考试周刊２０１１年第１７期 求函数值域的十种方法 何 平 （凉山美姑县巴普中学，四川美姑６１６４５０） 摘要：函数值域是函数的重要性质之一，有关函数值 ．．域的问题教材中介绍得很少，而求函数的值域较求定义域更 ． ∈（０，１］，ｙ≥２ ．ｙ＋、／ －４／＞２（１），．．．方程（１）的根只能 困难、更灵活，没有较完整较规范的方法．所以学生难以掌 是ｘ：ｖ一￣ｙＺ＿４，￣０＜ｙ－￣４２＿４≤１，解得ｖ≥５，２ ．．．函数值域为 握 本文借助初等函数等有关知识，归纳出十种求函数值域 的方法。 ｌ５ ，＋。。）、 关键词：函数 函数值域 方法 ２ ３．转化法 １．观察法 利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”， 对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础 将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的 上确定函数的值域．这叫观察法。 值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值 由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此 域问题，常能化难为易。 首先要考察函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断 例３：求函数ｖ： ｌｘ的值域。 出函数的值域。 １＋ＣＯＳＸ ｒ一 — ｒ —一 例１：求函数ｙ＝（ｘ一３）、／＿ｌ＋ｘ的值域。 解：由函数表达式得：２ｓｉｎｘ＋ｙｃｏｓｘ＝３一ｙ甘Ｖ４＋ｖ‘ｓｉｎ（ｘ＋０）＝ Ｖ ｌ～ｘ ３一ｙ，其中。由ｓｉｎ０ 和ｃｏｓ０＝— 确定。 厂 — 解：・．・函数定义域为一１≤ｘ＜１，又・．・、／ｌＶ ｌ＿ ／＞０，Ｘ－－３＜０， Ｖ４＋ｖ ４＋ｙ —ｘ －・．・Ｉｓｉｎ（ｘ＋ｅ）Ｉ≤１，．・．（、／４＋ｙ ） ≥（３－ｙ） 甘ｙ≥＿５，即原函数 ．．ｙ≤Ｏ，即函数值域Ｙ∈（一ｏ。，０］。 ０ ２．反函数法 ‘ 如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易 值域ｙ∈［÷，＋ ）。 求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解， ０ 叫反函数求函数值域的方法。 ４．不等式法 运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成 即由ｙ＝ｆ（Ｘ），反解出求函数ｘ＝ｆ （ｘ），原函数值域包含 立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。 在ｆ （Ｙ）的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。 例４：已知 ∈（０，丌），求 ￣ｙ＝ｓｉｎｏｔ＋— 的值域。 此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程 中保持同解性。 错解：’．‘０／．∈（０，１『），．‘．ｓｉｎ￣ｘ＞０， 一 １ ＞０，ｓｉｎｃ￣＋÷＇ ≥２ Ｓｌｎ Ｓｌｎ 例２：求函数ｙ＝ ＋三，ｘ∈（ｏ，１］的值域。 ｘ ，， １ 、Ｖ／ｓ ｉｎ ・÷Ｓ１ｎ ＝２Ｘ／－２－，函数值域为［２ｖ￣２，＋。。）。 错解一：‘． ｙ＝÷＋ ／＞２ ．函数值域ｙ∈［２，＋∞）。 Ｘ 剖析：由于忽略了“当且仅当ｓｉｎｃｅ＋— 一时上式才能取等 剖析：当ｘ＝（０，＋ ］时，结论ｘ＝［２，＋ｏ。）才是正确的。