2020年上海市松江区中考数学二模试卷(解析版)

一．选择题（共6小题）

1．下列实数中，有理数是（ ） A．

B．

C．π

D．3.14

2．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 3．不等式组A．x＞﹣2

的解集是（ ） B．x＜﹣2

C．x＞2

D．x＜2

C．y＝x2+1

D．y＝x2+3

4．某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A．方差

B．极差

C．中位数

D．平均数

5．如果一个多边形的每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是（ ） A．5

B．6

C．8

D．10

6．如图，已知△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝4，点G是△ABC的重心．将△ABC平移，使得顶点A与点G重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（ ）

A．2

B．3

C．4

D．4.5

二．填空题（共12小题） 7．化简：8．方程组9．函数y＝

＝ ．

的解是 ． 的定义域是 ．

10．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ． 11．有一枚材质均匀的正方体骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，掷一次该骰子，向上的一面出现的点数大于2的概率是 ．

12．已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是 ．

13．空气质量检测标准规定：当空气质量指数W≤50时，空气质量为优；当50＜W≤100时，空气质量为良，当100＜Q≤150时，空气质量为轻微污染．已知某城市4月份30天的空气质量状况，统计如表： 空气质量指数（W）

天数

40 3

60 5

90 10

110 7

120 4

140 1

这个月中，空气质量为良的天数的频率为 ． 14．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝3AD，如果

，表示）．

＝，

＝，那么

（用

15．某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为 元．

16．已知⊙O1和⊙O2相交，圆心距d＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r的取值范围是 ．

17．如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度．

18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么

的值为 ．

三．解答题（共7小题） 19．计算：（）1+

﹣

﹣+|1﹣＝2．

|．

20．解方程：﹣

21．如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y＝的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求

的值．

22．如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．

23．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN． （1）求证：AB＝AC；

（2）联结OM、ON、MN，求证：＝．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM． （1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标； （2）求sin∠BAM的值；

（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．

25．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC，AB＝BC＝1，E是边AB上一点，联结CE．

（1）如果CE＝CD，求证：AD＝AE；

（2）联结DE，如果存在点E，使得△ADE、△BCE和△CDE两两相似，求AD的长； （3）设点E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，如果AD＝，且M在直线AD上时，求

的值．

参与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．下列实数中，有理数是（ ） A．

B．

C．π

D．3.14

【分析】直接利用有理数和无理数的定义得出答案． 【解答】解：A、B、

是无理数，不合题意；

是无理数，不合题意；

C、π是无理数，不合题意； D、3.14是有理数，符合题意． 故选：D．

2．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2

C．y＝x2+1

D．y＝x2+3

【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），再根据点平移的规律得到点（0，2）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．

【解答】解：抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），点（0，2）向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为（﹣1，2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x+1）2+2， 故选：B． 3．不等式组A．x＞﹣2

的解集是（ ） B．x＜﹣2

C．x＞2

D．x＜2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2， 解不等式6﹣2x＜2，得：x＞2， 则不等式组的解集为x＞2， 故选：C．

4．某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决

赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A．方差

B．极差

C．中位数

D．平均数

【分析】由于比赛取前6名参加决赛，共有13名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【解答】解：13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了． 故选：C．

5．如果一个多边形的每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是（ ） A．5

B．6

C．8

D．10

【分析】已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数． 【解答】解：多边形的边数是：n＝故选：C．

6．如图，已知△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝4，点G是△ABC的重心．将△ABC平移，使得顶点A与点G重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（ ）

＝8，即该多边形是八边形．

A．2

B．3

C．4

D．4.5

【分析】先根据平移和平行线的性质得到∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，则可判断△GMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到

得AG＝2GD，然后根据三角形周长定义计算即可． 【解答】解：∵将△ABC平移得到△GEF， ∴GE∥AB，GF∥AC，

∴∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C， ∴△GMN∽△ABC， ∴

＝

，

＝

，接着利用三角形重心性质

∵点G是△ABC的重心，

∴AG＝2GD， ∴

＝，

∴△GMN的周长＝×（2+3+4）＝3． 故选：B．

二．填空题（共12小题） 7．化简：

＝ ．

＝|a|进行计算即可． ，

【分析】利用二次根式的性质【解答】解：原式＝故答案为：a8．方程组

． 的解是

或＝a

．

【分析】根据代入消元法解方程组即可得到结论． 【解答】解：方程组由①得，y＝2﹣x③，

把③代入②得，x（2﹣x）＝﹣3， 解得：x1＝3，x2＝﹣1，

把x1＝3，x2＝﹣1分别代入③得，y1＝﹣1，y2＝3， ∴原方程组的解为：故答案为：9．函数y＝

或

或．

． ，

的定义域是 x≠﹣2 ．

，可知x+2≠0，从而可以求得x的取值范围． ，

【分析】根据函数y＝【解答】解：∵函数y＝

∴x+2≠0， 解得，x≠2， 故答案为：x≠﹣2．

10．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≥﹣ ． 【分析】根据一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根得到△≥0，即△＝1﹣4（﹣m）≥0，求出m的取值范围即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根， ∴△≥0，

