级数和序列的基本性质

第一节 级数和序列的基本性质

1、复数项级数和复数序列：

复数序列就是：z1a1ib1,z2a2ib2,...,znanibn,...在这里，zn是复数，Reznan,Imznbn,一般简单记为{zn}。按照{|zn|}是有界或无界序列，我们也称{zn}为有界或无界序列。

设z0是一个复常数。如果任给0，可以找到一个正数N，使得当n>N时

|znz0|,

那么我们说{zn}收敛或有极限z0，或者说{zn}是收敛序列，并且收敛于z0，记作

nlimznz0。

如果序列{zn}不收敛，则称{zn}发散，或者说它是发散序列。

令z0aib，其中a和b是实数。由不等式

|ana|及|bnb||znz0||ana||bnb|

容易看出，limznz0等价于下列两极限式：

nnlimana,limbnb,

n因此，有下面的注解：

注解1、序列{zn}收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列{an}收敛（于a）以及序列{bn}收敛（于b）。

注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{zn}收敛于z0，或者说有极限点z0的定义用几何语言可以叙述为：任给z0的

1

一个邻域，相应地可以找到一个正整数N，使得当n>N时，zn在这个邻域内。

注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

复数项级数就是z1z2...zn...或记为zn，或zn，其中zn是

n1复数。定义其部分和序列为：

nz1z2...zn

如果序列{n}收敛，那么我们说级数zn收敛；如果{n}的极限是，那么说zn的和是，或者说zn收敛于，记作zn，如果序列

n1{n}发散，那么我们说级数zn发散。

注解1、对于一个复数序列{zn}，我们可以作一个复数项级数如下

z1(z2z1)(z3z2)...(znzn1)...

则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。

0,N0,注解2、级数zn收敛于的N定义可以叙述为：

使得当nN时，有

|zk|。

k1n注解3、如果级数zn收敛，那么limznlim(nn1)0。

nn注解4、令anRezn,anRezn,bnImzn,aRe,bIm，我们有

2

nakibk。

k1k1nn因此，级数zn收敛（于）的必要与充分条件是：级数an收敛（于a）以及级数bn收敛（于b）。

注解5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：

柯西收敛原理（复数项级数）：级数zn收敛必要与充分条件是：任给0，可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时，

|zn1zn2...znp|

柯西收敛原理（复数序列）：序列{zn}收敛必要与充分条件是：任给

0，可以找到一个正整数N，使得当m及n>N，

|znzm|

对于复数项级数zn，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数

|z1||z2|...|zn|...

收敛，我们称级数zn绝对收敛。

注解1、级数zn绝对收敛必要与充分条件是：级数an以及bn绝对收敛：事实上，有

k122|ak|及|bk||znk|akbkk1k1k1nnnn|ak||bk|,k1k1n

注解2、若级数zn绝对收敛，则zn一定收敛。 例、当||1时，12...n...绝对收敛；并且有

1n11...,limn10。

1n2n

3

我们有，当||1时，12...n...1. 1如果复数项级数zn'及zn\"绝对收敛，并且它们的和分别为

',\"，那么级数

n1(z1znz2zn1...znz1)

'\"'\"'\"也绝对收敛，并且它的和为'\"。

2、复变函数项级数和复变函数序列：

设{fn(z)}(n1,2,...)在复平面点集E上有定义，那么：

f1(z)f2(z)...fn(z)...

是定义在点集E上的复变函数项级数，记为fn(z)，或fn(z)。设函数f(z)

n1在E上有定义，如果在E上每一点z，级数fn(z)都收敛于f(z)，那么我们说此级数在E上收敛（于f(z)），或者此级数在E上有和函数f(z)，记作

fn1n(z)f(z),

设

f1(z),f2(z),...,fn(z),...

是E上的复变函数列，记作{fn(z)}n1或{fn(z)}。设函数(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，序列{fn(z)}都收敛（于(z)），那么我们说此序列在E上收敛（于(z)），或者此序列在E上有极限函数(z)，记作

nlimfn(z)(z),

注解1、复变函数项级数fn(z)收敛于f(z)的N定义可以叙述为：

0,N0,使得当nN时,有

|fk(z)f(z)|.

k1n注解2、复变函数序列{fn(z)}收敛于(z)的N定义可以叙述为：

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0,N0,使得当nN时,有

|fn(z)(z)|.

如果任给0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数NN()，使得当nN,zE时，有

|fk(z)f(z)|或|fn(z)(z)|。

k1n那么我们说级数fn(z)或序列{fn(z)}在E上一致收敛（于f(z)或(z)）。

注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理： 柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变函数项级数fn(z)在E上一致收敛必要与充分条件是：任给0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数NN()，使得当nN,zE，p=1,2,3,…时，有

|fn1(z)fn2(z)...fnp(z)|.

柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函数序列{fn(z)}在E上一致收敛必要与充分条件是：任给0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数NN()，使得当m,nN,zE时，有

|fn(z)fm(z)|.

注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设{fn(z)}(n1,2,...)在复平面点集E上有定义，并且设

a1a2...an...|fn(z)|an (n1,2,...),

是一个收敛的正项级数。设在E上，

那么级数fn(z)在E上一致收敛。

定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设{fn(z)}(n1,2,...)在集E上连续，并且级数fn(z)或序列{fn(z)}在E上一致收敛于f(z)或(z)，那么f(z)或(z)在E上连续。

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定理2.2 设fn(z)(n1,2,...)在简单曲线C上连续，并且级数fn(z)或序列

{fn(z)}在C上一致收敛于f(z)或(z)，那么

n1Cfn(z)dzCf(z)dz,

或

Cfn(z)dzC(z)dz.

注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；

注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。

设函数{fn(z)}(n1,2,...)在复平面C上的区域D内解析。如果级数fn(z)或序列{fn(z)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或(z)，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或(z)。

定理2.3（魏尔斯特拉斯定理）设函数fn(z)(n1,2,...)在区域D内解析，并且级数fn(z)或序列{fn(z)}在D内闭一致收敛于函数f(z)或(z)，那么f(z)或(z)在区域D内解析，并且在D内

f(k)(z)fn(k)(z),

n1或

(k)(z)limfn(k)(z),(k1,2,3,...).

n证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理，

Cf(z)dzfn(z)dz0,

n1C因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此

f(z)在D内解析。

其次，设U的边界即圆K也在D内，于是

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fn(z)， k1n1(zz0)对于zK一致收敛于

f(z)。由定理2.2，我们有

(zz0)k1fn(z)1f(z)1dzdz, k1k1KK2i(zz0)(zz0)n12i也就是

f(k)(z)fn(k)(z),(k1,2,3,...)

n1因此，定理中关于级数的部分证明结束。

对于序列，我们也先证明(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理，

fn(z)dz0,

Cf(z)dzlimfn(z)dzlimCznC因为根据莫勒拉定理，可见(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此(z)在D内解析。

其次，设U的边界即圆K也在D内，于是

fn(z)，

(zz0)k1对于zK一致收敛于

(z)(zz0)k1。由定理2.2，我们有

fn(z)1(z)1dzlimdz

2iK(zz0)k12iKn(zz0)k1limfn(z)1dz

n2iK(zz)k10也就是

(k)(z)limfn(k)(z),(k1,2,3,...).

n因此，定理中关于序列的部分证明结束。

3、幂级数

本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数

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n0n(zz0)n01(zz0)2(zz0)2...n(zz0)n...

其中z是复变数，系数n是任何复常数。

注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义； 注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；

注解3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。

首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：

定理3.1 如果幂级数

n0n(zz0)n在z1(z0)收敛，那么对满足

|zz0||z1z0|的任何 z，它都不仅收敛，而且绝对收敛。

证明：由于幂级数n(zz0)n在z1(z0)收敛，所以有

n0nlimn(z1z0)n0，

因此存在着有限常数M，使得|n(z1z0)n|M(n0,1,...)。把级数改写成

nzz0(zz)n10zz

n010n则有

zz0|n(zz0)||n(z1z0)|z1z0nnn

zz0MMkn,z1z0其中已令zz0k,由于级数Mkn,收敛，所以此幂级数在满足|zz0||z1z0|的

nz1z0k0任何点 z不仅收敛，而且绝对收敛。

注解：与幂级数n(zz0)n相对应，作实系数幂级数

n0|n0n|xn|0||1|x|2|x2...|n|xn...

其中x为实变数。则有

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定理3.2 设的收敛半径|n|xn是R，那么按照不同情况，我们分别有：

