一次方程

课 题 第三章：一元一次方程 课型 复习课 教学目标 知识要求： 1、能根据具体问题的数量关系，列出方程、建立模型、解方程和运用方程来解决实际问题。 2、了解一元一次方程及其有关概念，会解一元一次方程（数字系数）。 3、能一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力。 掌握等式的基本性质、方程的概念、会解一元一次方程及应用一元一次方程来解应用题。 灵活运用求解一元一次方程的步骤，应用一元一次方程来解应用题。 解方程和运用方程解应用题是考试的重点内容。 教学过程 二次备课 教学重点 教学难点 考 点 一、方程的有关概念 1、方程的概念 （1）含有未知数的等式叫方程。 （2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。且一元一次方程的一般形式为：axb0(a0) 概念剖析：①方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知数的等式叫方程； ②等式：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式； ③一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数是1；知数的系数不为0； 例1、下列式子是方程的是（ ） A、3x5y9 B、117y0 C、1 D、x9x35102 例2、下列方程是一元一次方程的是( ) A、x2y9 B、x3x1 C、例3、已知方程mxnx3b12111 D、x13x x220是关于x的一元一次方程， 求m、n、b的值； 2、等式的基本性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。若ab，则acbc或acbc。 （2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。若ab，则acbc或ab； cc（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若ab，则ba； （4）传递性：如果ab，且bc，那么ac，这一性质叫等量代换。 - 1 - 例4、用适当的数或式子填空 ①如果2x35，那么2x5____________； 2x6，那么x____________； 3③如果a33b12，那么___________________3b； 11④如果a，那么2a___________________； b2②如果二、解方程 1、解方程及解方程的解的含义 求得方程的解的过程，叫做解方程。使方程的左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 1例5、方程4x的解为____________________； 2例6、如果x1是方程m(x1)4(xm)的解，则m _________________； 例7、程2xa4(x1)的解为x3，则a的值为（ ） 2A、2 B、22 C、10 D、—2 b__________；例8若(a3)2与b1互为相反数，则a_____________， 2、移项的有关概念 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形的过程叫做移项。这个法则是根据等式的性质推出来的，是解方程的依据。要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边。 知识概括：①移项不仅仅是位置变化，而是将方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边； ②移项必变号，“+”变“—”，“—”变“+”；“×” 变“÷”，“÷”变“×”；即移加变减，移乘变除，移减变加，移除变乘； 3、解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的步骤 1、去分母 主要依据 注意问题 注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一等式的性质2 某一项，分母是小数的，要先利用分数的整数，若分子是代数式，则必加括号。 2、去括号 去括号法则、乘法分配律 严格执行去括号的法则，若是数乘乘括号内的项，减号后去括号，括一定要变号。 3、移项 越过“=”的叫移项，属移项者必变不变号，注意不遗漏,移项时把含未等式的性质1 边，已知数移在右边，书写时，先把移动过来的项改变符号写在后面合并同类项法则 注意在合并时，仅将系数加到了一指数均不改变。 - 2 -

4、合并同类项 5、系数化为1 6、检验 等式的性质2 两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒。 知识窗口：①解相同的方程称为同解方程； ②方程两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原理1）；方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原理2）； 例9、解程2x15x10.5 68 解：根据（ ）得：4(2x1)3(5x1)12 （ ）得：8x415x312 根据（ ）得：8x151243 （ ）得：7x19 根据（ ）得：x25 7请选择正确的答案填如上面的括号内 A、去括号 B、合并同类项 C、方程同解原理1 D、方程同解原理2 例10、各方程 y1y2x0.20.3x41 ③ ②260.71.42269(x) 3311④(x1)1(x2) 25①y二、列方程初步（列代数式） 1、列代数式 （1）在解决一些实际问题时，往往需要先把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子写出来，这就是列代数式。 （2）列代数式的实质也就是把文字语言转化成数学符号语言，即用代数式表示。 （3）正确列代数式的关键是：①认真审题，理清数量关系，抓住关键性的词语（字句）；②正确判断各数量关系中的运算顺序；③要理解并掌握基本的数量关系。如： 路程问题：路程=时间×速度 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 平均速度=总路程÷总时间 轮船航行问题：顺水航行的速度=静水速度+水流速度，逆水航行的速度=静水速度—水流速度 工程问题：工作量=工作时间×工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 - 3 -

