高三数学(理)二轮专题复习集训：专题五 立体几何(题组含答案) (2)

高三数学（理）二轮复习专题集训

专题五 立体几何(2)

A级

1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )

3．(2017·第二次适应性检测)设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：

①若α∥β，α∥γ，则β∥γ ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥n，n⊂α，则m∥α 其中正确命题的序号是( ) A．①③ C．②③

B．①④ D．②④

1

4．如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( ) A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在的曲线的形状为( )

AMAN

6．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若MB＝ND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．

7．已知α，β表示两个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，且m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：

①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n； ③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n.

则上述结论正确的为________．(写出所有正确结论的序号)

8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出的下列结论正确的是________．

①AF⊥PB；②EF⊥PB； ③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

2

9．(2017·惠州市第三次调研考试)在如图所示的多面体ABCDE中，已知ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，AE＝BE.

(1)若M是DE的中点，试在AC上找一点N，使得MN∥平面ABE，并给出证明；

(2)求多面体ABCDE的体积．

10．如图，过底面是矩形的四棱锥F-ABCD的顶点F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC.

(1)求证：FG∥平面AED； (2)求证：平面DAF⊥平面BAF.

3

B级

1．(2017·成都市第二次诊断性检测)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD-EFGH中，AB＝5，AD＝4，AE＝3.则△EBD在平面EBC上的射影的面积是( )

A．234 C．10

2．(2017·惠州市第三次调研考试)如图是一几何体的平面展形图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面； ②直线BE与直线AF异面； ③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确的有( ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个 25

B．2 D．30

3．如图所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

(1)求证：AB⊥DE；

(2)求三棱锥E-ABD的侧面积和体积．

4

4．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝5.

(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；

(2)设M为线段EC上一点，且3EM＝EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由．

5

参 A级

1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析： 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．

答案： B

2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )

解析： B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.

答案： A

3．(2017·第二次适应性检测)设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：

6

①若α∥β，α∥γ，则β∥γ ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥n，n⊂α，则m∥α 其中正确命题的序号是( ) A．①③ C．②③

B．①④ D．②④

解析： 对于①，因为平行于同一个平面的两个平面相互平行，所以①正确；对于②，当直线m位于平面β内，且平行于平面α，β的交线时，满足条件，但显然此时m与平面β不垂直，因此②不正确；对于③，在平面β内取直线n平行于m，则由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，直线m可能位于平面α内，显然此时m与平面α不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的序号是①③，选A.

答案： A

4．如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( ) A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC

解析： A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

答案： B

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在的曲线的形状为( )

7

解析： 由题意可知点P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以点B为焦点，以A1B1为准线的过点A的抛物线的一部分．A选项中的图象为直线，排除A.C选项中点B不是抛物线的焦点，排除C.D选项中的图象不过A点，排除D.故选B.

答案： B

AMAN

6．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若MB＝ND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．

AMAN

解析： 由MB＝ND，得MN∥BD. 而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC， 所以MN∥平面BDC. 答案： 平行

7．已知α，β表示两个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，且m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：

①∀n⊂α，n⊥β； ②∀n⊂β，m⊥n； ③∀n⊂α，m∥n； ④∃n⊂α，m⊥n.

则上述结论正确的为________．(写出所有正确结论的序号)

解析： 由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，则n⊥β或n⊂β或n∥β或n与β斜交，所以①不正确；∀n⊂β，则由直线与平面垂直的性质，知m⊥n，②正确；∀n⊂α，则m∥n或m，n相交或m，n互为异面直线，③不正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，④正确．

8

答案： ②④ 8.

如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出的下列结论正确的是________．

①AF⊥PB；②EF⊥PB； ③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

解析： 由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. 所以BC⊥AF.

因为AF⊥PC，BC∩PC＝C，

所以AF⊥平面PBC，PB⊂平面PBC， 所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A， 所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF. 故①②③正确． 答案： ①②③

9．(2017·惠州市第三次调研考试)在如图所示的多面体ABCDE中，已知ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，AE＝BE.

(1)若M是DE的中点，试在AC上找一点N，使得MN∥平面ABE，并给出证明；

(2)求多面体ABCDE的体积．

9

解析： (1)连接BD，交AC于点N，则点N即为所求，证明如下： ∵ABCD是正方形，∴N是BD的中点， 又M是DE的中点，∴MN∥BE， ∵BE⊂平面ABE，MN⊄平面ABE， ∴MN∥平面ABE.

