，Q 两点为同族点．下图中的 P，Q 两点即为同族点．

（1）已知点 A 的坐标为（ 3 ，1），

①在点 R（0，4），S（2，2），T（2， 3 ）中，为点 A 的同族点的是 ②若点 B 在 x 轴上，且 A，B 两点为同族点，则点 B 的坐标为 （2）直线 l： y  x  3，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，

①M 为线段 CD 上一点，若在直线 x  n 上存在点 N，使得 M，N 两点为同族点，求 n 的取值范围；

；

；

②M 为直线 l 上的一个动点，若以（m，0）为圆心， 2 为半径的圆上存在点 N，使

得 M，N 两点为同族点，直接写出 m 的取值范围．

海淀九年级第二学期期末练习

数 学 答 案

一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 B 7 B 8 D 9 C 10 A 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11． x  2

12．答案不唯一，例如（0，0）

13．1 15．2

14．答案不唯一，在10.8  t  9.6 范围内即可

16．乙；乙的平均成绩更高，成绩更稳定．

三、解答题（本题共 72 分，第 17~26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）

17．原式 = 2 3  2  3  2 3  3 -------------------------------------------------------------- 4 分

= 5  3 ． ------------------------------------------------------------- 5 分

x  3x  2   2，



18．解：原不等式组为 1  2 x

 x  1．

 3

由不等式①，得 x  3x  6  2 ， 解得 x  2；

① ②

----------------------------------------------------------------- 1 分

------------------------------------------------------------------------------------ 2 分

由不等式①，得1  2 x  3x  3 ， ------------------------------------------------------------------ 3 分 解得 x  4；

------------------------------------------------------------------------------------- 4 分

∴ 原不等式组的解集是 2  x  4 ． --------------------------------------------------------------- 5 分 19．连接 AC，则△ABC ≌ △ADC． ---------------------- 1

证明如下：

在△ABC 与△ADC 中，

 AB  AD，



AC  AC CB  CD， ---------------------------- 4

∴△ABC ≌ △ADC． ------------------------------ 5

4 m

20．解：∵关于 x 的方程   1的根是 2，

x 2x

4 m

∴   1． -----------------------------------------------------------------1 分 2 4

∴ m  4 ． ∴ m  4 2m  8

2

----------------------------------------------------------------2 分

 4  4 2  4  8

2

------------------------------------------------------------ 4 分 --------------------------------------------------------------- 5 分

 0．

21．解：（1）∵ 直线l：y  mx  3 过点 A（2，0），

∴ 0  2m  3 ．

3

∴ m  ．

2

-------------------------------------------------------------- 1 分 -------------------------------------------------------------- 2 分

∴ 直线l 的表达式为 y  x  3 ．

3

------------------------------------- 3 分

2

3 9 （2） n   或 ．

2 2

--------------------------------------------------------- 5 分

22．（1）C；

------------------------------------------------------------------------------ 2 分 ------------------------------------------------------------------------------ 4 分 ------------------------------------------------------------------------------- 5 分

（2）① B；

② 100．

23．（1）证明：∵ EF 垂直平分 AC，

∴ FA=FC，EA=EC， ∵ AF∥BC， ∴ ∠1=∠2． ∵ AE=CE， ∴ ∠2=∠3． ∴ ∠1=∠3． ∵ EF⊥AC，

∴ ∠ADF=∠ADE=90°． ∵ ∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°． ∴ ∠4=∠5． ∴ AF=AE． ∴ AF=FC=CE=EA．

∴ 四边形 AECF 是菱形． ------------------------------------------------- 3 分

（2）解：∵∠BAC=∠ADF=90°，

∴AB∥FE． ∵AF∥BE，

------------------------------------------------- 2 分 ------------------------------------------------ 1 分

∴四边形 ABEF 为平行四边形． ∵AB=10，

∴FE=AB=10． -------------------------------------------------------------------- 4 分 ∵∠ACB=30°， ∴ AC 

24．（1）

3  10 ．

tan ACB

1

∴ S菱形AECF  AC  FE  50 3 ． ------------------------------------------- 5 分

2

北京市 2016 年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生

AB

招生人数和在校生人数统计表（单位：万人）

人数 项目 招生人数 在校生人数

类别 研究生 9.7 29.2 普通高校 本专科学生 15.5 58.8 成人 本专科学生 6.1 17.2 北京市 2016 年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生

招生人数和在校生人数统计图（单位：万人）

---------------------------------- 2 分

（2）35.1 ； ----------------------------------------------------------------------------------- 3 分 （3）答案不唯一，预估理由与预估结果相符即可． ------------------------------- 5 分

25．（1）证明：∵D 为 AC 的中点，

∴∠CBA=2∠CBE． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠1+∠CBA=90°． ∴∠1+2∠CBE =90°． ∵AP 是⊙O 的切线，

