(完整版)初中几何题练习

初中几何练习题

一． 三角形

1.三角形的有关概念 一、填空题：

1、三角形的三边为1，1a，9，则a的取值范围是 。

2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。 3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B),则∠C＝ 度.

4、如果△ABC的一个外角等于1500，且∠B＝∠C，则∠A＝ 。

5、如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是 。

6、如图，在△ABC中，∠A＝800,∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D,那么∠BDC＝ 。 7、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm,△CBD的周长为28 cm，则DB＝ 。

8、纸片△ABC中，∠A＝65，∠B＝75，将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内（如图）,若∠1＝200，则∠2的度数为 。

9、在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于点O,则∠BOC＝ 。

A0

0

CA1BCFDCDEABB2E

第6题图

第7题图

第8题图

二、选择题：

1、若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ）

A、6个 B、7个 C、8个 D、9个 2、在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ )

1

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A、300 B、360 C、450 D、720

3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为( ） A、7 B、11 C、7或11 D、不能确定 4、在△ABC中，∠B＝50,AB＞AC，则∠A的取值范围是（ )

A、00＜∠A＜1800 B、00＜∠A＜800 C、500＜∠A＜1300 D、800＜∠A＜1300

5、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍,且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 三、解答题：

1、有5根木条，其长度分别为4，8，8,10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形?

0

2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后,能否组成三角形？若能,它能构成直角三角形吗？为什么？

3、如图，在△ABC中，∠A＝960,延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2,依此类推,∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5的大小是多少？

AA1A2BCD第3题图

2

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4、如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动）,∠AON＝60，填空：

（1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形； （2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形； （3）当OP满足 时，△AOP为锐角三角形； （4）当OP满足 时,△AOP为钝角三角形。

A0

a600OPN 2、等腰三角形 一、填空题：

第4题图

1、等腰三角形的两外角之比为5∶2，则该等腰三角形的底角为 。

2、在△ABC中，AB＝AC,BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E为垂足,则∠C＝ 。 3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为 。

4、在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上,且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为 . 5、如图，AB＝BC＝CD,AD＝AE,DE＝BE，则∠C的度数为 。

AAAPDEBCE1D2HF3C4GBCBD

第5题图

第6题图

第7题图

6、如图，D为等边△ABC内一点，DB＝DA,BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，则∠BPD＝ . 7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，已知下列四个式子：

3

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①∠1＝（∠2＋∠3） ②∠1＝2（∠3－∠2）

1211③∠4＝（∠3－∠2） ④∠4＝∠1

22其中有两个式子是正确的,它们是 和 . 二、选择题：

1、等腰三角形中一内角的度数为500，那么它的底角的度数为（ ） A、500 B、650 C、1300 D、500或650

2、如图,D为等边△ABC的AC边上一点，且∠ACE＝∠ABD,CE＝BD，则△ADE是（ ） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、不等边三角形 D、等边三角形

AEFQDBCBDCPSEA

第2题图

第3题图

3、如图,在△ABC中，∠ABC＝600，∠ACB＝450,AD、CF都是高，相交于P,角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，那么图中的等腰三角形的个数是( ） A、2 B、3 C、4 D、5

4、如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB,且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18,则△AMN的周长是（ ）

A、30 B、33 C、36 D、39

DANBOMCECAB

第4题图

第5题图

12125、如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝DC＝DE,则∠D＝（ ）

4

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A、300 B、450 C、600 D、67。50 三、解答题:

1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点,且BD＝CE，∠DEF＝∠B。求证：△DEF是等腰三角形。

ADFBEC

第1题图

2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地.请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

3、如图,在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D，求证：AC＝2BD。

AEDBC

第3题图

4、在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE＝600，AE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论。 3、全等三角形 一、填空题:

1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，则∠A＝ 度。

2、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC,那么图中有全等三角形 _________对。

5

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3、如图，在△ABC中,∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是 .

