微分中值定理的证明和推广

第２２卷第２期　２００７年６月　邢台学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＸＩＮＧＴＡＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖｏ１．２２．Ｎｏ．２　Ｊｕｎｅ．２００７　微分中值定理韵证明和推广　霍凤芹，陶金瑞　（河北机电职业技术学院，河北邢台０５４０４８）　摘要：介绍证明拉格朗日中值定理时构造辅助函数的几种方法，用类似的方法对柯西定理进行了证明；同时对微分　中值定理加以推广，得到了更一般的情形、　关键词：微分中值定理；辅助函数；证明；推广　中图分类号：Ｏ１７　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—４６５８（２００７）０２—００９６—０２　１微分中值定理的证明　１．１微分中值定理　（　）：　。）＋　０一ａ　（　一。）　定理１　罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理　如果函数八　）在闭区间　令　（　）＝八　）一［　ｎ）＋　（　—ｎ）］　［ａ　ｍｂ］上连续，在开区间（ａ　ｍｂ）内可导，且在区间端点的函　数值相等，即八ａ）＝　ｂ），那么在（ｎ，ｂ）内至少存在一点　（ｎ＜　＜ｂ），使得厂（　）＝０．　定理２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理　如果函数　（　）是表示有向线段　值的函数，即点Ｍ的纵坐标　ｆ（ｘ）与点Ｎ的纵坐标Ｌ（ｘ）之差．　ｆ（ｘ）在闭区间［ａ　ｍｂ］上连续，在开区间（ａ　ｍｂ）内可导，那　么在（ａ　ｍｂ）内至少存在一点　（ａ＜　＜ｂ），使得八ｂ）一　八ａ）＝厂（　）（ｂ—ａ）成立．　定理３柯西（Ｃａｕｃｈｙ）中值定理如果函数ｆ（ｘ）与　Ｆ（ｘ）在闭区间［ａ　ｍｂ］上连续，在开区间（ｎ，ｂ）内可导，且　Ｆ　（　）在（ｎ，ｂ）内每一点均不为零，那么在（ａ，ｂ）内至少　存在一点　（ａ＜　＜ｂ），使得　Ｆ（ｂ）一成立．　Ｆ（ｎ）　Ｆ　（　）　～　：　图１　１．２证明中建立辅助函数的方法　（２）过原点作与直线ＡＢ平行的直线０ｃ，其方程为　Ｌ　（　）＝　微分中值定理的证明，一般是在罗尔定理的基础上引　入辅助函数来完成，因此，根据问题分析所需要的辅助函　数，是解决问题的关键．下面是“构造”证明拉格朗日中值　定理辅助函数的几种方法．　令　（　）：八　）一　＿二　０一ａ　是表示有向线段Ｐ　值的　函数，即点Ｍ的纵坐标ｆ（ｘ）与点Ｐ的纵坐标Ｌ，（　）之差．　以上两种方法得到的　（　）在［ｎ，ｂ］上均满足罗尔定　１．２．２面积法　１．２．１几何法　　借助几何的直观性，寻找满足罗尔定理的辅助函数，是　理的条件．作为辅助函数很容易证得拉格朗日中值定理．《高等数学》教材中常用的方法，如图１所示．　（１）直线　的方程为　［收稿日期］２００６—１２—２５　在曲线弧　上任取一点Ｍ（ｘ　）），连结　、　、　［作者简介］霍凤芹（１９５４一），女．河北隆尧县人，毕业于河北师范大学数学系，高级讲师，主要从事基础数学的教学与研究　Ｅ—ｍａｉｌ：ｔｆｑ５２１８８＠１６３．ｃｏｒｎ　·９６·　维普资讯 http://www.cqvip.com

霍凤芹，陶金瑞：微分中值定理的证明和推广　ＭＢ（图２），则ＡＭＡＢ的面积为　即＿厂（ｎ）一ｋＦ（ｎ）＝　ｂ）一ｋＦ（ｂ）．　　』１　）１』　ｂ　不难发现，可以取　（　）＝ｆ（ｘ）一ｋＦ（ｘ）作为辅助函　数，它在［ａ，ｂ］上均满足罗尔定理的条件，故有　（　）＝　厂（　）一ｋＦ　（　），　∈（ｎ，６），又Ｆ　（　）≠０，所以　＝　　Ｉｎ＿厂（ｎ）　１　Ｉ　当点　与点　或　重合时，即　＝ｎ或　＝ｂ时，　０，因此　　』）１』　）１Ｉ　在［ｎ，ｂ］上均满足罗尔定理的条件，可以作为所需要的辅　助函数．　图２　１．２．３推理法　显然，直线　的斜率为　：　ｂ—ｎ　则有＿厂（ｂ）－ｆ（ｎ）＝ｋｂ—ｋａ，即　ｂ）一ｋｂ＝　ｎ）一ｋａ．　不难发现，（ｐ（　）＝ｆ（ｘ）一ｋｘ在［ｎ，ｂ］上均满足罗尔　定理的条件，其中　：　二　．因此　（　）：　）一　可以作为所需要的辅助函数．　１．３柯西定理的证明　柯西定理是拉格朗日中值定理的推广，因而，只需将上　述方法推而广之，即可证得柯西定理．　令　＝　，由已知，对Ｖ　ｅ（ｎ，６），，　（　）≠　０，可推得，（６）一　（ｎ）≠０（根据罗尔定理可证得）．此时有　ｂ）一　ｎ）＝ｋ［Ｆ（ｂ）一Ｆ（ｎ）］　器＝　即　２二　一　Ｆ（ｂ）一Ｆ（ｎ）　Ｆ　（　）。　２微分中值定理的推广　微分中值定理还可以推广到更一般的情形．　定理４　如果函数　（Ｘ）　（Ｘ），…　（Ｘ）在闭区间　［ｎ，ｂ］上连续，在开区间（ｏ，ｂ）内可导，则对于任意给定的　一组实数ｋｌ，ｋ２，…，ｋ　且ｋ。＋ｋ２＋…＋ｋ　＝０，必存在　∈　（ｎ，ｂ），使得　厂　（　）厂２　　Ｉ。ｂ＋　２厂ｚ（　）　Ｉ　Ｌ』　＋…＋　（　）　一－ｌ　＝０　其中　ｌ　ｂ＝　（ｂ）一　（ｎ），ｉ＝１，２，…，ｎ．　特别地，当　ｌ　ｌ　６．．　』　≠０时，上式可写成　·＋　＝。　证明：令　（　）＝　ｘ　。Ｌ　ｌ：＋　（　）　ｌ　。　ｌ　＋　…＋　（　）　。　一－ｌ：　显然　（　）在［ｎ，ｂ］上均满足罗尔定理的条件，由罗　尔定理即可证得结论成立．在定理４中，当ｎ＝２，ｋ。＝１，　ｋ：＝一１时，即为柯西定理．　参考文献：　［１］同济大学．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９６．　［２］刘玉莲，傅沛仁．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，　１９８１．　［３］岑泳霆．微分中值定理证明中辅助函数的探讨［Ｊ］．数学通　报，１９８４，（７）．　·９７·