第２６卷第６期 ２ｏ０８年Ｉ１月 佳木斯大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａ￣ｏｆＪｉａｍｕｓｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．２６ Ｎｌ０．６ Ｎ ．２０ｏ８ 文章编号：１００８—１４０２（２００８）０ｌ６—０Ｂ２３—０２ 凸多面体不确定离散广义系统保性能控制 李晓霞 ， 王汝凉２， 黎艳萍 ， 赵坤。 （１．广西师范学院数学与计算机科学系广西南宁５３００２３；２．广西师范学院信息计术系广西南宁５３００２３；３．隹木斯大学理学院曩龙江隹 木斯１５４００７ Ｊ 摘要：研究了凸多面体不确定离散广义系统的保性能控制问题，目的是设计一个状态反馈 控制器，使得闭环系统渐近稳定且相应的性能指标不超过某个确定的上界，通过构造参数依赖的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数方法，得到闭环系统稳定的充分条件和保性能控制器的设计方法． 关键词： 凸多面体不确定；保性能控制；参数依赖Ｌｙａｐｕｎｖｏ函数 中图分类号：０１５８ 文献标识码：Ａ 其 ０引 言 中＝ 自Ｃｈａｎｇ和Ｐｅｎｇ提出了不确定系统保成本控 制的思想以来，许多此方面的研究成果相继问世， Ｎ Ｎ ＝但凸多面体不确定离散广义系统的保性能控制还 ∑ａ‘＝ｌ ｉ［△４ ， ］＝∑口五 ４） 鲜见报道，文献［１］研究的是多面体不确定离散系 对系统（１），脚 ‘＝ｌ （定义二次型性能指标 统和保性能控制，文献［２］所讨论的是不确定离散 ＝广义系统的保成本控制．文献［３］研究的是多面体 ∑［ （ｋ）Ｅ￣ＱＥｘ（ｋ）＋ｌ‘ （ ）足 （ ）］ （５） 不确定离散广义的鲁棒稳定问题，本文针对凸多面 其中：Ｑ，～Ａ Ｒ是给定的对称正定加权矩阵． 体不确定离散广义系统的保性能控制这个问题，利 以下研究对系统（１）式和给定性能指标（５） 用参数依赖Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数方法构造了状态反馈控 式，存在保性能控制的条件和保性能控制律的设计 制器，使控制器能确保闭环系统渐近稳定和满足相 方法． 应的二次型性能指标． ２ 主要结果 １ 问题描述 关于系统的保性能性控制，引进以下的定义： 考虑由以下状态方程描述的线性不确定离散 定义： 对系统（１）和性能指标（５），如果存在 一广义系统 个控制律 。（ｔ）和一个正数 ’，使得对所有允 Ｅｘ（ｋ＋１）＝△ （ ）＋Ｚｍｕ（ ） （１） 许的不确定性，闭环系统是渐近稳定的，且闭环性 能指标值满足 ≤ ，则Ｊ。称为不确定系统（１） 其中： （七）∈Ｒ 和 （后）∈ 分别是系统（１）的 的一个性能上界， 、’（ｔ）称为不确定系统（Ｉ）的一 状态和控制向量，Ｅ为非奇异常矩阵， 。＝ｘ（０）是 个保性能控制律（Ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ Ｃｏｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌａｗ）． 初始状态向量，△Ａ，ＡＢ为适当维数的不确定矩 Ｆｉｎｓｌｅｒ引理：ｘｒＡｘ＜０ Ｖ Ｈｘ＝０， ≠ 阵，且不确定性具有如下形式 Ｏ铮Ａ＋ＸＨ＋日 ＜０ Ｎ Ｎ ［△Ａ， ］＝∑ ［△Ａｉ，ＡＢ ］ ∑ ＝１， ≥０ Ｓｃｈｕｒ补引理： 假设对称矩阵 ∈ 设系统（１）的状态反馈控制器 足（ｎ＋ｍ）×（ｎ ’的分块表示为ｓ＝【Ｓｓ 】，其中 ｎ（后）＝ （｜ｊ｝） （２） ∈ ，Ｓ ∈ ， ∈ ，则以下３个条件等价： Ｋ为待求的反馈增益矩阵．把式（２）带入系统（１）， （１）Ｓ＜０ 得到闭环系统状态方程 （２）ｓｌ＜０，ｓ３一ｓ；ｓ ｓ２＜０ ①收稿日期：２００８一ｌ０—１０ 基金项目：黑龙江省教育厅科学技术研究项目（１ｌ５ｌｌ４０９）． 作者简介：李晓霞（１ ９一），女，讲师，硕士研究生，研究方向：不确定离散广义系统稳定性理论． ８２４ 佳木斯大学学报（自然科学版） ２００８年 （３）Ｓ３＜０，Ｓｌ—Ｓ２ Ｓ ＜０ 定理ｌ 若存在对称正定矩阵 和矩阵 ，使 得对所有非零 （ｋ＋１）， （后）有 （ｋ＋Ｉ）ＥｒｐｏＥｘ（ｋ＋１）一 （ｋ）Ｅ￣Ｐ．Ｅｘ（ｋ） ＋ （ｋ）ｎ ＱＥｘ（ｊＩ）＋ （ｋ）ＫｒＲＫｘ（ｋ）＜０ （６） Ⅳ 成立，其中Ｐｄ＝ 口 ，则ｕ（ＩＩ｝）＝ （Ｉｊ｝）称为系 一统（１）的一个保性能控制律，其闭环系统（３）是鲁 棒渐近稳定的，相应的一个系统性能上界是Ｊ。＝ 脚＋ ＋ 】 ＜０ 盛 Ｐ Ｅｘ ． 