2020高考物理二轮复习题型归纳与训练专题六 万有引力与航天(含解析)

专题六 万有引力与航天

题型一 开普勒三定律的理解和应用

【例1】(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为

( )

A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1 【答案】 C

MmT24π2T2r34π2PP

【解析】 由G2＝mr2知，3＝，则两卫星2＝3.因为rPⅢrQ＝4Ⅲ1，故TPⅢTQ＝

rTrGMTQrQ8Ⅲ1.

题型二 万有引力定律的理解

【例2】近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T、引力常量为G.下列说法正确的是( )

R3，则该星体会解体 Gm

R3，则该星体会解体 Gm

A．如果该星体的自转周期T<2π

B．如果该星体的自转周期T>2π

Gm R

C．该星体表面的引力加速度为

D．如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为 【答案】 AD

Gm R

【解析】 如果在该星体“赤道”表面有一物体，质量为m′，当它受到的万有引力大于跟随mm′4π2

星体自转所需的向心力时，即G2>m′R2时，有T>2πRT不会解体，而当该星体的自转周期T<2πR3，此时，星体处于稳定状态Gm

R3时，星体会解体，故选项A正确，B错误；Gm

mm′m

在该星体表面，有G2＝m′g′，所以g′＝G2，故选项C错误；如果有质量为m″的卫星

RRmm″v2

靠近该星体表面做匀速圆周运动，有G2＝m″，解得v＝

RR题型三 天体质量和密度的估算

【例3】为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆 周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万 有引力常量为G，则下列计算不正确的是

( )

Gm

，故选项D正确． R

vTv3T

A．彗星的半径为 B．彗星的质量为

2π4πG

3π2π

C．彗星的密度为2 D．卫星B的运行角速度为 GTTn3【答案】 ACD

【解析】 由题意可知，卫星A绕彗星表面做匀速圆周运动，则彗星的半径满足：R＝

vT

，2π

Mmv2v3TMM3π

故A正确；根据G2＝m，解得M＝，故B错误；彗星的密度为ρ＝＝＝2，

RV43GTR2πG

πR3MmGMm4π22π2故C正确；根据G2＝mωr，2＝mR2，r＝nR，则卫星B的运行角速度为，rRTTn3故D正确．

题型四 卫星运动及变轨问题

【例11】(2019·陕西省宝鸡市质检二)如图所示，质量为m的人造地球卫星与地心的距离为GMm

r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量，该卫星原来在

r半径为R1的轨道∶上绕地球做匀速圆周运动，经过椭圆轨道∶的变轨过程进入半径为R3的圆形轨道∶继续绕地球运动，其中P点为∶轨道与∶轨道的切点，Q点为∶轨道与∶轨道的切点，下列判断正确的是( )

Mm

A．卫星在轨道∶上的动能为G 2R1

Mm

B．卫星在轨道∶上的机械能等于－G

2R3

C．卫星在∶轨道经过Q点时的加速度小于在∶轨道上经过Q点时的加速度 D．卫星在∶轨道上经过P点时的速率大于在∶轨道上经过P点时的速率 【答案】 AB

Mmv12

【解析】 在轨道Ⅲ上，有：G2＝m，解得：v1＝R1R1Mmv32

故A正确；在轨道Ⅲ上，有：G2＝m，解得：v3＝

R3R3引力势能为Ep＝－

GMGMm1

，则动能为Ek1＝mv12＝，R122R1GMGMm1，则动能为Ek3＝mv32＝，R322R3

GMmGMmMm

，则机械能为E＝Ek3＋Ep＝－，故B正确；由G2＝ma得：R32R3RQ

GM

a＝2，两个轨道上Q点到地心的距离不变，故向心加速度的大小不变，故C错误；卫星

RQ要从Ⅲ轨道变到Ⅲ轨道上，经过P点时必须点火加速，即卫星在Ⅲ轨道上经过P点时的速率小于在Ⅲ轨道上经过P点时的速率，故D错误． 题型五 双星模型

【例5】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的 过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星

( )

