2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题和答案_全国1卷

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合Ax|x1，B{x|31}，则

xA．AC．AB{x|x0} B{x|x1}

B．AD．ABR B

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．

1 41 2 B．

 8 4C． D．

3．设有下面四个命题

1p1：若复数z满足R，则zR； p2：若复数z满足z2R，则zR；

zp3：若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2；

其中的真命题为 A．p1,p3

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

p4：若复数zR，则zR.

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4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是 A．[2,2] 6．(1

B．[1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]

126展开式中的系数为 x)(1x)2x

B．20

C．30

D．35

A．15

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16

8．右面程序框图是为了求出满足321000的最小偶数n，那么在

和

两个空白框中，可以分别填入

nnA．A1000和nn1 B．A1000和nn2 C．A1000和nn1 D．A1000和nn2

9．已知曲线C1:ycosx,C2:ysin(2x面结论正确的是

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的单位长度，得到曲线C2

2)，则下3π个6π121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个26 word格式可复制编辑

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D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C2

1π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移21210．已知F为抛物线C:y4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交

于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16

x2B．14

yz C．12 D．10

11．设xyz为正数，且235，则

A．2x3y5z C．3y5z2x

B．5z2x3y D．3y2x5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是2,2，再接下来的三项是2,2,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是 A．440

B．330

C．220

D．110

01012二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

x2y114．设x,y满足约束条件2xy1，则z3x2y的最小值为 .

xy0x2y215．已知双曲线C:221(a0,b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，

ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN60，则C的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、

E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_______。

3

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

a217．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3sinA（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC1,a3，求△ABC的周长. 18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值. 19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 2 word格式可复制编辑

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10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 11611611622xi9.97，s经计算得x(xix)(xi16x2)20.212，16i116i116i1其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值用样本平均数x作为的估计值ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据，用剩下的数据判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(估计和（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3Z3)0.997 4，

0.997 4160.959 2，0.0080.09．

20.（12分）

3x2y2已知椭圆C：22=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，

2ab3）中恰有三点在椭圆C上. 2（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 21.（12分） 已知函数f(x)ae2x(a2)exx

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方

ysin,xa4t,（t为参数）程为.

y1t,（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)xax4,g(x)|x1||x1|

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（1）当a1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

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理科数学参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 1. A 7．B

2．B 8．D

3．B 9．D

4．C

5．D

6．C

10．A 11．D 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．23

14．-5

15．23 316．415cm

3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

a217．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3sinA（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长. 解：（1）

1a21a由题设得acsinB，即csinB

23sinA23sinA1sinA sinCsinB23sinA2故sinBsinC。

3由正弦定理得（2）

由题设及（1）得cosBcosCsinBsinC所以BC11，即cos(BC) 222，故A 331a2由题设得bcsinA，即bc8

23sinA222由余弦定理得bcbc9，即(bc)3bc9，得bc33 故ABC的周长为333 18.（12分）解：

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（1）由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD

由于AB//CD，故ABPD， 从而AB平面PAD 又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD （2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F

由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF， 可得PF平面ABCD

以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz

由（1）及已知可得A(2222,0,0),P(0,0,),B(,1,0),C(,1,0) 2222所以PC(2222,1,),CB(2,0,0),PA(,0,),AB(0,1,0) 2222设n(x,y,z)是平面PCB的法向量，则

22nPC0,xyz0,即2 2y0nCB0可取n(0,1,2)

设m(x,y,z)是平面PAB的法向量，则

22mPA0,xz0,即 22mAB0y0可取m(1,0,1)

则cosn,mnm3 |n||m|33 3所以二面角APBC的余弦值为19．（12分）解：

（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在

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(3,3)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026)，因此

P(X1)1P(X0)10.9974160.0408

X的数学期望为EX160.00260.0416

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026，

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。

ˆ9.97,的估计值为ˆ0.212，（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外，因此需对当天由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(的生产过程进行检查。

ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 剔除(1(169.979.22)10.02 15因此的估计值为10.02

16xi12i160.2122169.9721591.134

ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 剔除(1(1591.1349.2221510.022)0.008 15因此的估计值为0.0080.09

20.（12分）解：

（1）由于P3,P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3,P4两点

又由

1113知，C不经过点P1，所以点P2在C上 a2b2a24b211,22ba4因此解得2

131b1a24b2x2y21 故C的方程为4（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2

如果l与x轴垂直，设l:xt，由题设知t0，且|t|2，可得A,B的坐标分别为

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4t24t2(t,),(t,)

22则k1k24t224t221，得t2，不符合题设

2t2tx2y21得 从而可设l:ykxm(m1)，将ykxm代入4(4k21)x28kmx4m240

由题设可知16(4km1)0

228km4m24,x1x2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x22 24k14k1而 k1k2y11y21 x1x2kx1m1kx2m1 x1x22kx1x2(m1)(x1x2)

x1x2由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0

4m248km(m1)0 即(2k1)224k14k1解得km1 2m1xm， 2当且仅当m1时，0，于是l:y所以l过定点(2,1) 21.（12分）解：

（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)

（i）若a0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单调递减 （ii）若a0，则由f(x)0的xlna

当x(,lna)时，f(x)0； 当x(lna,)时，f(x)0

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所以f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增。

（2）（i）若a0，由（1）知，f(x)至多有一个零点

（ii）若a0，由（1）知，当xlna时，f(x)取得最小值，最小值为

1f(lna)1lna

a① 当a1时，由于f(lna)0，故f(x)只有一个零点； ② 当a(1,)时，由于1点；

③ 当a(0,1)时，1又f(2)ae个零点。

设正整数n0满足n0ln(1)，

则f(n0)e0(ae0a2)n0e0n020n00 由于ln(1)lna，因此f(x)在(lna,)有一个零点 综上，a的取值范围为(0,1)

22．解：

nnnn1lna0，即f(lna)0，故f(x)没有零a1lna0，即f(lna)0又 a4(a2)e222e220，故f(x)在(,lna)有一

3a3ax2（1）曲线C的普通方程为y21，

9当a1时，直线l的普通方程为x4y30

21xx4y30,x3,225由x解得或 224y0yy1925从而C与l的交点坐标为(3,0),(2124,) 2525（2）直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为

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d|3cos4sina4|

17当a4时，d的最大值为a9a917，所以a8； ，由题设得1717a1a117，所以a16 ，由题设得1717当a4时，d的最大值为综上，a8或a16 23．解：

（1）当a1时，不等式f(x)g(x)等价于

x2x|x1||x1|40 ①

当x1时，①式化为x3x40，无解；

当1x1时，①式化为xx20，从而1x1；

2当x1时，①式化为xx40，从而1x22117 2所以f(x)g(x)的解集为{x|1x（2）当x[1,1]时，g(x)2

117} 2所以f(x)g(x)的解集包含[1,1]，等价于当x[1,1]时f(x)2

又f(x)在[1,1]的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得

1a1

所以a的取值范围为[1,1]

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