数量=总价÷单价 利润问题：利润=售价—成本 售价=利润+成本 成本=售价—利润 数字问题：表示数字的方法： 1a个10a十100a百1000a千10000a万（其中a个、。 a十、a百、a千、a万表示个位、十位、百位、千位万位的数字）面积问题：记住特殊图形的面积公式，非特殊图形的面积可用“面积分割补法”去计算。 例11、用代数式表示 ①甲乙两数和的平方与甲乙两数的平方的差的积； ②n除m的商与c的差的2倍大1的数； 例12、设n表示任意一个整数利用含有n的代数式表示： ①任意一个偶数；②任意一个奇数；③不能被3整除的数；④三个连续偶数的平方和； 例13、一项工程甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，若两队合作，完成这项工程需要多少天？ 例14、一个水池装有两条进水管，单开甲进水管，x小时可以将空池注满，单开乙进水管，y 小时可以将空池注满，则两管一起开，一小时可以注水多少？ 例15、甲乙两人行走，甲走完全程需要时间为，乙走完全程需要时间为，则两人一小时共走全程的几分之几？ 例16、一轮船在A、B两地航行，已知A、B两地相距skm，从A到B是顺水，从B到A是逆水，轮船在静水中的速度为每小时mkm，水流的速度为每小时nkm，求轮船在A、B两地间往返一次的平均速度。 例17、轮船在A、B两地航行，静水中的速度为每小时mkm，水流的速度为每小时nkm，求轮船在A、B两地间往返一次的平均速度。 例18、张大佰从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸，以每份0.5元的价格售出了b份，剩余的以每份0.2元的价格退回了报社，则张大佰卖报收如_______元。 - 4 -

例19、某超市为了促销，常用打折的方法.某种商品的零售价为元，先后两次打折，第一次打八折，第二次打七折，两次打折后的零售价为多少元，比原价便宜多少元？ 例20、甲、乙两人从同地出发同向而行，甲每小时走m(km)，乙每小时走n(km)（mn），乙比甲先走a小时， 小时后甲可以追上乙。 例21、上等米每千克售价为x元，次等米每千克售价为y元，取上等米a千克和次等米b千克，混合后为了价格持平，则混合后的大米每千克售价应为多少元？ 例22、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价10%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为多少？ 例23、如果用a名同学在b小时内搬运c块砖，那么c名同学以同样的速度搬运a块砖需要多少时间？ 例24、—种商品每件进价为a元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利多少元？ 例25、一个四位数，它的千位数字、百位数字、十位数字和个位数字分别是，求a、b、c、d把这个四位数的顺序逆过来（如73变为3467）所得的四位数与原来的四位数的差。 例26、（1）一个偶数和一个奇数的和是奇数吗？为什么？ （2）三个连续自然数之和是三的倍数？为什么？ （3） 例27、一个两位数，当它的个位数字是十位数字的2倍时，它能被12整除吗？为什么？ 三、列方程解应用题 1、列方程解应用题的一般步骤 （1）将实际问题抽象成数学问题； （2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系； （3）设未知数，列出方程； （4）解方程； （5）检验并作答。 2、一些实际问题中的规律和等量关系 （1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7。日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围。 （2）几种常用的面积公式： 长方形面积公式：Sab，a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：- 5 -

Sa2，a为边长，S为面积； 梯形面积公式：S梯形面积； 圆形的面积公式：Sr，r为圆的半径，S为圆的面积； 三角形面积公式：S21(ab)h，a、b为上下底边长，h为梯形的高，S为21ah，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S2为三角形的面积。 （3）几种常用的周长公式： 长方形的周长：L2(ab)，a，b为长方形的长和宽，L为周长。 正方形的周长：L4a，a为正方形的边长，L为周长。 圆：L2r，r为半径，L为周长。 （4）柱体的体积等于底面积乘以高，当休积不变时，底面越大，高度就越低。所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积。 （5）打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价–成本。 （6）行程问题中关建的等量关系：路程=速度×时间，以及由此导出的其他关系。 （7）在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系。 （8）在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程。 （9）关于储蓄中的一些概念： 本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的和；期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=本金×利率×期数；本息=本金+利息。 （10）关于保险中的一个概念：保险率=保险费÷保险金额 例28、甲、乙、丙三人，甲每分钟走60m，乙每分钟走67.5m，丙每分钟走75m，如果甲、乙两人在东村，丙在西村，三人同时相向而行，丙遇到乙后2分钟又遇到了甲，求东、西两村的距离。 例29、甲、乙两轮航行于A、B两地之间，由A到B航速为每小时35km，由B到A航速为每小时25km，甲轮由A地开往B地，乙轮由B地开往A地，甲轮先行2小时，两轮在距B地120km处相遇，求A、B两地的距离和甲轮航行的时间。 例30、一架飞机飞行于两城之间，顺风飞行需要5小时30分钟，逆风飞行需要6小时，已知风速是每小时24km，求两城之间的距离。 例31、甲步行上午6时从A地出发于下午5时到达B地，乙奇自行车上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙在什么时候追上甲？ 例32、某初一学生在做作业时，不慎将墨水打翻，使一道作业搞污且只能看到如下字样：“甲、乙两地相距40km，摩托车的速度为45km/h，货车的- 6 -