A．质量之积 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 【答案】 BC

【解析】 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示．

每秒转动12圈，角速度已知，

中子星运动时，由万有引力提供向心力得 Gm1m2＝m1ω2r1Ⅲ l2Gm1m2

＝m2ω2r2Ⅲ l2l＝r1＋r2Ⅲ

G（m1＋m2）ω2l3

2

由ⅢⅢⅢ式得＝ωl，所以m1＋m2＝，

Gl2质量之和可以估算．

由线速度与角速度的关系v＝ωr得 v1＝ωr1Ⅲ v2＝ωr2Ⅲ

由ⅢⅢⅢ式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算． 质量之积和各自自转的角速度无法求解．

【强化训练】

1．假设有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( ) 1

A. B．4倍 4

【答案】 D

gR2G3g地GMmgR2M3g3g

【解析】 由2＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，ρ＝ρ地，即＝，

RGV434πGR4πGR4πGR地

πR3MgR2G

得R＝4R地，故＝·＝。选项D正确。

M地Gg地R2地

2．火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N圈用时t，已知地球质量为M，地球半径为R，

C．16倍 D．倍

火星半径为r，地球表面重力加速度为g。则( ) 2πNR

A．火星探测器匀速飞行的速度约为 t4π2N2r

B．火星探测器匀速飞行的向心加速度约为2

t4πN2r3

C．火星探测器的质量为22

gRt3πMN2

D．火星的平均密度为 gR2t【答案】 B

M火m探2πNr

【解析】 火星探测器匀速飞行的速度约为v＝，A错误；火星探测器匀速飞行，G2trm探v2M火GM4π2N2r3M

＝，对于地球，g＝2，两式结合，得到M火＝22，火星的平均密度为ρ＝＝

rRtgRV3πMN2

，故D错误；火星探测器的质量不可能计算出来，故C错误。 gR2t2

3.2018年12月8日凌晨，我国在西昌卫星发射中心利用长征三号乙改进型运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，对月球背面南极艾特肯盆地开展着陆巡视探测，实现了人类首次月球背面软着陆和巡视勘察．假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(小于绕行周期)，运动的弧长为s，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，则( )

θπtA．探测器的轨道半径为 B．探测器的环绕周期为 tθs33θ2

C．月球的质量为2 D．月球的密度为 Gtθ4Gt【答案】：C

sθ

【解析】：利用s＝θr，可得轨道半径r＝，选项A错误；由题意可知，角速度ω＝，故探θt2π2π2πtmMv2

测器的环绕周期T＝＝＝，选项B错误；根据万有引力提供向心力可知，G2＝m，

ωθθrr

ts2s·

sv2rtθs3

再结合v＝可以求出M＝＝＝2，选项C正确；由于不知月球的半径，所以无法

tGGGtθ求出月球的密度，选项D错误．

4．如图所示，一颗地球同步卫星先沿椭圆轨道1飞行，后在远地点P处点火加速，由椭圆轨道1变轨到地球同步圆轨道2。下列说法正确的是( )

A．卫星在轨道2运行时的速度大于7.9 km/s

B．卫星沿轨道2运动的过程中，卫星中的仪器处于失重状态 C．卫星沿轨道2运动的过程中，有可能经过北京的正上空 D．卫星经过轨道1上的P点和轨道2上的P点的加速度大小相等 【答案】 BD

【解析】 同步卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，同步卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，故A错误；卫星绕地球做匀速圆周运动时所受万有引力提供向心力，处GMm于完全失重状态，故B正确；地球同步卫星只能在赤道的正上空，故C错误；根据2＝

rGM

ma，得a＝2，卫星在轨道1上的P点和轨道2上的P点的轨道半径相等，故加速度相等，

rD正确。

6．(2019·聊城模拟)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙

围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则( )

5GM25GM2A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为

4R24R2C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同

【答案】：AD

GM2GM25GM2【解析】：甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F甲＝2＋＝，

R（2R）24R2选项A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为零，选项B错误；由于甲、丙位于同一轨道上，甲、丙的角速度相同，由v＝ωR可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项C错误，D正确．

7(多选)(2019·大庆中学模拟)如图所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C

为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是

( )