AEDAAEHDCBFCCDBB

第2题图

第3题图

第4题图

4、如图，在△ABC中,AD⊥BC，CE⊥AB,垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ,使△AEH≌△CEB。

5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折,使C点落在E处,BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段 (不包括AB＝CD和AD＝BC）.

6、如图,∠E＝∠F＝900，∠B＝∠C，AE＝AF。给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN.其中正确的结论是 _（填序号)。

EDAFMGEEAODCMDEACBO1ABC2FNBBFC填空第5题图 填空第6题图 选择第1题图 选择第2题图

二、选择题：

1、如图,AD⊥AB，EA⊥AC,AE＝AD，AB＝AC，则下列结论中正确的是( ） A、△ADF≌△AEG B、△ABE≌△ACD

C、△BMF≌△CNG D、△ADC≌△ABE

2、如图,AE＝AF,AB＝AC,EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（ ) A、600 B、700 C、750 D、850

3. 三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）

6

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A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等 三、解答题：

1、如图,∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求证:△ABE和△BDC是等腰三角形.

D4E31AB2C解答题第1题图

2、如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点.

(1)求证:AF⊥CD；(2）在你连结BE后，还能得出什么新结论?请再写两个.

ABECFD解答题第2题图

3、（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求证：△ABC≌△DEF；

（2）上问中,若将条件改为AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700,结论是否还成立,为什么？

7

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4、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD,P为∠MON的平分线上一点。问：

（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由. （2)△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。

BAPOCDNM解答题第4题图

5、如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD。

（1）根据所给条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系?请你对结论予以证明。 （2)若△ACE和△BDF不全等，请你补充一个条件,使得两个三角形全等,并给予证明。

CFAEBD 解答题第5题图

二．四边形

一、填空：

1、对角线______________平行四边形是矩形.

2、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38,AD＝14，那么△OBC的周长等于______________

A

D A O ⑴

C B O D A D A F E C ⑷

D B ⑵

C B ⑶

E 8 C B (完整版)初中几何题练习

3、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝_______，∠D＝_______

4、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿__________cm。 5、已知菱形的一条对角线长为12cm,面积为30cm，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。

6、菱形ABCD中，∠A＝60o,对角线BD长为7cm,则此菱形周长__________cm. 7、如果一个正方形的对角线长为2，那么它的面积____________.

8、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o，AB＝8,则矩形对角线的长____________ 9、如图3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长_______。 10、正方形的对称轴有________条

11、如图4,BD是□ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________

12、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出___________张。 二、选择题：

13、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）

A、1：2：3:4 B、1：2：2：1 C、2：2：1：1 D、2:1：2：1 14、菱形和矩形一定都具有的性质是( ）

A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分 D、对角线互相平分且相等 15、下列命题中的假命题是（ ）

A、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等 B、对角线相等的四边形是等腰梯形

9

2

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C、等腰梯形是轴对称图形 D、等腰梯形的对角线相等

16、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（ ）

A、AO＝OC，OB＝OD B、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD C、AO＝OC,OB＝OD，AC⊥BD D、AO＝OC＝OB＝OD 17、给出下列四个命题

⑴一组对边平行的四边形是平行四边形 ⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 ⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形

⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。 其中正确命题的个数为（ )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

18、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（ ）

中 点 中 点 中 点

A B C D 三、解答题

19、如图：在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25o，

求∠C、∠B的度数。

D

A E C

B

20、已知在梯形ABCD中,AD∥BC，AB＝DC,∠D＝120o,对角线CA平分∠BCD,且梯形的周长20，

10

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求AC。

A B D C 21、如图：在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，CE＝CF. ⑴△BCE与△DCF全等吗？说明理由；⑵若∠BEC＝60o,求∠EFD。

A B D E 60o

C F

22证明题：如图，△ABC中∠ACB＝90o，点D、E分别是AC，AB的中点,点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A。 求证：四边形DECF是平行四边形。

A D

E

F

C

B 23、已知：如图所示,△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB,要使四边形AEDF是菱形,在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是_________________________， 试证明:这个多边形是菱形。

