七年级数学不等式与不等式组讲义

不等式与不等式组

知识点一（不等式和不等式组的概念和解法） 【知识梳理】

1.不等式的概念

用不等号（“＜”、“＞”、“≠”＝）表示不等关系的式子，叫做不等式。 常见的不等号有“＜”、“＞”、“≠”、“≤”、“≥”。 掌握表示不等关系的记号

2.不等式的解

22x50成立。像x取70时不等式x50不成立。与方程332类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。例如90是x50的解，而70不是不等式

32x50的解。 3 像x取某些值（如90,120）时，不等式3.不等式的解集 当x>75时

22x50总成立，当x<75时x50不成立，这就是说任何一个大于75的数都是不等式3322x50的解，这样的解有无数个。因此，x>75表示了能使x50成立的x的取值范围，叫做不等式332x50的解的集合，简称解集，这个解集可以用数轴来表示。 3说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

用数轴表示解集:

第一步: 画数轴 第二步: 定界点 第三步; 定方向 “＞” “＜”是空心； “≥” “≤”是实心 “＞” “≥”向右画； “＜” “≤” 向左画

1

4.不等式的性质

不等式的基本性质 性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方一般形式 若ab，则acbc 向不变。 性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 5.一元一次不等式

类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。例如

若ab，c0则acbc（或ab） cc若ab，c0则ac＜bc（或ab） cc2x50是一元一次不等式。 36解不等式

1、解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 2、解一元一次不等式的步骤：

(1)去分母 不等式的性质2

注意：用分母的最小公倍数乘遍不等式的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利

用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号.

(2)去括号 去括号法则、乘法分配律

注意：严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内

各项的符号一定要变号.

(3)移项 不等式的性质1

注意：越过“不等号”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号；,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。 (4)合并同类项 合并同类项法则

注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变. (5)系数化为1 不等式的性质2或3

两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒，同时注意不等号的方向变化。

2

(6)检验

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．

【例题精讲】

题型一：不等式的基本概念

例1.下列式子①3x5；②a2；③3m14；④5x6y；⑤a2a2；⑥12中，不等式有( )个

A､2

B､3

C､4

D､5

例2.在数轴上与原点距离小于3的点对应的x满足（ ）

A､3x3

B､x3

C､x3

D､x3或x3

例3.如果关于x的不等式(a1)xa1的解集为x1，那么a的取值范围是( )

A､a0

题型二：不等式的基本性质

1、下列说法中：①若ab，则ab0；②若ab，则acbc；③若acbc，则ab；④若

22

B､a0

C､a1

D､a1

ac2bc2，则ab.正确的有( )

A､1个 2、若

B､2个

C､3个

D､4个

aa，则a一定满足( ) 32

B､a0

C､a0

D､a0

A､a0

x2x20050，求代数式（x1）2的值是________ 3、已知正整数x满足3

3

题型三：一元一次不等式

例1. 若(m2)x2m115是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为__________________

例2.若(m1)x±1

m20是关于x的一元一次不等式，则m（ ）

B．1

C．-1

D．0

题型四：解一元一次不等式 例1. 解下列不等式

11211(3y1)yy1. （2） x[x(x1)](x1).

5223（1）2

0.4x0.90.030.02xx50.50.032（3）

x例2. 已知a,b,c,d为实数，现规定一种新的运算adbc，则不等式2cd2abx131的解1为 ．

例3. 若a1，Ma, Na22a1,P,则M、N、P的大小的关系是（ ） 33A PNM B. MNP C．NPM D. MPN

4

例4. 已知A2x3x2，B2x4x5，试比较A与B的大小．

题型五：解一元一次不等式组

222x3x482x例1.不等式组的最小整数解为（ ）

A.-1 B.0 C.1 D.4

1例2.满足不等式

2x123的非负整数解的个数是（ ）

A.5 B.4 C.3 D.无数个

【课堂练习】

1. 已知x2的最小值是a，x6的最大值是b，求ab________ 2. 如果mn0，下列结论中错误的是( )

A､m9n9

B､mn

C､

11 nm D､

m1 n3. 若aba，abb，则有( )

A､ab0

B､

a 0 bC､ab0

D､ab0

5

4. 下列不等式变形正确的是( )

A､由ab，得acbc

B､由xy，且m0，得xy mm2222C､由xyx5. 已知ab0，比较下列各数的大小

ab和ab

（1）

（2）

aa3和4 22（3）ab4和422

6. 比较下列各组中算式结果的大小：

（1）4+3_____2×4×3；

（2）（-2）+1_____2×（-2）×1； （3）2+2_____2×2×2．

通过观察，归纳比较2006+2007_____2×2006×2007，并写出能反映这种规律的一般结论。

7. 若

2

2

2

2

2

2

2

2

12m1x85是一元一次不等式，则m值为（ ） 2

B．1

C．2

D．3

A．0 y8.