∴∠PAB=∠1+∠PAC=90°． ----------------------------- 2 分

------------------------------------ 1 分

∴∠PAC =2∠CBE． --------------------------------------3 分

（2）思路：①连接 AD，由 D 是 AC 的中点，∠2=∠CBE，

由∠ACB=∠PAB=90°，得∠P=∠3=∠4，故 AP=AE； ②由 AB 是⊙O 的直径，可得∠ADB=90°；由 AP=AE，

1

得 PE=2PD=2m，∠5= ∠PAC =∠CBE= -------- 4 分

2 ③在 Rt△PAD 中，由 PD=m，∠5=，可求 PA 的长； ④在 Rt△PAB 中，由 PA 的长和∠2=，可求 BP 的长； 由 BE  PB  PE 可求 BE 的长；

⑤在 Rt△BCE 中，由 BE 的长和CBE ，可求 CE 的长． ------------ 5 分

6

26．（1）答案不唯一，例如 y  ， y  2x  8， y  x2  6 x  11等； -----------------------2 分

x

（2）答案不唯一，符合题意即可；

-------------------------------------------------------- 4 分 -------------------------------------------------------- 5 分

2

（3）所写的性质与图象相符即可．

2

2

27．（1）解：∵抛物线 y  x 2mx  m 4  x  m 4，其对称轴为 x  1，

∴ m  1．

∴该抛物线的表达式为 y  x 2x  3． ----------------------------------------- 2 分

2

（2）解：当 y  0 时， x 2x  3  0，解得 x  1， x  3，

1 2

2

∴抛物线与 x 轴的交点为 A（ 1，0），B（3，0）． ------------------------- 3 分 ∴ AB  4 ．

当 x  0 时， y  3，

∴抛物线与 y 轴的交点为 C（0， 3 ）．

1

∵ CD  AB ，

2 ∴CD=2．

∵CD∥x 轴，点 D 在点 C 的左侧， ∴点 D 的坐标为（ 2 ， 3 ）．

（3） 1  t  1．

------------------------------------------ 5 分

----------------------------------- 4 分

----------------------------------------------------------------------------- 7 分

28．（1）证明：∵AB=AC，AD 为 BC 边上的高，∠BAD=20°，

∴∠BAC=2∠BAD=40°． ---------------------------------- 1 分 ∵CF⊥AB， ∴∠AFC=90°． ∵E 为 AC 中点，

1

∴EF=EA= AC ．

2

∴∠AFE=∠BAC=40°． ---------------------------------------- 2 分

（2）①

画出一种即可． ------------------------------------------------------------------------ 3 分 ②证明：

想法 1：连接 DE．

∵AB=AC，AD 为 BC 边上的高， ∴D 为 BC 中点． ∵E 为 AC 中点， ∴ED∥AB， ∴∠1=∠APE．

--------------------------------- 4 分

∵∠ADC=90°，E 为 AC 中点，

1

∴ AE  DE  CE  AC ．

2

1

同理可证 AE  NE  CE  AC ．

2 ∴AE=NE=CE=DE．

∴A，N，D，C 在以点 E 为圆心，AC 为直径的圆上． ----- 5 分 ∴∠1=2∠MAD． ∴∠APE=2∠MAD．

------------------------------------------ 6 分 ------------------------------------------- 7 分

想法 2：设∠MAD=α，∠DAC=β，

∵CN⊥AM， ∴∠ANC=90°． ∵E 为 AC 中点，

1

∴ AE  NE  AC ．

2

∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β． --------------------- 4 分 ∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β．

------------------------ 5 分

∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAC=2∠DAC=2β． ∴∠APE=∠PEC ∠BAC=2α． ∴∠APE=2∠MAD．

--------------------------------- 6 分

--------------------------------------------- 7 分

想法 3：在 NE 上取点 Q，使∠NAQ=2∠MAD，连接 AQ，

∴∠1=∠2．

∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD．

∴∠BAD ∠1=∠CAD ∠2， 即∠3=∠4．

----------------------------------------- 4 分

∴∠3+∠NAQ=∠4+∠NAQ， 即∠PAQ=∠EAN． ∵CN⊥AM， ∴∠ANC=90°． ∵E 为 AC 中点，

1

∴ AE  NE  AC ．

2 ∴∠ANE=∠EAN． ∴∠PAQ=∠ANE． ∵∠AQP=∠AQP，

∴△PAQ ∽ △ANQ． ----------------------------------------------------- 6 分 ∴∠APE=∠NAQ=2∠MAD． --------------------------------------------- 7 分

29．（1）①R，S；

------------------------------------------------------------------------------------ 2 分

------------------------------------------------------------ 4 分

------------------------------------------------------ 5 分

②（ 4 ，0）或（4，0）；

（2）①由题意，直线 y  x  3与 x 轴交于 C（3，0），与 y 轴交于 D（0， 3 ）．

点 M 在线段 CD 上，设其坐标为（x，y），则有：

x  0 ， y  0 ，且 y  x  3．

点 M 到 x 轴的距离为 y ，点 M 到 y 轴的距离为 x ，

则 x  y  x  y  3 ．

∴点 M 的同族点 N 满足横纵坐标的绝对值之和为 3． 即点 N 在右图中所示的正方形 CDEF 上． ∵点 E 的坐标为（ ，点 N 在直线 3 ，0）x  n 上，

∴ 3  n  3 ． ------------------------------------------------------------------------ 6 分 ②m≤ 1或 m≥1． --------------------------------------------------------------------- 8 分