2022届中考数学压轴题押题及答案解析

1．问题发现：

（1）如图1，△ABC内接于半径为4的⊙O，若∠C＝60°，则AB＝ 4√3 ； 问题探究：

（2）如图2，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，若∠B＝120°，求四边形ABCD的面积最大值； 解决问题：

̂围成，点M（3）如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条弧形道路𝐶𝐷

是AB道路上的一个地铁站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝̂的半径为1千米，市准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，60°，𝐶𝐷

̂上，并在公园中修四条慢跑道，即另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在𝐶𝐷

图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

解：（1）如图1，连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，

∵∠C＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝OB，

∴△OAB为等腰三角形， ∵OH⊥AB，

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∴∠AOH＝∠BOH＝60°， ∴AH＝OAsin∠AOH＝4×则AB＝2AH＝4√3； 故答案为4√3；

（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，

√32=2√3，

∵四边形ABCD的面积S=2AC×DE+2AC×BF=2AC×（DE+BF）， ∴当D、E、F、B四点共线且为直径时，四边形ABCD的面积S最大； ∵∠ABC＝120°， ∴∠ADC＝60°， ∴∠AOC＝120°，

在△AOC中，由（1）知，AC＝2×OAsin60°＝2×6×2=6√3， ∴四边形ABCD的面积S的最大值为：×AC×BD=2×6√3×12＝36√3，

21

1

√3111

故四边形ABCD的面积的最大值为36√3；

（3）如图3，过点D作DK⊥AB于点K，连接CD，

在△ADM中，DK＝AD•sinA＝1×2=2，同理AK=2， 则KM＝AM﹣AK＝2−2=2，则tan∠DMK=𝐾𝑀=2

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√3√31

13𝐾𝐷√3∴∠DMK＝30°，故△ADM为直角三角形，同理△CMB为直角三角形， 在Rt△ADM中，DM=√𝐴𝑀2−𝐴𝐷2=√4−1=√3， ∴∠DMC＝180°﹣∠DMA﹣∠CMB＝60° ∵AD＝BM，AM＝BC，∠A＝∠B＝60°， ∴Rt△ADM≌Rt△BMC（SAS）， ∴DM＝CM，

∴△CDM为等边三角形；

̂所在的圆的圆心为R，连接DR、CR、MR， 设𝐶𝐷

∵DM＝CM，RM＝RM，DR＝CR， ∴△DRM≌△CRM（SSS），

∴∠DMR＝∠CMR=∠DMC＝30°，

在△DMR中，DR＝1，∠DMR＝30°，DM=√3=CM， 过点R作RH⊥DM于点H，

𝐻𝑀2则RM=𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝑀𝑅=√=1＝RD， 32√31

2故D、P、C、M四点共圆， ∴∠DPC＝120°，

如图4，连接MP，在PM上取PP′＝PC，

∵△CDM为等边三角形， ∴∠CDM＝60°＝∠CPM，

∴△P′PC为等边三角形，则PP′＝P′C＝PC，

∵∠PMC＝∠PDC，∠CP′M＝180°﹣∠PP′C＝120°＝∠DPC，CD＝CM， ∴△PDC≌△P′MC（AAS）， ∴PD＝P′M，

∴PD+PC＝PP′+PD＝PP′+P′M＝PM，

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故当PM是直径时，PD+PC最大值为2；

∵四边形DMCP的周长＝DM+CM+PC+PD＝2√3+PD+PC， 而PD+PC最大值为2；

故四边形DMCP的周长的最大值为：2+2√3，

即四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大为2+2√3．

2．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，sinB=5，点P为BC边上一动点，过点P作射线PE，交射线BA于点D，∠BPD＝∠BAC，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P交射线PD于点E，连接CE．

（1）当⊙P与AB相切时，⊙P的半径为 3 （2）当点D在BA的延长线上，且BD＝n（5＜n＜代数式表示）；

（3）如果⊙O经过B、C、E三点且OP=4，请直接写出线段AD的长．

5

）时，求线段CE的长（用含n的53

解：（1）如图1，设⊙P与AB相切时，切点为点H，连接PH，则PH⊥AB，

设⊙P的半径为r，sinB=5，则cosB=5 BC＝2ABcosB＝10×5=8，则PB＝8﹣r，

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34

4

sinB=

𝑃𝐻𝑟3

==，解得：r＝3， 𝑃𝐵8−𝑟5故答案为3；

（2）∵AB＝AC，∠BPD＝∠BAC，

∴△PBD、△ABC均为底角为α的等腰三角形，即sinα＝sinB=，

35

过点P作PN⊥EC，则PC＝PE，∠EPN＝∠CPN＝α， ∵BD＝n，则BP=𝑐𝑜𝑠𝛼=8，（BD=5BP）， PC＝BC﹣BP＝8−8， EC＝2CN＝2×PCsinα＝2×（8−

5𝑛3483𝑛

）×=−； 855𝑛

1

2𝐵𝐷

5𝑛8

（3）作EC和BC的中垂线PN、AM交于点O，

①当点M在BP上时，

OP=4，在Rt△OPM中，PM＝OPcos∠MPO=4cosα＝1， 则BP＝4+1＝5，而BD=5BP， 则BD＝8，

AD＝BD﹣AB＝8﹣5＝3；

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55

8

②当点M在CP上时，

同理可得：BP＝4﹣1＝3，则BD=5，则AD=5； 故AD＝3或．

51

24

1

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N． （1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为5，sinB=，求ED的长．

35

【解答】（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OM， ∴∠OCM＝∠OMC，

在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=2AB＝BD， ∴∠DCB＝∠DBC， ∴∠OMC＝∠DBC， ∴OM∥BD， ∵MN⊥BD， ∴OM⊥MN， ∵OM过O， ∴MN是⊙O的切线；

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1

（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，

∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°， 即DM⊥BC，CE⊥AB， 由（1）知：BD＝CD＝5， ∴M为BC的中点， ∵sinB=， ∴cosB=，

在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4， ∴BC＝2BM＝8，

在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB=5， ∴ED＝BE﹣BD=5−5=5．

4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．

32

7

32

4535

（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数； （2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；

（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．

【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，

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∵PA，PB为⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°， ∴∠APB+∠AOB＝180°， ∵∠APB＝80°， ∴∠AOB＝100°， ∴∠ACB＝50°；

（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形， 连接OA，OB，

由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°， ∵∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠ACB＝60°＝∠APB， ∵点C运动到PC距离最大， ∴PC经过圆心， ∵PA，PB为⊙O的切线，

∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°， 又∵PC＝PC，

∴△APC≌△BPC（SAS），

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∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC， ∴∠APC＝∠ACP＝30°， ∴AP＝AC，

∴AP＝AC＝PB＝BC， ∴四边形APBC是菱形； （3）∵⊙O的半径为r， ∴OA＝r，OP＝2r， ∴AP=√3r，PD＝r，

∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°， ̂的长度=∴𝐴𝐷

60°𝜋⋅𝑟𝜋

=𝑟， 180°3𝜋

𝜋

̂=√3r+r+r＝（√3+1+）r． ∴阴影部分的周长＝PA+PD+𝐴𝐷33

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