中值定理证明题

中值定理证明题(总3页)

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中值定理证明题

1. 设f(x)在[0，2a]上连续，f(0)f(2a)，证明在[0,a]上存在使得 f(a)f().

【分析】f(x)在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到

f(a)f()f(a)f()0f(ax)f(x)0

【证明】令G(x)f(ax)f(x)，x[0,a]．G(x)在[0,a]上连续，且 G(a)f(2a)f(a)f(0)f(a)

G(0)f(a)f(0)

当f(a)f(0)时，取0，即有f(a)f()；

当f(a)f(0)时，G(0)G(a)0，由根的存在性定理知存在(0,a)使得，

G()0，即f(a)f()．

12t0tsin2. 试问如下推论过程是否正确。对函数f(t)在[0,x]上应用tt00拉格朗日中值定理得：

f(x)f(0)x0x2sin10111xxsinf()2sincos (0x)

x0x

即：cos12sin1xsin (0x) x10

1 因0x，故当x0时，0，由lim2sin0x0limxsin10 x 得：limcosx010，即limcos010

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解：我们已经知道，limcos010不存在，故以上推理过程错误。

首先应注意：上面应用拉格朗日中值的是个中值点，是由f和区间

[0,x]的

端点而定的，具体地说，与x有关系，是依赖于x的，当x0时，不

cos一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使limx010成 立，而limcos010中要求是连续地趋于零。故由limcosx010推不出

0limcos10

3.设f(x)在[a,b]上可微，且f(a)0,f(b)0,f(a)f(b)A,试证明f/(x)在

(a,b)内至少有两个零点。

知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在

[a,b]上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。

证明：∵f(a)limf(x)f(a)0，由极限的保号性知，

xaxab-af(x)f(a)0， ），对于x(a,δ1)，均有(a,δ1)（不妨设δ12xa特别地，x1(a,δ1)，使得

f(x1)f(a)0，∴得f(x1)f(a)A；

x1af(x2)f(b)b-a），使得0， 2x2b同理，由f(b)0,得x2(b,δ2)（δ2从而得f(x2)f(b)A；

又∵f(x)在[x1,x2]上连续，∴由介值定理知，至少有一点ξ(x1,x2)使得

f(ξ)A；

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∵f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上连续，在(a,ξ)、(ξ,b)内可导，且

f(a)f(ξ)f(b)A，

∴由罗尔中值定理知，至少有一点ξ1(a,ξ)、ξ2(ξ,b)，使得

f(ξ1)f(ξ2)0，结论成立。

4.设函数yf(x)在x0的某个邻域内具有n阶导数，且

f(0)f(0)f(n1)(0)0,试用柯西中值定理证明：

f(x)f(n)(θx)(0θ1)。 nn!x知识点：柯西中值定理。

思路：对f(x)、g(x)xn在[0,x]上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。 证明：∵f(x)、g(x)xn及其各阶导数在[0,x]上连续，在(0,x)上可导， 且在(0,x)每一点处，g(n1)(x)n!x0，又f(0)f(0)∴连续使用n次柯西中值定理得，

f(n1)(0)0,，

f(x)f(x)f(0)f(1)f(ξ1)f(0)nnn1n1xxg(0)n1nξ1g(0)f(n)(θx)(0θ1)，从而结论成立。

n!f(n1)(ξn1)f(n1)(0) (n1)n!ξn1g(0)

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