动态系统数字控制

一 两自由度的系统的振动控制

振动是普遍存在的物理现象，是受外界激励而使

系统包含的质量、弹性、阻尼等元件对外界激励的响应。在所有科学领域和日常生活中都会遇到各种不同程度的振动，基于振动对工业生产的重要影响，国内外许多学者在此领域进行了大量的研究。在机械结构的动力学特性研究上主要体现在以下几方面：(1) 建立振动模型；(2) 确定结构系统的动态特性；(3) 采用非比例阻尼方法准确估计系统的阻尼矩阵；(4) 基于实验数据结构的有限元模型修正等方面。

1 振动的模态及其分析方法

一般振动问题是由振动系统、激励和响应三部分组

成，三者间的关系可表示为如图1所示。振动问题的研究对象即为振动系统，外界激振力等因素叫做激励(输入)，作用于系统使之产生振动响应(输出)。振动问题就是从以上三者中，已知两个量来求解另一个参数。模态分析是振动研究中很重要的内容，所谓振动的模态是机械结构的一种属性。因此，以机械结构系统为对象进行振动

特性分析，可通过求取表征模态的性能参数来进行。

2 系统模型的建立与抽象

汽车是一个复杂的系统，在汽车行驶动力学中常把汽

车简化为二自由度对汽车进行模拟和分析。现在汽车的质量分配系数占约在l左右，所以前后轴的振动不会相互干涉。而最简单的二自由度车辆模型也能得到较为准确的基本形式特性⋯。因此，二自由度车辆模型在悬架设计中经常被采用。

在研究汽车的振动时，路面激励是汽车振动的重要激励来源。而路面激励按路面不平度的分类又可以分为两类。一类是离散事件激励，另一类是随机事件激励。对于第一类激励，可通过空间坐标系下路面几何构型的物理模型，直接获得其关于时间的确定性函数的描述；对于一般路面的路面激励为随机过程，而此类随机路面为各态历经的平稳随机过程，可由不同的方法根据路面不同的等级参数确定不同等级的路面。

下图可作为汽车震动系统的模型，在进行振动系统设计时,可以通过选择合理的振动系统参数，可以达到良好

的隔振效果，在一定程度上提高汽车的舒适性。

利用autocad建立其物理模型如下所示：

m1m2

3 编写数学方程

利用牛顿运动定律建立振动系统的动力学方程采用影响系数法求出系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵,从而建立系统的数学模型。

通过查找物理模型资料,可得出以下力学方程：

1z2um2z2k2z1z2cz1z2c2z0z1uz1k1z0z1k2z1z2czm1Fd=L1(PID公式)=L(K1pKIsKDs)

m2——车体质量； m1——轮胎质量； c ——被动悬架阻尼系数；

k1 ——轮胎刚度系数；k2 ——被动悬架刚度系数； z0——地面的扰动输入；

z1——轮胎变形； z2——车体位移 u ——控制力； 为了采用最优控制算法得到合适的控制力，将上式写成状态方程的形式。取状态变量为：

x1x2x3x4Z2TZ2Z1Z1T

;XX3= ZZ; XX4=Z 令XX1=Z0Z1; XX2=Z1212X=[XX1 XX2 XX3 XX4];

取输出变量为：Y=[ XX1

则系统的状态方程为：X.XX2 XX3

XX4]

AXBuLw

输出方程为：YCXDu

其中：A为状态矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，

D为直接转移矩阵。

1.最优控制原理

选取目标函数为：

J1q(y2011y3)qy2q4y4rudt222221Y20TQYru2dt

加权矩阵

q10Qq10Q：

0q200q10q10000q4

设计合理的控制为u，使得目标函数J最小。 稳定性：检查状态矩阵A的特征值是否实部全负。 可控性：决定了状态向量是否受控于u。

可观测性：决定了输出向量Y是否能够全部被观测。

通过对两自由度振动系统的仿真研究,为处理类似的多自由度振动系统仿真提供了参考方法,同时也可以应用于相关结构的优化设计。 4 仿真分析

运用MATLAB进行设计仿真有两种方法，分别是在MATLAB的Command 窗口输入命令和在Simulink模型窗口直接修改参数。此次两个模型仿真分别采用这两种方法。