速度为35km/h， ？”（涂墨部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业补充完整，并将列方程解答。 例33、某种酒精溶液里纯酒精与水的比例为1︰2，现在加进纯酒精120g后配成浓度为75%的酒精溶液，问原有酒精溶液多少克？ 例34、一条环形跑道长400m，甲练习自行车，平均每分钟行550m，乙练习赛跑，平均每分钟行250m，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 例35、甲骑自行车从A地出发，以每小时12km的速度驶向B地，经过15分钟后，乙从B地骑自行车从B地出发，以每小时14km的速度驶向A地，两人相遇时，乙已超过中点1.5km，求A、B两地的距离。 例36、A、B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72km；甲车出发25分钟后，乙车从B地从发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，两车仍然按原来的速度继续行驶，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 例37、右图是某年12月的日历表： 日 （1）用一个正方形在日历中任意框出4个 数，若这四个数字的和为76，求这4个数。 6 13 （2）若是用一个长方形在日历中任意框出20 4个数，且这四个数字的和为a，求这427 个数（用含a的式子表示）。 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 26 28 39 30 31 例38、右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 . 例39、右图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中的数据为相应两点间的路程（单位：km）， 以学生从A处出发，以2km/h的速度步行游览，每个景点的逗留时 间均为0.5小时。 （1） 当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处时， D 共用了3小时，求C—E的路程； （2） 若此学生打算从A处出发，步行速度与在每个景 点逗留的时间不变，且在4小时内看完三个景点返 回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明你 的设计理由（不考虑其他因素）。 练习题： - 7 -

1 1.6 C E 0.4 1 A B 1.2 一、填空题： 1、请写出一个一元一次方程：_____________________。 2、如果单项式2m22xyz与xy3m1z2是同类项，则m=____________。 33、如果2是方程ax4(xa)1的解，求a=_____________。 4、代数式4x5和3x16的值是互为相反数，求x=_______________。 5、如果|m|=4，那么方程x2m的解是___________________。 6、在梯形面积公式S = 1(ab)h中，已知S=10，b=2，h=4求a=_________。 27、方程(2a1)x23x14是一元一次方程，则a______________。 8、如右图是2008年12月份的日历，现用一正方形在日历中任意框出4个数 ac ，这四个数字的和为55，设a为x，则可列出方程：＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ b d 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 二、选择题： 1、三个连续的自然数的和是15，则它们的积是（ ） A、125 B、210 C、 D、120 2、下列方程中，是一元一次方程的是（ ） 2（A）x4x3; （B）x0; （C）x2y1; （D）x11. x3、方程2x（A）x1的解是（ ） 211; （B）x4; （C）x; （D）x4. 444、已知等式3a2b5，则下列等式中不一定成立的是（ ） ．．．（A）3a52b; （B）3a12b6; （C）3ac2bc5; （D）25b. 33x3x，去分母，得（ ） 5、解方程162a1x33x; （B）6x33x; （C）6x33x; （D）（A）1x33x. 6、下列方程变形中，正确的是（ ） （A）方程3x22x1，移项，得3x2x12; （B）方程3x25x1，去括号，得3x25x1; - 8 -

23t，未知数系数化为1，得x1; 32x1x1化成3x6. （D）方程0.20.5（C）方程7、重庆力帆新感觉足球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3:5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x，则列出的方程正确的是（ ） （A）3x32x; （B）3x532x; （C）5x332x; （D）6x32x. 8、珊瑚中学修建综合楼后，剩有一块长比宽多5m、周长为50m的长方形空地. 为了美化环境，学校决定将它种植成草皮，已知每平方米草皮的种植成本最低是a元，那么种植草皮至少需用（ ） （A）25a元； （B）50a元； （C）150a元； （D）250a元. 三、解方程： 1、138x2152x 2、2x75(2x) 3、 5、 6、已知多项式(2mxx3x1)(5x4y3x)是否存在m，使此多项式与x无关？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。 - 9 - 2222x32x31121 4、x[x(x1)](x1) 2230.2x0.90.030.02x1 30.03 四、应用题： 1、在日历上，小明的爷爷生日那天的上、下、左、右4天之和为80，你能说出小明的爷爷是生日是哪天吗？请说明你的理由。 2、把一段铁丝围成长方形时，发现长比宽多2cm，围成一个正方形时，边长正好为4cm，求当围成一个长方形时的长和宽各是多少？ 3、用一个底面半径为4cm，高为12cm的圆柱形杯子向一个底面半径为10cm的大圆柱形杯子倒水，倒了满满10杯水后，大杯里的水离杯口还有10cm，大杯子的高底是多少？ 4、某单位去年为全体职工投保了团体人身意外伤害保险，如果每年的保险率是0.2%，每人的保险金额都是5000元，这个单位去年向保险公司交纳了1200元的保险费，该单位去年共有职工多少人？ 教学反思： - 10 -

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