A．vB＞vA＞vC B．ωA＞ωB＞ωC C．FA＞FB＞FC D．TA＝TC＞TB 【答案】 AD

GM，r

【解析】 A、C的角速度相等，由v＝ωr，可知vC＜vA，由人造卫星的速度公式：v＝可知vA＜vB，因而vB＞vA＞vC，故A正确； A、C的角速度相等，根据ω＝

GM知A的r3

GMm

，即r2

角速度小于B的角速度，故ωA＝ωC<ωB，故B错误；由万有引力公式可知，F＝

半径越大，万有引力越小，故FA＜FB＜FC，故C错误；卫星A为同步卫星，周期与C物体GMm2π

周期相等，又万有引力提供向心力，即：2＝m()2r，T＝2π

rTB的周期，故TA＝TC>TB，故D正确．

8.2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道．当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)( )

r3，所以A的周期大于GM

A．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等

B．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度 C．L3和L2到地球中心的距离相等

D．“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大 【答案】ABD

【解析】：.“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动，所以“鹊桥”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等，又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期，故选项A正确；“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球绕地球做圆周运动的周期相同，“鹊4π2

桥”的轨道半径大，根据公式a＝2r分析可知，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球

T绕地球运动的向心加速度，故选项B正确；如果L3和L2到地球中心的距离相等，则“鹊桥”在L2点受到月球与地球引力的合力更大，加速度更大，所以周期更短，故L2到地球中心的距离大于L3到地球中心的距离，选项C错误；在5个点中，L2点离地球最远，所以在L2点“鹊桥”所受合力最大，故选项D正确．

9.(2019·江苏省四星级中学高三上学期一调联考)2017年9月，我国控制“天舟一号”飞船离轨，使它进入大气层烧毁，残骸坠入南太平洋一处号称“航天器坟场”的远离的深海区。在受控坠落前，“天舟一号”在距离地面380 km的圆轨道上飞行，则下列说法中正确的是( ) A．在轨运行时，“天舟一号”的线速度大于第一宇宙速度 B．在轨运行时，“天舟一号”的角速度小于同步卫星的角速度 C．受控坠落时，应通过“反推”实现制动离轨

D．“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行速度不断增大 【答案】 CD

Mmv2

【解析】 依据万有引力提供向心力，则有：G2＝m，因“天舟一号”的轨道半径大于地

rrMm

球半径，则在轨运行时，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，A错误；同理，G2＝mω2r，

r因“天舟一号”的轨道半径小于同步卫星的半径，则在轨运行时，“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，B错误；在受控坠落时，应通过“反推”使其速率减小，则所需要的向心力减小，万有引力大于所需向心力，则做近心运动，从而实现制动离轨，C正确；“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，因只有引力做功，机械能守恒，故减小的势能转化为增加的动能，其运行速度不断增大，D正确。

10．(2019·河北省唐山市上学期期末)登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )

A．飞船在轨道上运动时，运行的周期T∶> T∶> T∶ B．飞船在轨道∶上的机械能大于在轨道∶上的机械能

C．飞船在P点从轨道∶变轨到轨道∶，需要在P点朝速度方向喷气

D．若轨道∶贴近火星表面，已知飞船在轨道∶上运动的角速度，可以推知火星的密度 【答案】 ACD

a3【解析】 根据开普勒第三定律2＝k可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期T∶> T∶> T∶，

T选项A正确；飞船在P点从轨道∶变轨到轨道∶，需要在P点朝速度方向喷气，从而使飞船减速到达轨道∶，则在轨道∶上机械能小于在轨道∶的机械能，选项B错误，C正确；根据Mm433ω2

2

G2＝mωR以及M＝πRρ，解得ρ＝，即若轨道∶贴近火星表面，已知飞船在轨道∶R34πG上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确．

11．(2019·湖北武汉调研)如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( )

A．3 h B．8 h C．15 h D．20 h 【答案】：A

【解析】：根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1.地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三R13T12

定律，3＝2，解得T1＝3 h，选项A正确．

R2T2

12．北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，下列说法正确的是( )

A．5颗同步卫星的轨道半径都相同

B．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内

C．导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度 D．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的卫星，周期越小 【答案】 AB