但当 Ｘ∈（０，１），这个结论就不可靠了。 号”，但因Ｉｓｉｎｅｄ≤ｌ故ｓｉｎｏｔ≠— ，因此上式不能取等号，至少 ｓｉｎｅｔ 错解二：ｖ＝＾＿＋ 甘ｘ－＿２ｙｘ＋４＝０． 应有ｖ≠２ｘ／２。 ・．・ｘ∈Ｒ ．△４ｙ １６／＞０，解得ｙ≤一２或ｙ／＞２。 正解：’． ∈（０， ），． ．ｓｉｎｅｔ＞０， 函数值域为（一 ，一２］Ｕ［２，＋ ）。 剖析：以上求出的结果，只能是Ｘ∈（一。。，０）Ｕ（０，＋∞）时函 １ １ ＋ ．数的值域，解法二同样忽略了０≤ｘ≤１了这一限制条件。而Ｘ∈ （０，１］的值域用“判别式法”是无法解决的。 当且仅当 ｉ ｄ：— ，即 ｉ ：ｌ时，上式能全取等号。 正解：（反函数法）ｙ＝ ＋ 铮ｘ 一２ｙｘ＋４＝０， ｓｉｎｏｔ 小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数 Ｃ组：求最大的长方形的周长加上中间一个长度 结经验，指点迷津。 Ｂ组：五条边得长度减去６Ｃ。 （其余方法略） 参考文献： 老师惊叹学生的创造能力，在适当的引导下．学生通过互 『１］陈雪．“开放式”教学法在历史教学中的应用探究．中国 相合作交流，在探索中思维被激发，获得多种解决方法。 科教创新导刊，２ｏ０８．１Ｏ． 总之，小组合作学习不论是理论研究还是实践研究，目前 ［２］范湘凌．小组化学术讨论教学法探微，２００８，４． 都还处于探索阶段，需要广大的教师在实践教学中探索、思 ［３］蔡敏．试论“小组探究模式”．课程・教材・教法，２００１，１２． 考、反思、总结，把实践中问题及时收集，多为课改的后继者总 『４］李学农，周晓静．中学教育概论．南京师范大学出版社． 的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件 是否能得到满足。 ５．最值法 由于初等函数在其定义域内是连续的，所以我们可以通 过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的 值域。 例５：求函ｍｙ＝—＿＿Ｊ—的值域。 １＋２ｃｏｓｘ 解：由函数定义域知，ＣＯＳＸ∈［－１，一 １）ｕ（一 １，１］。 （１）￣ｃｏｓｘ∈［－１，一 １）时。。ｙ＝ｘ＋ｘ／Ｆ－２ｘｌ－２ｘ＝１一 １（Ｘ／Ｖ￣１－２ｘ‘一 ，．１） ．（ ） ＝－１，注意到ＣＯＳＸ＂－＇＊＂（一 １），ｙ＿＋一。。．・．一 ＜ ｙ≤一１。 （２）当ｃ０ｓｘ 一言Ｊ］时，。・－（１＋２ｃｏｓｘ） ★）一１，・。 ） ＝了１注意到ｃ。ｓｘ一（一 １），ｙ一十ｏ。 ．了１≤ｙ＜＋。。，。 故函数值域为（一 ，一１］ｕ［ １，＋Ｏ０）． 一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也 可用此法。 ６．判别式 根据一元二次方程ａｘ２＋ｂｙ＋ｃ：０有实根时，Ａ：ｂ 一４ａｃ／＞０。 的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。 例６：求函数ｙ：２ｘ２—７ｘ＋３的值域。 解：‘． ２ｘ＇－７ｘ＋３一ｙ＝０，且ｘ∈Ｒ，．‘．Ａ＝ｂ＇－４ａｃ＝４９—８（３一ｙ）ｉ＞０， ｙ≥ 湘数值域为［等，川． 此法可用于行如：ｙ：—Ａｘ ＋Ｂｘ＋Ｃ（Ａ，Ｐ不同时为零，分子分 Ｒｘ。＋Ｑｘ＋Ｐ 母无公因式）的函数的值域。但必须强调：（１）是既约公式；（２） 验证端点值是否能取到；（３）整理成行如一元二次方程的形式 后，若平方项系数含字母要讨论；（４）若定义域人为受限，则判 别式法失效。 ７．换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数 函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方 法叫换元法。 