证明： 若存在对称正定矩阵 和矩阵 ，使 得对所有非零 （．ｊ｝＋１）， （ｋ），式（６）成立．取控制 律ｕ（ ）＝ （ｋ），代人（１）得相应的闭环系统 （３），选取Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数 Ｅｘ（ｋ）］： （ｋ）Ｅ￣ｒ．Ｅｘ（ｋ） 其中： ＿ｌｖ ＩＶ Ｐａ＝∑口ｉ只∑口‘＝ｌ口 ≥０ 由只是正定的，可推导出Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数是正 定的．由上得 ，ＡＶ［Ｅｘ（Ｊｉ｝）］＝Ｖ［Ｅｘ（ｋ＋１）］一 ［Ｅ （后）］ ＝ （ｋ＋１）ＥｒＰＥｘ（Ｉｉ｝＋１）一 （ｋ）ＥｒＰＥｘ（ ） ＜一［ （ｋ）ＥｒＱＥｘ（ｋ）＋ｌ‘ （ｋ）Ｒｕ（Ｉｊ｝）］＜０ 所以闭环系统（３）是鲁棒渐近稳定的． 进一步，对上述不等式两边同时从０到Ⅳ取 和，并利用系统的渐近稳定性，得 ∑Ｉｘ （ｋ）ＥｒＱＥｘ（ｋ）＋ｌ‘ （ ）足ｌ‘（ＩＩ｝）］ ｉ＝１ Ⅳ ＜∑［ （眈（｜ｊ｝＋１））一Ｖ（Ｅｘ（ ））］ ＝ （Ｅｘ。）一 （ （Ｎ）） 当Ⅳ一∞时，有 （ （Ｊ７ｖ））一０， 即Ｊ＝∑［ （ ）Ｅ ＱＥｘ（ｋ）＋ｕ （．ｊ｝）足Ⅱ（ＩＩ｝）］ ＜ （ ０）＝ｘ￣ＥｒＰＥｘｏ＝Ｊ。 根据定义，ｕ（ ）＝ （Ｊ｝）是系统（１）的一个保性 能控制律，且Ｊ ＝ｘｒＥｒＰＥｘ。是相应闭环系统（３） 的一个上界，定理得证． 定理２： 对于凸多面体不确定广义离散系 统，若存在对称正定矩阵Ｐｄ∈ “和矩阵 ∈ ，Ｇ∈ 使得 ｆ＿ＥｒｐｉＥ一 一 ０］ ｌ ＊ 一ＥｒＰ￣Ｅ＋啦 Ｉ＜ｏ Ｌ ＊ ＊ 一足一 ｊ （７） ＝。 ≠。 记 以 ［【 ＊Ｅ Ｅ—Ｅ 一Ｅ Ｅ＋０ Ｅ＋ ＋Ｅ ＱＥ＋Ｋ— ＪＴＲＫ—】 【 】ｘ 旧 【 ＊ 一Ｅ ＋ ＋。—Ｅｒｐ．Ｅ＋ＥＴＱＥ＋Ｋｒ ＪＲＫ】 ＋【 】ｃ—Ｅ ＋【 ：】 Ｇ 。 ＜。 一 ～一卿＋ 一】＜。 ｒ■一薯啦 ０。 Ⅳ ．．Ｆ Ｐ ＿ Ｅ—ＧＥ一 ｄ 矗 ０ １ － ∑嘶Ｉ ＊ 一ＥｒＰ￣Ｅ＋ ｌ＜０ ３结论 并使得凸多面体不确定离散广义系统稳定． ８２８ 佳木斯大学学报（自然科学版） 。≤ｌｌ Ｈ ≤ｍａｘ｛矾，』Ｄ｝． Ｃｍｒ￣ｕｔａｆｉｏｎ，２Ｏ０７，１８８：９６—１０２． ２００８血 再由ｕ的凹性知“（ｔ）＞０，ｔ∈（０，Ｔ），从而（１）一 Ｂａｉ Ｄｉｎｇｙｏｎｇ。Ｘｕ Ｙｕａｎｔｏｎｇ．ＫＴｄ＇ｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｂ０Ｉｌｎｄａｌｙ—ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ Ｄｅｌａｙ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ （３）必有一个正解。证毕． 注：本文把文献［１］在ｎ＝ｋ＝２情形下，参数 ＥｑｕａｆｉｏｎｓＥＪ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２ＯＯ５，１８：６２１—６３０． Ｅｌｏｅ Ｐ Ｗ，Ｒａｆｆｏｕｌ Ｙ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｏｌＳｕｔｉｏｎＳ ｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＦｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆ－ 范围中的积分区间由［｛， ３］推广到［ｏ， ］中的任 何子区间［ａ，ｂ］。并把极限情形推广到了上下极限 的情形． 参考文献： ［１］Ｈｅｎｄｅｒ￣ｌ ｊ，Ｙｉｎ Ｗ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏ｜ｕｌｉｏｒ￣ｓ ａｎｄ Ｎｏｎ］ｉｎｅａｒ Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ Ｐｒｂｌｏｅｍｓ ｆｏｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｅｑｕａｔｉｏｒｒ￣［ｊ］．Ａ ｌｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈ— ｅｎｍｔｉｅｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ．１２（１９９９）：６３—６８． ｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ】．