【解析】 所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，选项A、Mmv2

B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，有G2＝m，v＝

rr

GM，故随着卫星运行轨道半r

径的增大，运行速度减小，在地球表面附近运行的卫星的速度最大，等于第一宇宙速度，导Mm4π24π2r3

2

航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，选项C错误；由G2＝m2r得T＝，

rTGM则轨道半径越大，周期越大，选项D错误。

13．某物理兴趣小组通过查资料得到以下量的具体数据(用字母表示)：地球半径R，地球质量m，日地中心距离r，地球的近地卫星绕地球运行的周期T1，地球的同步卫星绕地球运行的周期T0，地球绕太阳运行的周期T。由此可知( )

r3T21m

A．太阳质量为32 RTR3T2m

B．太阳质量为32

rT0

3T20

C．地球同步卫星离地面的高度为(－1)R

T21

3T21

D．地球同步卫星离地面的高度为(－1)R

T20【答案】 AC

Mm4π2mm′

【解析】 设太阳质量为M，由万有引力提供向心力有G2＝m2r，在地球表面有G2

rTR4π2r3T2R3（R＋h）31m

＝m′2R，得M＝32，A正确，B错误；由开普勒第三定律有2＝，可得地球T1RTT1T203T20

同步卫星离地面的高度为h＝(－1)R，C正确，D错误。

T21

14．(多选)如图所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射.卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km、周期为118 min的工作轨道∶，开始对月球进行探测，下列说法正确的是( )

A.卫星在轨道∶的运行速度比月球的第一宇宙速度小

B.卫星在轨道∶上经过P点的加速度比在轨道∶上经过P点的加速度大 C.卫星在轨道∶上的运行周期比在轨道∶上的长

D.卫星在轨道∶上经过P点的速度比在轨道∶上经过P点的速度大 【答案】 AD

Mmv2

【解析】 卫星在轨道∶上的半径大于月球半径，根据G2＝m，得v＝

rrGM，可知卫r

星在轨道∶上的运行速度比月球的第一宇宙速度小，A正确.卫星在轨道∶上和在轨道∶上经过P点时所受万有引力相等，所以加速度也相等，B错误.轨道∶的半径比轨道∶的半长轴小，根据开普勒第三定律，卫星在轨道∶上的运行周期比在轨道∶上的短，C错误.卫星从轨道∶经多次变轨进入轨道∶，在P点需依次减速，D正确.

15.(2019·安徽师大附中期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于202年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比 行星 地球 火星 半径/m 6.4×106 3.4×106 质量/kg 6.0×1024 6.4×1023 ( )

公转轨道半径/m 1.5×1011 2.3×1011 A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍 B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍 C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍 D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍 【答案】：AC

v火GM(M指中心天体火星或地球的质量)得＝Rv地

【解析】：根据第一宇宙速度公式v＝

M火R地GM

＝0.45，故A正确，B错误；根据向心加速度公式a＝2(M指中心天体太阳的质

rM地R火

a火r2地1.52

量)得＝2＝2＝0.43，故C正确，D错误．

a地r火2.3

16.(2019·江西重点中考)小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )

A．10π

5R－6π g5R－2π g

3R gR g

B．6π

3R－4π g3R－2π g

2R gR g

C．10π 【答案】B

D．6π

【解析】：.当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时，应用牛顿第GMm4π2r

二定律有2＝m2，r＝3R，则有T＝2π

rT

r3＝6π GM

3R3.在月球表面的物体所受重GM

力近似等于万有引力，可得GM＝gR2，所以T＝6π

3R ∶，登月器在椭圆轨道上运行的g

周期用T1表示，航天站在圆轨道上运行的周期用T2表示，对登月器和航天站依据开普勒第

2

T2T2T21

三定律有＝＝ ∶，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天

（3R）3（2R）3（3R）3

站实现对接，登月器可以在月球表面停留的时间t应满足t＝nT2－T1(其中n＝1、2、3、…) ∶，联立∶∶∶式得t＝6πn

3R－4πg

2R(其中n＝1、2、3、…)，当n＝1时，登月器可以g3R－4π g

2R. g

在月球上停留的时间最短，即tmin＝6π