∴△＝1﹣4（﹣m）≥0，即m≥﹣， 故答案为：m≥﹣．

11．有一枚材质均匀的正方体骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，掷一次该骰子，向上的一面出现的点数大于2的概率是

．

【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数大于2的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：抛掷此正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上的一面出现的点数大于2的有3、4、5、6这4种结果，

所以向上的一面出现的点数大于2的概率为＝， 故答案为：．

12．已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是 y1＜y2 ．

【分析】根据函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性进行判断即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣2＜﹣1， ∴y1＜y2． 故答案为：y1＜y2．

13．空气质量检测标准规定：当空气质量指数W≤50时，空气质量为优；当50＜W≤100时，空气质量为良，当100＜Q≤150时，空气质量为轻微污染．已知某城市4月份30

天的空气质量状况，统计如表： 空气质量指数（W）

天数

40 3

60 5

90 10

110 7

120 4

140 1

这个月中，空气质量为良的天数的频率为 0.5 ． 【分析】用空气质量为良的天数除以30即可得． 【解答】解：这个月中，空气质量为良的天数的频率为故答案为：0.5．

14．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝3AD，如果

，表示）．

＝，＝，那么

2+ （用＝0.5，

【分析】根据

＝

+

+

，只要求出

即可解决问题．

【解答】解：∵AD∥BC，BC＝3AD， ∴∵∴

＝3＝

＝3， +

+

，

＝﹣++3＝2+，

故答案为2+．

15．某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为 30.8 元．

【分析】设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，根据题意列出方程组，利用待定系数法求得解析式，然后把x＝10代入即可求得．

【解答】解：由图象可知，出租车的起步价是14元，在3千米内只收起步价， 设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，则

，解得

，

∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y＝2.4x+6.8， ∴出租车行驶了10千米则y＝2.4×10+6.8＝30.8（元）， 故答案为30.8．

16．已知⊙O1和⊙O2相交，圆心距d＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r的取值范围是 2＜r＜8 ．

【分析】根据圆与圆的位置关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：|3﹣r|＜5＜3+r， 解得：2＜r＜8， 故答案为：2＜r＜8．

17．如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 22.5 度．

【分析】设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．

【解答】解：设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y， 由题意得，解得：

，

，

答：该三角形的最小内角等于22.5°， 故答案为：22.5．

18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么

的值为

．

【分析】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，根据折叠的性质得

到AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，根据垂径定理得到CH＝CD，根据切线的性质得到OG⊥A′D′，设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E， ∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折，

∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B， 过O作OH⊥CD， ∴CH＝CD，

∵直线A′D′与⊙O相切， ∴OG⊥A′D′， ∵BC∥A′D′， ∴OG⊥BC，

∴则四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC， ∴CH＝OE，

设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x， ∴OE＝x， ∴OC＝OG＝x， ∴CE＝∴BC＝2CE＝2∴

＝

＝．

＝x， ，

＝

x，

故答案为：

三．解答题（共7小题）

19．计算：（）1+

﹣

﹣+|1﹣|．

【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝＝2+3＝

+3﹣2．

﹣

＝2．

+

﹣1

20．解方程：

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x（x+1）﹣6＝2x2+8x+6， 移项得：x2+x﹣6﹣2x2﹣8x﹣6＝0，

整理得：x2+7x+12＝0，即（x+3）（x+4）＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4， 经检验，x1＝﹣3是增根，舍去， ∴原方程的根是x＝﹣4．

21．如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y＝的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求

的值．

【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，得出AD∥BE，根据平行线分线段

成比例定理即可求得结论．

【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 又∵A（1，m）、B（n，﹣1）在反比例函数∴

，

，

的图象上

∴m＝3，n＝﹣3，

∴A（1，3）、B（﹣3，﹣1），

一次函数y＝kx+b的图象过A（1，3）、B（﹣3，﹣1）， ∴∴

，

，

∴所求一次函数的解析式是y＝x+2；

（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E， 则AD∥BE， ∴∴

．

，

22．如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．

【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥

AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长． 【解答】解：如图，

延长CD交AB于E， ∵i＝1：2.4， ∴∴

，

，

∵AC＝7.2， ∴CE＝3， ∵CD＝0.4， ∴DE＝2.6，

过点D作DH⊥AB于H， ∴∠EDH＝∠CAB， ∵∴

，

，

，

答：该车库入口的限高数值为2.4米．

23．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN． （1）求证：AB＝AC；

（2）联结OM、ON、MN，求证：

＝

．

【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则根据垂径定理可得答案； （2）联结OB，OM，ON，MN，先判定△BOM≌△AON（SAS），再证明△NOM∽△BOA，然后根据相似三角形的性质可得答案．

