【沪科版】七年级数学下册第七章单元测试卷(一)含答案与解析

一元一次不等式与不等式组

（考试时间：120分钟 满分150分）

班级____________姓名____________学号___________分数________

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ） A．2m＜3n

B．2+m＞2+n

C．2﹣m＞2﹣n

D．＜

2．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）

A．x≥﹣1

B．x＞1

C．﹣3＜x≤﹣1

D．x＞﹣3

3．下列是一元一次不等式的是（ ） A．2x＞1

B．x﹣2＜y﹣2

C．2＜3

D．x2＜9

4．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

5．不等式x+5＞4的解集为（ ） A．x＜1

B．x＞1

C．x＜﹣1 D．x＞﹣1

6．如果不等式（3﹣a）x＜a﹣3的解集为x＞﹣1，则a必须满足的条件是（ ） A．a＞0

B．a＞3

C．a≠3

D．a＜3

7．若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（ ）

A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2

8．为了奉献爱心，贡献自己的一份力量，本次新冠状病毒疫情期间，九年级4班18名团员计划在家加工2250个口罩，奉献给社区志愿者，并规定每人每天加工a个口罩（a为整数），干了几天以后，其中4人因特殊情况没能继续，若剩下的同学每人每天多加工3个口罩，则提前完成了这次任务，由此可知a的值最多是（ ） A．8

9．若关于x的不等式组（ ） A．3

B．4

C．6

D．1

B．9

C．10

D．11

恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是

10．若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（ ） A．m＜m2＜

B．m2＜m＜

C．＜m＜m2

D．＜m2＜m

二．填空题（共4小题，共计20分）

11．用不等式表示“x的2倍与5的和不大于10”是 ． 12．不等式组：

的解集为 ．

13．不等式组的负整数解是 ．

14．对于任意实数p、q，定义一种运算p※q＝p﹣q+pq﹣2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：4※5＝4﹣5+4×5﹣2＝17．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组5个整数解，则m的取值范围是 ．

三．解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）

有

15．解不等式组．

请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 （2）解不等式③，得 ．

．

（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ． 16．根据要求，回答下列问题：

（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是 ； （2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是 ； （3）不等式x＞（x﹣1）的解集为 ． 17．解不等式（组）并把解表示在数轴上 （1）3x+2＞14； （2）

﹣

≤1．

18．解方程组或不等式组： （1）

；

（2）．

19．解不等式组：，并写出其整数解．

20．先化简，再求值，选取．

，其中x的值从不等式组的整数解中

21．某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？

22．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．

（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用： 甲超市购物所付的费用为 元； 乙超市购物所付的费用为 元；

（2）李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？若购买700元的商品，应该去哪家超市？

（3）李明该如何选择购买会更省钱？

23．新定义：对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，试解决下列问题： （1）填空：

①[π]＝ （π为圆周率），

②如果[x﹣2]＝3，则实数x的取值范围 ； （2）若点P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程组（3）若f（k）＝[

]﹣[]（k是正整数），例：f（3）＝[

的解，求a的取值范围：

]﹣[]＝1．下列结论：

①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1． 正确的有 （填序号）．

参考答案与解析

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ） A．2m＜3n

B．2+m＞2+n

C．2﹣m＞2﹣n

D．＜

【分析】根据不等式的性质解答．

【解答】解：A、若m＝3，n＝﹣2，则2m＞3n，故不符合题意． B、若m＞n，则2+m＞2+n，故符合题意． C、若m＞n，则2﹣m＜2﹣n，故不符合题意． D、若m＞n，则＞，故不符合题意． 故选：B．

【点评】本题主要考查了不等式的性质，不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．

2．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）

A．x≥﹣1

B．x＞1

C．﹣3＜x≤﹣1

D．x＞﹣3

【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知，不等式组的解集是指它们的公共部分，即﹣1及其右边的部分．

【解答】解：两个不等式的解集的公共部分是：﹣1及其右边的部分．即大于等于﹣1的数组成的集合． 故选：A．

【点评】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3．下列是一元一次不等式的是（ ） A．2x＞1

B．x﹣2＜y﹣2

C．2＜3

D．x2＜9

【分析】利用一元一次不等式的定义解答即可．

【解答】解：A、是一元一次不等式，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；

D、未知数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：A．

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 4．下列用数轴表示不等式组

的解集正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】选项A根据“同大取大”判断即可； 选项B根据“同小取小”判断即可；

选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1； 选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2． 【解答】解：A、不等式的解集为x≥2，故本选项不合题意； B、不等式的解集为x＜1，故本选项不合题意； C、不等式的解集为1＜x≤2，故本选项符合题意； D、不等式的解集为1≤x＜2，故本选项不合题意； 故选：C．

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．不等式x+5＞4的解集为（ ） A．x＜1

B．x＞1

C．x＜﹣1

D．x＞﹣1

【分析】直接利用一元一次不等式的解法解答，即可得出结论． 【解答】解：x+5＞4， 移项得，x＞﹣1， 故选：D．

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确掌握解题方法是解题关键． 6．如果不等式（3﹣a）x＜a﹣3的解集为x＞﹣1，则a必须满足的条件是（ ） A．a＞0