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ８ ａｎｄＭａｈｔｃｍａｔｉ￣ｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００１。４２：６３９—６４６． 翁佩萱，蒋达清．奇异二阶泛函微分方程边值问题的多重正 解［Ｊ］．应用数学学报，２Ｏ００，２３（Ｉ）：９９—１０７． Ａｇ日 Ｒ Ｐ，Ｈｅｎｄｅｒｓｏｎ Ｊ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｎａｌｌｉｎｅａｒ Ｅｉｇｅｎ— ｖｌａｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｒｍ ｆｏｒ＂ｌｈｉｒｄ—ｏｒｄｅｒ Ｄｉ Ｘｕ Ｈｏｎｇ—Ｋｌａｎ，Ｌｉｚ Ｅ． ｃｅ Ｅｑｕａｔｌｏｍ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２ＯＯ５，１８：６２１—６３０． ａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊｊ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌ，２ＯＯＯ，４１：９７１—９８８． 郭大均．非线性泛函分析［Ｍ］．第二版．济南：山东科学技术 出版社，２∞１．１６６． ［２］Ｗａｎｇ Ｗｅｉｂｉｎｇ Ｓｈｅｎ Ｊｉａｎｈｕａ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｏｌＳｕｉｔｏｎｓ ｔｏ ａ Ｍｕｌｔｉ—ｐｏｉｎｔ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ Ｄｅｌａｙ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ａ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌ Ｅｑｕａｔａｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ ＺＨＯＵ Ｐｅｉ—Ｘｉａｎｇ， ＺＨＡＮＧ ，ｌｇ—ｙ０，ｌｇ （ｓｅａｏｄ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ａｎｄＣｏｍ０ｕｔｉｎｇＴｅｄｍｏｌｏｇｙ，Ｃｅｎｔｒａｌ ＳｏｕｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑ娜培ｓｂａ ４１００８３，Ｃｈｌｎ￣） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｉｆｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｃｏｄｅｓ． ａｔｕｒｅｓ ａｔｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． ｎｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒ— Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｐｏｓｉｉｔｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｏｎｅ；ｔｉｘｅｄ—ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌ ａｅｑｕａｔｉｏｎ ， ，＇’，＇＇’ｌ ，＇ ，＇＇ ，，＇，＇ ’》’＿． ＇＇ ’●’ ，，＇ ’，ｌｉｔ＇， ，’＇，＇’ ，＇＇＇，＇＇，＇＇’，＇’＇’＇＇，，＇＇，＇，，’’＇ ＇ （１＝控８２４页） 参考文献： １］稷月，于永新，李萍．线性凸多而体不确定离散系统保性能控 制ｆＪ ．鞍ｆ：ｌ科技大学学报 ２００７，３ｏ（３）：２３９—２４３． ｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｆｏｒＨｎｅａｒＤｉｓｃｒｅｔｅ—ｔｉｍｅＵｎｃｅｒｔａｉｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ．ＣｏｎｔｒｏｌＴｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ２００７，５，（１）：９９—１ｏ３． ［４］刘岑枫．