A E B

F C

D

11

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24、应用题

某村要挖一条长1500米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0。8米，渠底宽为1.2米，腰与渠底的夹角为135，问挖此渠需挖出土多少方？

o

25、(10分）观察下图

⑴正方形A中含有＿＿＿＿＿个小方格，即A的面积为＿＿＿＿个单位面积。 ⑵正方形B中含有＿＿＿＿＿个小方格，即B的面积为＿＿＿＿个单位面积。 ⑶正方形C中含有＿＿＿＿＿个小方格,即C的面积为＿＿＿＿个单位面积. ⑷你从中得到的规律是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

C A B （1)三角形的有关概念答案

一、填空题：1、9a7；2、2;3、1200；4、300或1200；5、∠DCB；6、500；7、8cm；8、600；9、1300；

12

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二、选择题：CBCBB 三、解答题：

1、6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10;8、8、12;8、10、12、4、10、12）

2、可以，设延伸部分为a,则长为2a，3a，5a的三条线段中，5a最长∵

(2a)(3a)(5a)a0 ∴只要a0，长为2a，3a，5a的三条线段可以组成三角形，

设长为5a的线段所对的角为，则为△ABC的最大角，又由(2a)2(3a)2(5a)2a212，当a2120，即a23时，△ABC为直角三角形。 3、30

4、（1）a；（2）2a或；(3）＜OP＜2a；（4）0＜OP＜或OP＞2a （2）等腰三角形参考答案

一、填空题:1、300；2、720;3、15；4、360；5、360；6、300；7、①③ 二、选择题：DDDAC

三、解答题：1、证△DBE≌△ECF

2、提示：分两种情况讨论。不妨设AB＝10米，作CD⊥AB于D,则CD＝6米。（1）当AB为底边时，AC＝BC＝61米；

（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时，AB＝AC＝10米，BC＝210米； （3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB＝BC＝10米，AC＝610米； 3、提示:延长AD交BC于点M。 4、△ADE为等边三角形。 （3）全等三角形参考答案 一、填空题：

1、32；2、3;3、15;4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等； 5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；6、①②③ 二、选择题：BBDA 三、解答题：

1、略； 2、（1）略；(2）AF⊥BE，AF平分BE等； 3、（1)略；（2）不成立，举一反例即能说明；

13

a2a2a2(完整版)初中几何题练习

4、（1）不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有AB＝CD,而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。(2)面积相等，因为OP为∠MON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等,即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等，又根据AB＝CD(即底边也相等）从而△ABP与△PCD的面积相等。

5、(1）△ACE和△BDF的对应角相等;（2)略

(4）四边形答案

一、⑴相等；⑵45；⑶∠A＝120o，∠D＝60o;⑷22.5，12。5；⑸5;⑹28;⑺1；⑻16；⑼15;⑽4；⑾略；⑿3。 二、⒀D；⒁C；⒂B；⒃B；⒄B；⒅B 19、解：∠BAD＝2∠DAE＝2×25o＝50o (2分）

又∵□ABCD ∴∠C＝∠BAD＝50o （4分）∴AD∥BC ∴∠B＝180o－∠BAD (6分）＝180o－50o＝130o (8分）

20、解：∵AD∥BC ∴∠1＝∠2 又∠2＝∠3∴∠1＝∠3 AD＝DC （2分）

又AB＝DC 得AB＝AD＝DC＝x

180o120o30o 在△ADC中∵∠D＝120 ∠1＝∠3＝

2o

又∠BCD＝2∠3＝60 ∴∠B=∠BCD=60 （4分） ∠BAD＝180o－∠B－∠2＝90o ∠2＝30o

则BC＝2AB＝2x （6分)xxx2x20　　x4

B oo

A 1 D 3 2 C AB＝4 BC＝8 在Rt△ABC中AC＝824241243 （8分） 21、⑴△BCE≌△DCF 理由：因为四边形ABCD是正方形∴BC＝CD,∠BCD＝90o