B．a＞3

C．a≠3

D．a＜3

【分析】根据已知不等式的解集得到3﹣a为负数，即可确定出a的范围． 【解答】解：∵不等式（3﹣a）x＜a﹣3的解集为x＞﹣1， ∴3﹣a＜0， 解得：a＞3．

故选：B．

【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 7．若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（ ） A．m≤2

B．m≥2

C．m＜2

D．m＞2

【分析】根据“同小取小”即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解， ∴m≤2． 故选：A．

【点评】本题考查的是不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

8．为了奉献爱心，贡献自己的一份力量，本次新冠状病毒疫情期间，九年级4班18名团员计划在家加工2250个口罩，奉献给社区志愿者，并规定每人每天加工a个口罩（a为整数），干了几天以后，其中4人因特殊情况没能继续，若剩下的同学每人每天多加工3个口罩，则提前完成了这次任务，由此可知a的值最多是（ ） A．8

B．9

C．10

D．11

【分析】设原计划m天完工，干了n天后4人退出工作，根据工作总量＝工作效率×工作时间×参加工作的人数结合提前完成了这次任务，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．

【解答】解：设原计划m天完工，干了n天后4人退出工作， 依题意，得：18a（m﹣n）＜（18﹣4）（a+3）（m﹣n）， 即18a＜14a+42， 解得：a＜

．

又∵a为整数， ∴a的最大值为10． 故选：C．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 9．若关于x的不等式组

恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是

（ ） A．3

B．4

C．6

D．1

【分析】求出不等式组的解集，由不等式组整数解有3个，确定出a的范围，即可求得满足条件的整数．

【解答】解：解不等式组得：

＜x＜2，

由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得到﹣1≤＜0，即0≤a＜4，

满足条件的整数a的值为0、1、2、3， 整数a的值之和是0+1+2+3＝6， 故选：C．

【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（ ） A．m＜m2＜

B．m2＜m＜

C．＜m＜m2

D．＜m2＜m

【分析】根据0＜m＜1，可得m越平方越小，＞1，继而结合选项即可得出答案． 【解答】解：∵0＜m＜1，可得m2＜m，＞1， ∴可得：m2＜m＜． 故选：B．

【点评】此题考查了不等式的性质及有理数的乘方，属于基础题，关键是掌握当0＜m＜1时，m的指数越大则数值越小，难度一般． 二．填空题（共4小题）

11．用不等式表示“x的2倍与5的和不大于10”是 2x+5≤10 ．

【分析】根据“x的2倍与5的和不大于10”，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：依题意得：2x+5≤10． 故答案为：2x+5≤10．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

12．不等式组：的解集为 ﹣1＜x＜2 ．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式2x+3＞﹣x，得：x＞﹣1， 解不等式3﹣x＞2，得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣1＜x＜2， 故答案为：﹣1＜x＜2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．不等式组

的负整数解是 ﹣1 ．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案． 【解答】解：解不等式3x≤x+2得，x≤1， 解不等式x+7＞﹣4x﹣3得，x＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1， ∴负整数解为﹣1， 故答案为﹣1．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．

14．对于任意实数p、q，定义一种运算p※q＝p﹣q+pq﹣2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：4※5＝4﹣5+4×5﹣2＝17．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组5个整数解，则m的取值范围是 ﹣6.5＜m≤﹣4.5 ．

【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可．

有

【解答】解：∵，

∴，

解不等式①得：x＜4，

解不等式②得：x≥∴不等式组的解集是

， ≤x＜4，

∵不等式组有5个整数解， ∴﹣2＜

≤﹣1，

解得：﹣6.5＜m≤﹣4.5， 故答案为：﹣6.5＜m≤﹣4.5．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．

三．解答题（共9小题）

15．解不等式组．

请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 x≥﹣3 ． （2）解不等式③，得 x＜1 ．

（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ﹣2＜x＜1 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．

【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的基本性质． （2）解不等式③，得x＜1．

（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣3≤x＜1， 故答案为：（1）x≥﹣3；（2）x＜1；（4）﹣2＜x＜1．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”16．根据要求，回答下列问题：

的原则是解答此题的关键．

（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是 不等式的基本性质1 ； （2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是 不等式的基本性质2 ； （3）不等式x＞（x﹣1）的解集为 x＜3 ． 【分析】（1）根据不等式的基本性质1求解即可； （2）根据不等式的基本性质2求解即可； （3）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．

【解答】解：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是：不等式的基本性质1； （2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是：不等式的基本性质2； （3）x＞（x﹣1），

不等式两边同乘以6，得：2x＞3（x﹣1）， 去括号得：2x＞3x﹣3， 移项，合并得，﹣x＞﹣3， 系数化为1，得：x＜3．

故答案为：（1）不等式的基本性质1；（2）不等式的基本性质2；（3）x＜3．

【点评】此题主要考查了不等式的性质以及解一元一次不等式，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．

