浙教版九年级上册第一章二次函数综合分类练习

【知识梳理1：二次函数的性质】

1. 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有以下性质： 条件 a 图像 增减性 最值 b24ac＞0 b24ac＝0 b24ac＜0 对称轴为 a＞0 a＜0 2. 二次函数yaxbxc（a≠0）的图像与x轴的交点个数由 的符号决定：

（1）当b2-4ac＞0时，其图像与x轴有 个交点； （2）当b2-4ac= 0时，其图像与x轴有 个交点； （3）当b2-4ac＜0时，其图像与x轴有 个交点。 3. 二次函数的三种表达式： （1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0）

（2）顶点式： （3）交点式：

【知识梳理2：二次函数的性质与其特征参数的综合应用】 二次函数的图像特征与a，b，c的关系 （1）开口方向与大小——a （2）对称轴x2b与a，b的关系（简记口诀“左同右异”） 2a（3）c为二次函数图象与y轴交点的纵坐标

（4）b24ac的符号与抛物线与x轴交点的个数的关系

（5）a+b+c对应二次函数x=1时的函数值；a-b+c对应二次函数x=-1时的函数值

【考点1 二次函数的概念】

【例1】 下列函数关系式中，y是x的二次函数是( ) A．yax2bxc B．yx21 C．y3x22x5 D．y(3x2)(4x3)12x2 x1x．其中，二次函x2【变式1】 已知函数：①yax2；②y3(x1)22；③y(x3)22x2；④y数的个数为( ) A．1个

B．2个

|m|C．3个 D．4个

【变式2】 已知函数y(m2)xA ．m2

mx1，其图象是抛物线， 则m的取值是( )

C ．m2

D ．m0

B ．m2

2【变式3】若y(m2)xmA．2

23x2是二次函数，则m等于( )

B．2 C．2 D．不能确定

【考点2 二次函数图象的平移】

【例2】抛物线y2x2经过平移得到y2(x1)23，平移方法是( )

A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

【变式1】在平面直角坐标系中，如果抛物线y2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为( ) A．y2(x2)22 B．y2(x2)22

C．y2(x2)22 D．y2(x2)22

【变式2】将二次函数yx2bxc的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数yx22x1的图象，用b，c的值分别是( ) A．b14，c8

B．b2，c4

C．b8，c14 D．b4，c2

【考点3 二次函数与一次函数图象】

【例3】 在同一直角坐标系中yax2b与yaxb(a0,b0)图象大致为( )

A． B． C． D．

【变式1】 在同一平面直角坐标系中，函数yax2bx与ybxa的图象可能是（ ）

A．

B． C． D．

【变式2】 在同一直角坐标系中，一次函数yaxc和二次函数ya(xc)2的图象大致为( )

A． B． C． D．

【变式3】 如图，一次函数yx与二次函数yax2bxc图象相交于A、B两点，则函数

yax2(b1)xc的图象可能是( )

A．

【考点3 二次函数的增减性】

B． C． D．

2【例3】设A(2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y(x1)k上的三点，则y1，y2，y3的大小关

系为( ) A．y1y2y3

B．y1y3y2

C．y2y3y1

D．y3y1y2

【变式1】 已知二次函数yx27x15，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0x1x2x3，则对2应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( ) A ．y1y2y3

B ．y1y2y3

C ．y2y3y1

D ．y2y3y1

【变式2】 已知抛物线yax2bxc(a0)过A(3,0)，B(1,0)，C(5,y1)，D(2,y2)四点，则y1与y2的大小关系是( ) A．y1y2

B．y1y2

C．y1y2

D．不能确定

【变式3】 已知二次函数yax2bxc中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x   0 5 1 2 2 1 3 2   y 点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当0x11，2x23时，y1与y2的大小关系正确的是(

) A．y1≥y2

B．y1＞y2

C．y1＜y2

D．y1≤y2

【考点5 二次函数的图象与a，b，c的关系】

【例5】 已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①abc0；②bac0；③4ac2b；④3ac0；⑤abm(amb)(m1的实数），其中正确的结论有( )

A．①②③

B．②③④

2

C．②③⑤ D．③④⑤

2

【变式1】 二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）＜b；其中正确结论的个数有（ ）个．

2

2

A．1个

B．2个

C．3个

D．4

【变式2】 已知二次函数yax2bxc(a0)，过(1，y1)(2，y2)． ①若y10时，则abc0 ②若ab时，则y1y2

③若y10，y20，且ab0，则a0

④若b2a1，ca3，且y10，则抛物线的顶点一定在第三象限 上述四个判断正确的有( )个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式3】 二次函数yax2bxc的部分图象如图所示，有以下结论：①3ab0；②b24ac0；③5a2bc0；④4b3c0，其中错误结论的个数是( )

A．1

B．2

C．3

D．4

【考点6 二次函数与一元二次方程之间的关系】

【例6】 函数yax2bxc的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax2bxc20的根的情况是(