胡刚．保成本控制的研究现状［Ｊ］．佛山科学技术学 院学报（自然科学版），２Ｏ０３，２１（４）：２６—３０． ［２］高婷婷，张庆灵，牡宝珠．不确定离散广义系统的保成本［Ｊ］． 控制系统工程与电子技术，２００７，２９（５）：７４９—７５２． ［５］俞立．鲁捧控制一线性矩阵不等式处理方法［Ｍ］．北京：清 华大学出版社。２ＯＯ２． ［３］Ｘｉｍｍｉ．ｇ ＺＨＡＮＧ Ａｎ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｒｏｂｕｓｔ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｒｏｂｕｓｔ Ｓｔａｂｉｌｉｚａ． Ｇｕａｒａｎｔｅｅ Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ Ｐｏｌｙｔｏｐｉｃ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｓｙｓｔｅｍ ｔｏ—ｘｉａ ， ＷＡＮＧ Ｒｕ—ｌｉａｎｇ ，ＬＩ Ｙａｈ—ｐｉｎｇ ， ＺＨＡＯ Ｋｕｎ （１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｄｃ￣ｃｅ，Ｃ，ｕａｒ￣ＴｅａｃｈｅｒｓＥｄｕｃａｔｉｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｎａｎｎｉｔｎｇ ５３００２３，（］３ｉＢａ；２．Ｄｅｐｍ－ｔｍｅｎｔｏｆＩｎ－ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃ，ｕａｎ￣Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｎａｎｎｌｔｎｇ ５３００２３，Ｃｈｈｌａ；３．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｄｅａｅｅ，Ｊｉａｍｍｉ Ｏｎｉｖｅｒａｔｙ，Ｊｉ哪 ． １５４００７，Ｏｌｔｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｇｕａｒａｎｔｅｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｐｏｌｙｔｏｐｉｃ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ａ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｉｓ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ—ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｓｔａｂｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｉｓ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｂｏｕｎｄ．Ｂｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｎｓｔｕｃｔｒｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ。ａ ｓｕｔ￣ｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｙ ｆｔｏｒ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ——ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｏｆ ｄｅｓｉｎｉｇｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｗｅｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｌｙｔｏｐｉｃ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ；ｇｕａｒａｎｔｅｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｃｏｎｔｒｏｌ；ｐａｒａｍｅｔｅｒ—・ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