(2)取AB的中点F，连接EF，

∵△ABE是等腰直角三角形，且AB＝2， 1

∴EF⊥AB，EF＝2AB＝1， ∵平面ABCD⊥平面ABE， 平面ABCD∩平面ABE＝AB， EF⊂平面ABE，

∴EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高， 1142

∴V四棱锥E-＝S·EF＝×2×1＝ABCD

3正方形ABCD33.

10．如图，过底面是矩形的四棱锥F-ABCD的顶点F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC.

(1)求证：FG∥平面AED； (2)求证：平面DAF⊥平面BAF.

证明： (1)因为DG＝GC，AB＝CD＝2EF，AB∥EF∥CD， 所以EF∥DG，EF＝DG.

所以四边形DEFG为平行四边形， 所以FG∥ED.

10

又因为FG⊄平面AED，ED⊂平面AED， 所以FG∥平面AED.

(2)因为平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面BAF，又AD⊂平面DAF，所以平面DAF⊥平面BAF.

B级

1．(2017·成都市第二次诊断性检测)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD-EFGH中，AB＝5，AD＝4，AE＝3.则△EBD在平面EBC上的射影的面积是( )

A．234 C．10

25

B．2 D．30

解析： 连接HC，过D作DM⊥HC，连接ME，MB，因为BC⊥平面HCD，又DM⊂平面HCD，所以BC⊥DM，因为BC∩HC＝C，所以DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE内的射影为M，所以△EBD在平面HCBE内的射影为△EBM，在长方体中，HC∥BE，所以△MBE的面积等于△CBE的面积，所以△EBD在1

平面EBC上的射影的面积为2×52＋32×4＝234，故选A.

答案： A

11

2．(2017·惠州市第三次调研考试)如图是一几何体的平面展形图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面； ②直线BE与直线AF异面； ③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确的有( ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析： 将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.

答案： B

3．如图所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

(1)求证：AB⊥DE；

(2)求三棱锥E-ABD的侧面积和体积．

解析： (1)证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，所以BD＝AB2＋AD2－2AB·ADcos ∠DAB＝23，

所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.

12

又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD.

又DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE. (2)由(1)知AB⊥BD.

因为CD∥AB，所以CD⊥BD，从而DE⊥BD.

1

在Rt△DBE中，因为DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，所以S△EDB＝2BD·DE＝23.

因为AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，所以AB⊥BE. 1因为BE＝BC＝AD＝4，所以S△EAB＝2AB·BE＝4.

因为DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，所以1

DE⊥平面ABD，而AD⊂平面ABD，所以DE⊥AD，故S△EAD＝2AD·DE＝4.

故三棱锥E-ABD的侧面积S＝S△EDB＋S△EAB＋S△EAD＝8＋23. 因为DE⊥平面ABD，且S△ABD＝S△EBD＝23，DE＝2， 1143

所以V三棱锥E-＝S×DE＝×23×2＝. ABD

3△ABD33

4．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝5.

(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；

(2)设M为线段EC上一点，且3EM＝EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由．

解析： (1)证明：因为AD＝1，CD＝2，AC＝5，所以AD2＋CD2＝AC2，

13

所以△ADC为直角三角形，且AD⊥DC.

同理，因为ED＝1，CD＝2，EC＝5，所以ED2＋CD2＝EC2， 所以△EDC为直角三角形，且ED⊥DC. 又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥DE， 又AD∩DC＝D， 所以ED⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，所以ED⊥BC.

在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于点H， 故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB＝45°，BD＝2. 在Rt△BCH中，BH＝CH＝1，所以BC＝2， 故BD2＋BC2＝DC2，所以BC⊥BD.

因为BD∩ED＝D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD， 所以BC⊥平面EBD，

又BC⊂平面EBC，所以平面EBC⊥平面EBD.

(2)在线段BC上存在一点T，使得MT∥平面BDE，此时3BT＝BC.

连接MT，在△EBC中，因为BTEM1

BC＝EC＝3，所以MT∥EB. 又MT⊄平面BDE，EB⊂平面BDE，所以MT∥平面BDE. 14