n0(1)、如果0R，那么当|zz0|R时，级数n(zz0)n绝对收敛，

n0当|zz0|R时，级数n(zz0)n发散；

n0（2）如果R，那么级数n(zz0)n在复平面上每一点绝对收敛；

n0（3）如果R=0，那么级数n(zz0)n在复平面上除去zz0外每一点发散。

n0证明：（1）先考虑0R的情形。如果|z1z0|R，那么可以找到一个正实数r1，使它满足|z1z0|r1R。由于级数|n|xn在xr1时绝对收敛，所

n0以级数n(zz0)n在zz0r1时绝对收敛，从而它在zz1时也绝对收敛。

n0如果|z1z0|R，那么可以找到一个正实数r2，使它满足|z1z0|r2R。假定级数n(zz0)在zz2时收敛，那么级数|n|xn在xr2时也收敛，与所设

nn0n0相矛盾。

（2）如果R，则对任何实数x，级数|n|xn都绝对收敛。如果

n0|z1z0|r，由于级数|n|x在xr时绝对收敛，所以级数n(zz0)n在

nn0n0zz0r时绝对收敛，从而它在zz1时也绝对收敛，由于z1的任意性，那么级

数n(zz0)n在复平面上每一点绝对收敛；

n0（3）如果R=0，则对任何实数x0，级数|n|xn都发散。若存在一个复

n0数z1(z0)，使得n(z1z0)n收敛，则由定理3.1，当|zz0||z1z0|时，

n0 9

n||x绝对收敛，即收敛，所以存在，使得收x0|||zz|(zz)nnn00nnn0n0n0敛，与假设矛盾。

注解1、当0R时，对于|zz0|R，级数n(zz0)n的敛散性不定。

n0注解2、和数学分析中一样，定理3.2中的R(0R)称为此级数的收敛半径；而|zz0|R称为它的收敛圆盘。当R时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面。当R=0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点z0。

注解3、因此，求n(zz0)的收敛半径的问题归结成求|n|xn的收敛

nn0n0半径的问题。和数学分析中一样，常见情况下，可以用达朗贝尔法则或柯西法则

求出。对于一般情况，则可用柯西-阿达马公式求出，因此，有下面的定理：

定理3.3 如果下列条件之一成立：

（1）llim|nn1|, n（2）llimn|n|,

n（3）llimn|n|。

n1那么当0l时，级数n(zz0)n的收敛半径R；当l0时， R；

ln0当l时， R0。

注解1、公式（3）中的l总是存在的。

注解2、（上极限的定义）已给一个实数序列{an}。数L(,)满足下列条件：任给0，（1）至多有有限个anL；（2）有无穷个anL，那么说序列{an}的上极限是L，记作limanL,如果任给M0，有无穷个anM，

n那么说序列{an}的上极限是，记作liman。

n如果任给M0，至多有有限个anM，那么说序列{an}的上极限是，记作liman。

n 10

1注解3、（柯西-阿达马公式的证明）设0l，任取定z’，使得|z'z0|。

l可以找到0，使得|z'z0|1。又由上极限的定义，存在着N>0，使得当

(l2)n>N时

n|n|l,

从而

|n||z'z0|n[(l)/(l2)]n

因此级数n(zz0)n在zz'时绝对收敛。由于z'的任意性，得到此级数在

n01|zz0|内绝对收敛。

l另一方面，任取定z\"，使得|z\"z0||z\"z0|1。可以找到(0,l/2)，使得l1。又由上极限的定义，有无穷多个n，满足n|n|l，即满

(l2)足

|n||z\"z0|n[(l)/(l2)]n

1因此级数n(zz0)n在zz\"时发散，从而此级数在|zz0|内发散。

ln0注解4、幂级数n(zz0)n的和是收敛圆内有定义的一个函数，我们称为

n0和函数。

定理3.4 设幂级数n(zz0)n有收敛圆盘|zz0|R。那么在|zz0|R内，

n0它内闭一致收敛；它的和函数

f(z)01(zz0)2(zz0)2...n(zz0)n...

解析，并且

f(n)(z)n!nn0(n1)!n1(zz0)...(n1,2,3,...)。 1!证明：我们只需证明n(zz0)n在收敛圆盘|zz0|R内闭一致收敛即可。设

E是这个圆盘内的任意一个紧集。于是存在着0|zz0|r内。于是当zE时

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|n||zz0|n|n|rn

因为|n|rn收敛，所以n(zz0)n在E上一致收敛，因此它在收敛圆内闭一致

n0n0收敛。

注解：幂级数在收敛圆周的收敛与发散不定。 例1、级数

11zz2...zn... 1z的收敛半径是1。

注解1、由柯西准则我们可以证明，复数项级数收敛的一个必要条件也是其通项趋近于0。

注解2、例1中的幂级数在|z|=1上通项不趋近于0，所以发散。 例2、级数

(1)n1n1zn1

n(n1)的收敛半径是1。

在收敛圆|z|=1上，有|(1)n1zn11|，

n(n1)n(n1)而级数1收敛，所以此幂级数在收敛圆周上处处收敛。

n(n1)z注解：下面将要证明，例2中幂级数的和函数等于

ln(1)d (ln10)

0它在|z|=1上，除去z=-1外，处处解析。

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