3x17x32(x2)3y82(10y)2 1.

3735159. 求不等式

2(4x3)5(5x12)的所有负整数解． 36 6

知识点二（不等式应用题） 【知识梳理】

用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵ 未知数； ⑶ 出不等式； ⑷ 出不等式的解集； ⑸ 出符合题意的值； ⑹ 作答。

【例题精讲】

题型一、分配问题

例1学校将若干间宿舍分给某班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满．有多少间宿舍，多少名女生？

题型二、积分问题

例2某次数学测验共20道题（满分100分）．评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答，那么他至少答对几道题才能达到良等（80分及以上为良等）．

7

题型三、行程问题

例3向灾区运送物资，共有120公里路程，计划需要1小时送到．已知前半小时已经走了50公里，则后半小时速度多大才能保证及时送到？

题型四、工程问题

例4用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完．B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？

题型五、浓度问题

例5一种灭虫药粉30千克，含药率是15%，现在要用含药率比较高的同种药粉50千克和它混合，使混合后的含药率大于20%．求所用药粉的含药率的范围．

题型六、销售问题

例6水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？．

8

【课堂练习】

1.一个工程队原定在10天内至少要挖土600m，在前两天一共完成了120m，由于整个工程调整工期，要

3

33求提前两天完成挖土任务.问以后6天内平均每天至少要挖土多少m．

2．“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？

3．某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元。另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？

4．水果店进了某种水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？

5．九年三班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：“假如我把43本书分给各个小组，若每组8本，还有剩余；若每组9本，却又不够.你知道该分几个小组了吗？”请你帮助班长分组．

9

6．为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划.如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将不超过2200度.若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？

7.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：

型号 A 2占地面积(单位: m/个 ) 使用农户数(单位:户/个) 造价(单位: 万元/个) 2 3 15 18 B 20 30 2已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m，该村农户共有492户． (1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程． (2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．

8.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A.B两种型号的设备，其中每台的价格.月处理污水量及年消耗费如下表：（12分）

价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） 年消耗费（万元/台） A型 12 240 1 B型 10 200 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。 （1）请你设计该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案； （3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限10年，污水厂处理污水费为每吨

10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节

10

约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费

课后作业

一、选择题(每小题2分，共16分)

1.“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是( ) A.2x38 B. 2x38 C2x38. D. 2x38 2.下列不等式一定成立的是( ) A. 5a4a5a＞4a B. x2x3x+2＜x+3 C. a2a－a＞－2a D.

3.如果x3，那么下列不等式成立的是( ) A. x23x B. x23x C. x23x D. x23x

4.不等式3x60的正整数有( ) A.1个

B.2个 C.3个 D.无数多个

5.若m满足mm，则m一定是( ) A.正数

B.负数 C.非负数 D.任意

6.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足( ) A.－8＜x＜8 B.x＜－8或x＞8 C.x＜8 D.x＞8

7.若不等式组xm11无解，则m的取值范围是( )

xA. m11

B. m11 C. m11 D. m11

8.要使函数y(2m3)x(3n1)的图象经过x,y轴的正半轴，则m与n的取值应为( ) A. m32,n131313 B. m3,n3 C. m2,n3 D. m2,n3

二、填空题(每小题2分，共16分) 9.不等式62x0的解集是________ 10.当x________时，代数式

3x25的值是非正数. 11.当m________时，不等式(2m)x8的解集为x82m. 12.若xa32，ya23，且x2y，则a的取值范围是________. 13.已知三角形的两边为3和4，则第三边a的取值范围是________.

11

42aa

14.不等式组

15.某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了(m5)%(m5)后，仍不低于原价，则m的值应为________.

三、解答题(17~20小题每小题10分，21、22小题每小题14分，共68分) 16.解不等式(组)

x2m1的解集是xm2x＜m－2，则m的取值应为________.

xm25x62(x3)(1)2(x3)1 (2)x x3134

2xy1m17.已知方程组的解x、yy满足xy0，求m的取值范围.

x2y2

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20.如图1所示，小李决定星期日登A、B、C、D中的某山，打算上午9点由P地出发，尽可能去最远的山，登上山顶后休息一小时，到下午3点以前回到P地.如果去时步行的平均速度为3km/h，返回时步行的平均速度为4km/h.试问小李能登上哪个山顶？(图中数字表示由P地到能登山顶的里程)

21.某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套.已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L型号的童装套数为x(套)，用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y(元).

(1)写出y(元)关于x(套)的代数式，并求出x的取值范围.

(2)该厂生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大利润是多少？

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