17．解不等式（组）并把解表示在数轴上 （1）3x+2＞14； （2）

﹣

≤1．

【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）3x+2＞14， 3x＞14﹣2， 3x＞12， x＞4，

表示在数轴上为：

（2）两边同时乘6得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6， 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤6， 移项，合并同类项得﹣x≤5， 解得x≥﹣5， 表示在数轴上为：

．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 18．解方程组或不等式组： （1）

；

（2）．

【分析】（1）根据加减消元法可以解答本题； （2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．

【解答】解：（1）①+②×2，得 5x＝15， 解得x＝3， 将x＝3代入①，得 y＝2，

，

故原方程组的解是；

（2），

由不等式①，得 x＞4， 由不等式②，得 x≤6，

故原不等式组的解集是4＜x≤6．

【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法． 19．解不等式组：

，并写出其整数解．

【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．

【解答】解：

解不等式①得：x≤2； 解不等式②得：x＞；

，

故原不等式组的解集是＜x≤2， 其整数解是：1、2．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 20．先化简，再求值，选取．

【分析】先把原式化简，则解不等式组得得：﹣1＜x≤3，则不等式组的整数解是0，1，2，3，若分式有意义，x只能取1，把x＝1代入计算即可．

，其中x的值从不等式组

的整数解中

【解答】解：原式＝

＝×

＝，

解不等式组得：﹣1＜x≤3，

∴不等式组的整数解是0，1，2，3 若分式有意义，x只能取1，

∴原式＝＝．

【点评】本题考查了分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法；熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．

21．某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？

【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．列出方程组，可求解；

（2）设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解． 【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，

由题意可得：，

解得：，

答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元； （2）设需要购买a个甲种笔记本， 由题意可得：10a+5（35﹣a）≤300， 解得：a≤25，

答：至多需要购买25个甲种笔记本．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找出正确的数量关系是本

题的关键．

22．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）． （1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用： 甲超市购物所付的费用为 （0.8x+60） 元； 乙超市购物所付的费用为 （0.85x+30） 元；

（2）李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？若购买700元的商品，应该去哪家超市？

（3）李明该如何选择购买会更省钱？

【分析】（1）根据甲超市购物所付的费用＝300+超过300元的部分×0.8，乙超市购物所付的费用＝200+超过200元的部分×0.85，即可得出结论；

（2）将x＝500分别代入（1）的代数式中，求出值比较后即可得出结论；

（3）令甲超市购物所付的费用＝乙超市购物所付的费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）甲超市购物所付的费用为300+0.8（x﹣300）＝（0.8x+60）元； 乙超市购物所付的费用为200+0.85（x﹣200）＝（0.85x+30）元． 故答案为：（0.8x+60）；（0.85x+30）；

（2）购买500元的商品，他应该去乙超市，理由如下：

当x＝500时，甲超市购物所付的费用＝0.8x+60＝460，乙超市购物所付的费用＝0.85x+30＝455， ∵460＞455， ∴他去乙超市划算；

购买700元的商品，他应该去甲超市，理由如下：

当x＝700时，甲超市购物所付的费用＝0.8x+60＝620，乙超市购物所付的费用＝0.85x+30＝625， ∵620＜625， ∴他去甲超市划算．

（3）依题意有0.8x+60＝0.85x+30， 解得：x＝600．

答：李明购买少于600元的商品时，去乙超市划算；李明购买600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样；李明购买多于600元的商品时，去甲超市划算．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数，解题的关键是：（1）根据数量关系列出代数式；（2）将x＝500代入代数式中求值；（3）令两超市的费用相等找出关于x的一元一次方程． 23．新定义：对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，试解决下列问题： （1）填空：

①[π]＝ 3 （π为圆周率），

②如果[x﹣2]＝3，则实数x的取值范围 5≤x＜6 ； （2）若点P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程组（3）若f（k）＝[

]﹣[]（k是正整数），例：f（3）＝[

的解，求a的取值范围：

]﹣[]＝1．下列结论：

①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1． 正确的有 ①②④ （填序号）．

【分析】（1）①根据规定[x]表示不大于x的最大整数，可得答案； ②根据规定可得3≤x﹣2＜4，解不等式组即可求解；

（2）解方程组得步求解即可；

，由点P位于第一象限知，据此得1＜[a]＜，进一

（3）根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）①根据题意知[π]＝3； ②∵[x﹣2]＝3， ∴3≤x﹣2＜4， 解得5≤x＜6，

故答案为：①3；②5≤x＜6．

（2）解关于x，y是方程组∵点P位于第一象限，

得，

∴，

解得1＜[a]＜， 则[a]＝2，

∴2≤a＜3； （3）f（1）＝[f（k+4）＝[

]﹣[]＝0﹣0＝0，故①正确； ]﹣[

]＝[

+1]﹣[+1]＝[

]﹣[]＝f（k），故②正确；

当k＝3时，f（3+1）＝[]﹣[]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故③错误；

当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以④正确； 故答案为：①②④．

【点评】本题考查取整函数、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．