例７：已知函数ｆ（ｘ）的值域是［ｉ３，吾］，求ｙ＝ （ｘ）＋ Ｖｑ－２ｆ（ｘ）的值域。 解：’． ｆ（ｘ） ［詈， ‘．詈≤ｆ（ｘ）≤ ４，故÷≤ 俪 ≤ ２。令ｔ： 丽，则ｔ ［÷， １］。有ｆ（ｘ）＝ １ （１ ），ｙ＝ｇ（ｔ）＝ （１ ）＋ｔ一 （ｔ一１） ＋１，由于ｇ（ｔ）在ｔ∈［ １， １］时单调递增 ２ ・当ｔ： ，ｙｍ ７．．，当ｔ： Ｉ 詈， ・・・ｙ ｆ（ｘ）＋、／．１＿丽的值域是 舌， Ｉ］・ ８．图像法（数行结合法） 通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值 等。确定若干有代表性的点，勾画出函数的大致图形，从而确 定函数的值域。 例８：求函数ｖ：Ｉｘ：－１１＋ｘ的值域。 ８０ 解：原函数可以表达成：当ｘ≤一１或ｘ＞／１，ｙ：Ｉｘ２＿１Ｉ＋ｘ：（ｘ＋２） 一寻；当一 ≤ｘ≤・， －．ｘ２ ＋ｘ—ｃｘ＋丢 ＋寻。 作出函数图像（见图１） 、 ｙ ／ ， ｛ 图１ 由图像知函数值域为［一１，＋ ）。 ９．单调性法 利用函数单调性，先求出函数的单调区间，再求每个区间 上函数的值域，最后取其并集即得函数值域。 例９：求ｖ－ｘ一、／ｌ一２ｘ的值域。 解：‘．‘Ｙｌ＝ｘ￣ｌｙ 一、／１—２ｘ均为单调增函数， ・．．ｙ＝ｙ ＋ｙ ＝ｘ一、／１—２ｘ为增函数，由定义域ｘ≤÷知ｙ＆★＝ 二 ，故ｙ≤ ． ２ ２ １０．配方法 如果给定一个复合函数，ｙ＿ｆ［ｇ（ｘ）］，若ｇ（ｘ）或ｆ（ｘ）可以视 为一元二次多项式，则要用配方法求其函数值域。 例１０：求ｖ＝ｘ＋、ｖ／１—２ｘ的值域。 解：・．・ｙ： ＋、／Ｔ二 ：ｌ一 （、／ｉ＝ 一１）２，在定义域ｘ≤ 内，显然有（、／卜２ｘ一１） ｉ＞０ ．ｙ≤ｌ，函数值域为（一∞，１］。 本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起．在不同的文 献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法，但解法大致 相同．如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、 恒等变换法、有理化法等。当然，本论文求函数值域的方法不 是一成不变的，应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种 方法 参考文献： 『１］董艳梅，吴武琴．求函数值域的常用方法［Ｊ］．昆明冶金 高等专科学校学报，１９９９，１５，（２）：１９—２３． ［２］王英．求函数值域的技巧方法探讨［Ｊ］．南都学坛（自然 科学报），２００１，２１，（３）：ｌ１５—１１７． ［３］侯剑方．求函数值域的几种方法［Ｊ］．中学数学，２００２， （３）：２８－３０． 『４１谭廷经．求函数值域的几种初等方法与常见错误剖析 『Ｊ］．中学数学教学，１９９５，（３）：２８—３０． 『５］张秦．求函数值域的方法与技巧［Ｊ］．榆林高等专科学 校学报，１９９７，７，（４）：４６—４９． ［６］林如恺，江杰．求函数值域的几种方法［Ｊ］．乐山师范高 等师范专科学校学报，１９９９，（３）：１００—１０３． ［７］王慧贤，张莉．求函数值域的几种方法［Ｊ］．白城师范高 等师范专科学校，２００１，１５，（４）：４０—４２． ｆ８］纯刚．求函数值域的方法与技巧［Ｊ］．安顺师专学报（自 然科学报），１９９６，（４）：５３—６０． ［９］赵振威．中学数学方法指导［Ｍ］．北京：科学出版社， １９９９：７１—７５．。 ［１Ｏ］谭光宙．中学数学解题方法［Ｍ］．北京：北京师范大学 出版社，２００１：１４９—１５１．