【解答】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：

∵AO平分∠BAC． ∴OD＝OE， ∴AB＝AC；

（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，

∵AM＝CN，AB＝AC ∴BM＝AN， ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠BAO， ∵∠BAO＝∠OAN， ∴∠B＝∠OAN，

∴△BOM≌△AON（SAS）， ∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON， ∴∠AOB＝∠MON， ∴△NOM∽△BOA， ∴

．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交

于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM． （1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标； （2）求sin∠BAM的值；

（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，求出B（0，3），而AO＝BO求出A（3，0），进而求解； （2）证明∠MBC＝90°，则

（3）证明∠BAM＝∠OAQ，即可求解．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点， 令x＝0得y＝3， ∴B（0，3）， ∵AO＝BO， ∴A（3，0），

把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0， 解得b＝2，

∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3， 顶点M（1，4）；

（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4）， ∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20， ∴∠MBC＝90°， ∴

（3）∵OA＝OB，

；

；

∴∠OAB＝45° ∵∠MAQ＝45°， ∴∠BAM＝∠OAQ， 由（2）得∴∴∴

∴OQ＝1， ∴Q（0，1）．

25．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC，AB＝BC＝1，E是边AB上一点，联结CE．

（1）如果CE＝CD，求证：AD＝AE；

（2）联结DE，如果存在点E，使得△ADE、△BCE和△CDE两两相似，求AD的长； （3）设点E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，如果AD＝，且M在直线AD上时，求

的值．

， ，

，

，

【分析】（1）过C点作CF⊥AD，交AD的延长线于F，可证四边形ABCF是正方形，可得AB＝BC＝CF＝FA，由“HL”可证Rt△CBE≌Rt△CFD，可得BE＝FD，可得结论； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和直角三角形的性质可求解；

（3）连接EM交CD于Q，连接DN交CE于P，连接ED，CM，作CF⊥AD于F，由轴对称的性质可得∠CPD＝∠CQE＝90°，DC垂直平分EM，由HL可证Rt△CBE≌Rt△CFM，可得BE＝FM，由勾股定理可求BE的长，CE的长，通过证明△CDP∽△CEQ，

可得，即可求解．

【解答】证明：（1）如图，过C点作CF⊥AD，交AD的延长线于F，

∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC， ∴四边形ABCF是正方形， ∴AB＝BC＝CF＝FA， 又∵CE＝CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝FD， ∴AD＝AE；

（2）①若∠EDC＝90°时，

若△ADE、△BCE和△CDE两两相似，

那么∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE＝30°， 在△CBE中，∵BC＝1， ∴∵AB＝1， ∴∴

，

，

，

，

此时

∴△CDE与△ADE、△BCE不相似； ②如图，若∠DEC＝90°时，

≠，

∵∠ADE+∠A＝∠BEC+∠DEC，∠DEC＝∠A＝90°， ∴∠ADE＝∠BEC，且∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE∽△BEC， ∴∠AED＝∠BCE， 若△CDE与△ADE相似， ∵AB与CD不平行， ∴∠AED与∠EDC不相等， ∴∠AED＝∠BCE＝∠DCE， ∴若△CDE与△ADE、△BCE相似， ∴

∴AE＝BE， ∵AB＝1， ∴AE＝BE＝， ∴AD＝；

（3）连接EM交CD于Q，连接DN交CE于P，连接ED，CM，作CF⊥AD于F，

，

∵E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N， ∴∠CPD＝∠CQE＝90°，DC垂直平分EM， ∠PCD＝∠QCE， ∴△CDP∽△CEQ， ∴

，

，AB＝BC＝1，

∵AD∥BC，AB⊥BC，∴

，

∵CD垂直平分EM， ∴DE＝DM，CE＝CM，

在Rt△CBE和Rt△CFM中，CB＝CF，EC＝CM， ∴Rt△CBE≌Rt△CFM（HL） ∴BE＝FM，

设BE＝x，则FM＝x，

∵ED＝DM，且AE2+AD2＝DE2， ∴∴∴∴

， ，

， ，

∵DN＝2DP，EM＝2EQ，

∴

．