∴∠BCE＝∠DCF 又CE＝CF ∴△BCE≌△DCF （4分) ⑵∵CE＝CF∴∠CEF＝∠CFE ∵∠FCE＝90o∴∠CFE＝(180o90o)45o

又∵△BCE≌△DCF ∴∠CFD＝∠BEC＝60o （6分)

14

12(完整版)初中几何题练习

∴∠EFD＝∠CFD－∠CFE＝60o－45o＝15o (8分）

22、证明:∵D、E分别是AC、AB的中点 ∴DE∥BC （1分）

∵∠ACB＝90 ∴CE=AB＝AE （3分)∵∠A＝∠ECA ∴∠CDF＝∠A (4分) ∴∠CDF＝∠ECA ∴DF∥CE ∴四边形DECF是平行四边形 23、答条件AE＝AF（或AD平分角BAC，等)

证明：∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 （6分）

又AE＝AF ∴四边形AEDF是菱形（8分）

24、如图所示设等腰梯形ABCD为渠道横断面,分别作DE⊥AB,CF⊥AB （2分）

垂足为E、F则CD＝1。2米,DE＝CF＝0。8米∠ADC＝∠BCD＝135o (4分） AB∥CD ∠A+∠ADC＝180o ∴∠A＝45o＝∠B

A E F B o

12又DE⊥AB CF⊥AB ∴∠EDA＝∠A ∠BCF＝∠B D ∴AE＝DE＝CF＝BF＝0.8米

又∵四边形CDEF是矩形 ∴EF＝CD＝1.2米 （6分） S梯形ABCD＝(ABCD)DE(1.20.821.2)0.81.6 ∴所挖土方为1。6×1500＝2400(立方米） (8分）

1212C （解析：解决本题的关键是数学建模，求梯形面积时,注意作辅助线，把梯形问题向三角形和矩形转化）

25、①4，4②9，9③13，13④在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方

《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念： 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;

15

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（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线)； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内； 2、点在圆上  dr  点B在圆上； 3、点在圆外  dr  点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点； 2、直线与圆相切  dr  有一个交点； 3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

ArBdCdOrdd=rrd

四、圆与圆的位置关系

外离(图1） 无交点  dRr; 外切（图2） 有一个交点  dRr； 相交（图3） 有两个交点  RrdRr； 内切(图4） 有一个交点  dRr； 内含（图5) 无交点  dRr；

dR图1rRdr图2dR图3r

d

图4RrdrR图516

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五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.

推论1：(1)平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：

①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD

COABCBADOED例题1、 基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（ ）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（ ）．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理

1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示，如果油的最

大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm,那么油的最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙O中,弦ABCD，且ABCD，垂足为H，OEAB于E，OFCD于F。

（1)求证：四边形OEHF是正方形。

（2）若CH3，DH9,求圆心O到弦AB和CD的距离.

4、已知：△ABC内接于⊙O,AB=AC，半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长． 5、如图，F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是

17

1的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

2(完整版)初中几何题练习

AEBDOCF例题3、度数问题

1、已知：在⊙O中，弦AB12cm，O点到AB的距离等于AB的一半,求：AOB的度数和圆的半径.

2、已知：⊙O的半径OA1，弦AB、AC的长分别是2、3。求BAC的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长。

A O E B D C

例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离。

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小分别为a,b.求证：ADBDa2b2.

圆的半径

例题7、平行与相似

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AECD于E，BFCD证：ECFD.

于F。求

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论, 即：①AOBDOE;②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

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AODCEFB(完整版)初中几何题练习

七、圆周角定理

1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴AOB2ACB

BOAC一半。

2、圆周角定理的推论：

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等弧；

即:在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角 ∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对是直径。

即：在⊙O中,∵AB是直径 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角即:在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边的一半的逆定理。

BDC的圆周角所对的弧是等

BOAC的弧是半圆，所对的弦

BOAC形是直角三角形.

OA斜边上的中线等于

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?