)

A．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根

B．有两个异号的实数根 D．没有实数根

【变式1】 如图，抛物线yx2mx的对称轴为直线x2，若关于x的一元二次方程

x2mxt0(t为实数）在1x3的范围内有解，则t的取值范围是( )

A．﹣5＜t≤4

B．3＜t≤4

C．﹣5＜t＜3

D．t＞﹣5

【变式2】 函数yx2x1中x与y的对应关系如下表所示，方程x2x10两实数根中有一个正根x1，下列对x1的估值正确的是( )

x   0.5 0.25 0.55 0.1475 0.6 0.04 0.65 0.0725 0.7 0.19 0.75  y 0.3125  D．0.65x10.7

A．0.5x10.55 B．0.55x10.6 C．0.6x10.65

【考点7 二次函数解析式】

【例7】经过A(4,0)，B(2,0)，C(0,3)三点的抛物线解析式是 ． 【变式1】若二次函数yax2bxc的x与y的部分对应值如下表：

x 7 6 5 4 3 3 2 3 y 27 13 3 5 则二次函数的解析式为 ． 【变式2】 二次函数在x31时，有最小值，且函数的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式为 ． 24【变式3】 抛物线yax2bxc与x轴两个交点为(1,0)，(3,0)，其形状与抛物线y2x2相同，则抛物线解析式为 ．

【考点8 二次函数的应用—面积问题】

【例8】如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm． （1）用含x的代数式表示矩形的长BC；

（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围； （3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？

【变式1】为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为

xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？

【考点8 二次函数的应用—销售问题】

【例8】（2018秋•鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y20x800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

【变式8-1】（2019春•宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．

（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？

（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？

【变式8-2】（2019春•安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1（元)与x(m2)的函数关系

x1000)． 图象如图所示，栽花所需费用y2（元)与x(m2)的函数关系式为y20.01x220x30000(0剟（1）求y1（元)与x(m2)的函数关系式；

（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元)，请利用W与x的函数关系式，求绿化总费用W的最大值．

【变式8-3】（2019秋•沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商 品在未来40天内的日销售量m（件)与时间t（天)的关系如下表： 时间t（天) 日销售量m（件) 未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．

下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件)与t（天)之间的表达式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 【考点9 二次函数的应用—面积问题】

【例9】（2018秋•开封期中）如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm．

（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；

（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围； （3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？

1 94 3 90 5 86 10 76 36 24  

【变式9-1】（2018秋•洛阳期中）为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一

边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？

2

【变式9-2】（2018秋•洪山区期中）如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．

（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；

（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为 米． （3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．

【变式9-3】（2018秋•鼓楼区期中）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)． （1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围； （2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？

【考点10 二次函数的应用—抛物线问题】

【例10】（2019秋•南海区校级期中）如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离

点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

17【变式10-1】（2019秋•台安县期中）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线yx2运行，然后准确落入

52篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m． （1）求球在空中运行的最大高度为多少m？

（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？

【变式10-2】甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式ya(x4)h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m． （1）当a21时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网． 2412m的Q处时，乙扣球5（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为成功，求a的值．

【变式10-3】（2019秋•萧山区期中）小明跳起投篮，球出手时离地面

20m，球出手后在空中沿抛物线路9径运动，并在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求此抛物线对应的函数关系式；

（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？

（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？

【考点11 二次函数与图形面积的综合】

【例11】如图，抛物线ya(x1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OBOA． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点C(3,b)在该抛物线上，求SABC的值．

【变式11-1】（2019•新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为(1,3)，并经过点C(2,0)． （1）求该二次函数的解析式；

（2）直线y3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和AOB的面积；

【变式11-2】（2019春•利津县期中）如图，抛物线yx2x2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PBPC的值最小时的点P的坐标； （3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．

【变式11-3】如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)． （1）求a，b的值；

（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

【考点12 与二次函数有关的存在性问题】

【例12】已知抛物线yx2bxc(c0)过点C(1,0)，且与直线y72x只有一个交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线yx3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

【变式12-1】（2019•齐齐哈尔一模）如图， 过点A(1,0)、B(3,0)的抛物线yxbxc与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E． （1） 求抛物线解析式； （2） 求抛物线顶点D的坐标；

（3） 若抛物线的对称轴上存在点P使SPCB3SPOC，求此时DP的长 ．

2

【变式12-2】如图， 已知抛物线yxmx3与x轴交于点A、B两点， 与y轴交于C点， 点B的坐标为(3,0)，抛物线与直线y（1） 求m的值 ．

（2） 抛物线上有一点P，满足SABP4SABD，求点P的坐标 ．

23x3交于C、D两点 ． 连接BD、AD． 2

【变式12-3】（2018•绥阳县模拟）如图，已知抛物线yx2bxc的图象经过点A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD． （1）求抛物线的解析式．

（2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．

（3）直线BD上有一点P，使得PEPC时，过P作PFx轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．