函数图象的三种变换

函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种： 一、平移变换

例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：

(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系． 解 (1)如图

(2)如图

点评 观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到； y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到； y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到； y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．

小结：

二、对称变换

例2设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．

解 画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图象如图所示．

由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称． 点评 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

1

三、翻折变换

例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数图象的关系．

解 y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所示．

点评 要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．

例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．

解 如下图所示．

点评 要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可． 小结：

保留x轴上方图象yf(x)y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象yf(x)y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：

y y=f(x)

cxaob

四 函数图象自身的对称性 1.函数yf(x)的图象关于直xyyy=|f(x)|y=f(|x|)aobcxaobcxab对称f(ax)f(bx)f(abx)f(x) 22.函数yf(x)的图象关于点(a,b)对称2bf(x)f(2ax)

f(x)2bf(2ax)f(ax)f(ax)2b

3.若f(x)f(x) ，则f(x)的图象关于原点对称，若f(x)f(x) ，则f(x)的图象关于y轴对称。

2

基础训练

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同. (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.

( × )

( × )

(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称. ( √ ) (4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象.

( × )

2.如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析 对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．

对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；

对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；

同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的． 故只有第一幅图不正确，因此选A. 答案 A

点评 本题考查函数的对应关系．由容器的形状识别函数模型，是典型的数形结合问题，“只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查．

3.向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )

HV0

解析 取水深h＝，此时注水量V′>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水

22量的一半．

V0V0

A中V′<，C、D中V′＝，故排除A、C、D，选B.

22

3

1

4．函数y＝1－的图象是( )．

x－1

－11

解析 将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－

xx－1的图象． 答案 B

5．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．

A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)

f－x，x≥0，

解析 y＝f(－|x|)＝ 答案 C

fx，x＜0.

6.直线y＝1与曲线yxxa有四个交点，则a的取值范围是________．

如图所示，yxxa是偶函数

22

a

151a1a 447.已知f(x)是偶函数，则f(x2)的图像关于__________对称；已知f(x2)是偶函数，则函数f(x)的图像关于____________对称.

8.已知y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为

( )

4

解析: A

［因为f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的图象可以由y=f(x)的图象按照如下变换得

到：先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x)的图象向右平移一个单位，即得y=f(-x+1)的图象.］

9.分别画出下列函数的图象：

x＋2

(1)y＝x2－2|x|－1； (2)y＝. （3）(1)yx2(x1)

x－1

2x－2x－1 x≥0

(1)y＝2.图象如图③.

x＋2x－1 x＜0

33(2)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，

xx－1x＋2

即得y＝的图象，如图④.

x－1

10.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为_____.

思维启迪 从y＝f(x)的图象可先得到y＝－f(x)的图象，再得到y＝－f(x＋1)的图象. 解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称

5

得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确. 答案 ③

11．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．

2x－2－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞

解 f(x)＝

－x－22＋1，x∈1，3

作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)． 由图知01

12.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称.求f(x)的解析式；(2)

x解析： (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)11

的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋ (x≠0).

xx

13．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．

解：∵f(x)的图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)，∴当x＝0时，f(x)＝0. 又当x>0时， f(x)＝x2－2x＋3，∴当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.



∴函数的解析式为f(x)＝0，x＝0，

－x－2x－3，x<0.

2

x2－2x＋3，x>0，

作出函数的图象如图．

6

根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．

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