【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

【例3】如图所示,已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

(1）求证:AC⊥OD; (2）求OD的长； （3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

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【例4】四边形ABCD中，AB∥DC,BC=b，AB=AC=AD=a，如图,求BD的长．

【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦,当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时,则有AC·AC＋BC·BC=AB．

（1)如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB是否成立？请说明理由．

（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB= 写相应结论，并证明你填写结论的正确性．

2

2

2

．参照（1）填

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角. 即：在⊙O中，

CD ∵四边形ABCD是内接四边形 ∴

DAEC

CBAD180

BAEBD180

例1、如图7—107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．

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九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN过半径OA外 ∴MN是⊙O的切线

O端

（2)性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB PO平分BPA

PBMANO

A利用切线性质计算线段的长度

例1：如图，已知：AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D,又PC=4，⊙O的半径为3．求：OD的长．

利用切线性质计算角的度数

例2：如图，已知:AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，

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且AF=BF．求：∠A的度数．

利用切线性质证明角相等

例3:如图，已知：AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：∠MCN=∠MDN．

利用切线性质证线段相等

例4：如图,已知：AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：CD=CE．

利用切线性质证两直线垂直

例5：如图，已知：△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D,DE切⊙O于D,交AC于E．求证：DE⊥AC．

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十一、圆幂定理

（1)相交弦定理:圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， ∴PAPBPCPD

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所例中项。

即：在⊙O中，∵直径ABCD， ∴CE2AEBE

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ PAPCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中,∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE

例1。如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

2BOPCAD等。

CBOEDA成的两条线段的比

ADPCOBE切线长是这点到割线

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

图2

例3。如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm.

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图3

例4。如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证:

；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

例5。如图5，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证:AD·BC＝CD·AB

图5

例6。如图6，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

图6

求证:BC＝2OE。 十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

A如图:O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点

O1BACO2O2 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

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BO1(完整版)初中几何题练习

（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长:CO2是半径之和 . 十四、圆内正多边形的计算 (1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：

OBACOD:BD:OB1:3:2;

DBOAC（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行,OE:AE:OA1:1:2：

ED（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，

AB:OB:OA1:3:2.

AOB

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式:lAnR； 180OSlnR21lR （2)扇形面积公式： S3602n:圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

S表S侧2S底=2rh2r2

BADBD1母线长底面圆周长（2）圆柱的体积:Vr2h 3 .圆锥侧面展开图

（1）S表S侧S底=Rrr2

OCB1C11(2）圆锥的体积：Vr2h

3

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ACrRB(完整版)初中几何题练习

圆复习测试

班级________学号_________姓名_________________

一、填空(每题2分,共30分)

1、在⊙O中，AB是直径,CD是弦,若AB⊥CD于E,且AE=2,BE=8，则CD=______.

2、在圆内接四边形ABCD中，若AB=BC=CD，AC是对角线，∠ACD=30°，则∠CAD=______°. 3、如图1，∠APC=30°，弧BD等于30°，则弧AC等于_______°,∠AEB=_____°. 4、过⊙O内一点P，的最长弦是10,最短的弦是6，那么OP的长为____________.

5、圆内相交的两弦中，一弦长是20，且被交点平分,另一弦被交点分成两线段之比是1：4，另一弦长是

____________.

6、在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B:∠C=5：2：1，则∠D=_______.

7、若PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=60°,OP=12，则OA=______,PB=________.

8、⊙O的内接正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，AE的延长线交⊙O于F，则EF=______

9、△ABC中,∠A=80°，若O1是内心,则∠BO1C=_____;若O2是外心，则∠BO2C=______。 10、如图2，AB=BC=CD，过点D作B的切线DE，E为切点，过C点作AD的垂线交DE于F，则EF：FD=___________

（填比值）。

11、如图3，⊙O中弦AD、CE相交于点F，过点A作⊙O的切线与EC延长线相交于点B,若AB=BF=FD，BC=1，

CE=8，则AF=______________。

12、如图4，PAB、PCD是⊙O的两条割线。且PA=AB,CD=3PC，则PC：PA=______. 二、选择题(每题3分，共27分)

1、下列命题中假命题是 （ ) A．相等的圆心角所对的弧相等 B．圆内接四边形对角互补 C．一条弧的对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍 D．直径所对的圆周角是直角 2、圆的外切平行四边形为 （ ） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形

3、已知⊙O的半径为6cm,⊙O的一条弦AB的长为63cm,则弦AB所对的圆周角是 （ ）

A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°

4、若两半径分别是R和r,圆心距是d,且d2r2R22dr,则两圆位置关系是( ） A．外切或内切 B．外离 C．相交 D．内含

5、已知两圆的半径分别是方程x211x20的两根，圆心距为12,那么两圆公切线的条数是

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（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6、半径为为25cm的⊙O中,弦AB=40cm,则此弦和所的对弧的中点的距离是( ） A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm和40cm

7、圆心在x轴上的两圆相交于A、B两点,A点的坐标为(3,2)，则B点的坐标是（ ） A．3,2) B．(3,2) C．(3,2) D．(2,3) 8、如图5,ABCD为⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD,并与BD交于E点，，的延长线交于F,图中的四个三角形：①△CAF；②△ABC;③△ABD；④定相似的是 ( )

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②9、以长为a的线段AB为斜边的Rt△ABC的直角顶点C的轨迹是（ )

a A．与AB平行且到AB距离为的一条直线；

2a B．与AB平行且到AB距离为的二条直线;

2a C．以AB的中点为圆心，为半径的一个圆；

2 D．以AB为直径的一个圆(A、B两点除外）。 三、计算题（18分）

1、已知：⊙O的外切等腰梯形的中位线长为10,两底长的差为12，求⊙O的半径.

CF切⊙O于C点并与AD△BEC，其中与△CDF一④

2、如图,AB是⊙O的直径，PCM与⊙O相切于点C,且∠ACM=57°，求P的度数。

3、如图，△ABC中，∠C=90°，点O在BC边上，半圆O过点C,切AB于点D,交BC于E，又BE=1，BD=2，求AD的长。

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三、证明题（25分）

1、如图，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线,切点为B，OC∥弦AD。 求证：DC是⊙O的切线。

2、如图：PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于点B、C，M是D。求证：PD2PBPC

弧BC的中点，AM交BC于点

3、如图，已知：ADB、AEC是⊙O的两条割线，PA∥ED交CB的延长线于点P,PE切⊙O于点F。

求证：PA=PF。

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附加题

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆分别交BC、AC于D、G，作DE⊥AC于E,连结BE交⊙O于F。

求证:（1）DE为⊙O的切线；

（2）DG=DC；

（3)AE·EC=BE·EF

一、选择题（每题7分,共28分)

1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

2．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2︰3︰6,则∠D的度数是（ ） (A）67。5° （B)135° (C)112。5° （D）110°

3．△ABC的三边长分别为a、b、c,它的内切圆的半径为r,则△ABC的面积为( ）

11（A)（a＋b＋c）r （B）2（a＋b＋c）（C）（a＋b＋c）r（D）(a＋b＋c）r

234．已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是………（ ) （A）0＜d＜3 r （B)r＜d＜3 r （C）r≤d＜3 r （D）r≤d≤3 r

二、填空题（每题7分,共28分）

5．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．

6．已知两圆的圆心距为3，半径分别为2和1，则这两圆有______条公切线． 7．边长为2 a的正六边形的面积为______．

2

8．用一张面积为900 cm的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径 为_____．

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三、判断题(每题3分，共15分)

10．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………( ） 11．各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………( ） 12．正五边形既是轴对称图形,又是中心对称图形…………………………………（ ） 13．三角形一定有内切圆………………………………………………………………（ ） 14．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………( ）

四、解答题：（第一题11分，第二题18分，共29分）

15．（11分）如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE＝1 cm，EB＝5 cm，

∠DEB＝60°，求CD的长．

16。（18分)如图,⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧

结AD并延长，与过C点的切线交于P,OD与BC相交于点E． （1）求证OE＝

的中点，连

1AC； 2DPBD2（2）求证：＝; 2APAC（3)当AC＝6,AB＝10时,求切线PC的长．

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