下图为系统仿真图

在MATLAB的Command 窗口输入命令：

子程序：

function dx=active(t,x) global M m c ks kt w a K ct

xx1=a*sin(t)-x(3); xx2=x(4); xx3=x(3)-x(1); xx4=x(2);

xx=[xx1;xx2;xx3;xx4]; u=-K*xx;

dx=[x(2);

(u+c*(x(4)-x(2))+ks*(x(3)-x(1)))/M; x(4);

(-u-c*(x(4)-x(2))-ks*(x(3)-x(1))+kt*(a*sin(w*t)-x(3))+ct*(a*sin(w*t)-x(3)))/m];

主程序：

clear all pack

global M m c ks kt w a K ct

M=400; %车体质量 m=30; %轮胎质量 c=1265; %悬架阻尼 ks=13000; %悬架刚度 kt=130000; %轮胎刚度 w=30; %路面激励频率 a=0.01; %路面激励幅值 ct=0.001 %悬架阻尼 %状态方程

A=[0 -1 0 0;kt/m -c/m-ct/m -ks/m c/m;0 1 0 -1;0 c/M ks/M -c/M];

B=[0;-1/m;0;1/M];

C=[1 0 0 0;kt/m -c/m-ct/m -ks/m c/m;0 0 1 0;0 c/M ks/M -c/M]; D=B; eig(A) %可控性

cc=ctrb(A,B); ccc=rank(cc); if ccc==4

disp('系统可控') else

disp('系统不可控') end %可观测性 gg=obsv(A,C); ggg=rank(gg); if ggg==4

disp('系统可观测') else

disp('系统不可观测') end

q1=0;q2=1;q3=2000000;q4=2000000;

Q=[q1 0 0 0;0 q2 0 0;0 0 q3 0;0 0 0 q4]; r=0.001;

sys=ss(A,B,C,D); [K1,S,E]=lqry(sys,Q,r); K1 K=K1;

tt=0:0.01:100; x0=[.1;.1;.1;.1];

[T,X]=ode45('active',tt,x0); xx1=X(:,1); xx2=X(:,2); xx3=X(:,3); xx4=X(:,4); n=length(T); %下面求三个性能指标 for nn=1:n tt=T(nn);

xxx1=a*sin(w*tt)-xx3(nn); xxx2=xx4(nn);

xxx3=xx3(nn)-xx1(nn); xxx4=xx2(nn);

xxxx=[xxx1;xxx2;xxx3;xxx4]; U=-K*xxxx;

f1(nn)=(U+c*(xxx2-xxx4)+ks*xxx3)/M;

f2(nn)=(-U-c*(xxx2-xxx4)-ks*xxx3+kt*xxx1+ct*xxx1); end

f3=xx3-xx1; figure(1) hold on plot(T,f1,'k') figure(2) hold on plot(T,f2,'k') figure(3) hold on plot(T,f3,'k')

n=length(T); nn=fix(n*9/10);

s1=std(f1(nn:n)) s2=std(f2(nn:n)) s3=std(f3(nn:n))

1z2um2z2k2z1z2cz1z2c2z0z1uz1k1z0z1k2z1z2czm1

运行程序及分析仿真结果

图1 车体加速度

图2 轮胎动载荷

图3悬架变形

二 电机的调速跟踪系统模型

随着时代的进步和科技的发展，拖动控制的电机调速系统在工农业生产、交通运输以及日常生活中起着越来越重要的作用。因此，对电机调速的研究有着积极的意义。

交流电动机变频调速是近期发展起来的高新技术,它能无级调速,具有调速性能好,调速范围宽,反应速度快,精度高,效率高,能直接启动鼠笼式三相交流异步电动机,且变频器本身还具有体积小,重量轻,可靠性能强,节能效果好,使用寿命长等特点。这种调速技术在工业发达国家已普遍采用,是电气传动的主要发展方向。调速电机是利

用改变电机的级数、电压、电流、频率等方法改变电机的转速，以使电机达到较高的使用性能的一种电机。 长期以来，直流电机被广泛应用于调速系统中，而且一直在调速领域占居主导地位，这主要是因为直流电机不仅调速方便，而且在磁场一定的条件下，转速和电枢电压成正比，转动矩容易被控制；同时具有良好的起动性能，能较平滑和经济地调节速度。因此，采用直流电机调速可以得到良好的动态特性。

1 建立物理模型

在上图中，L和R为转子绕组的等效电感和等效电阻，E为反电动势。根据电路回路电压的平衡关系，得到

ViRLdidtE0 （1）

式中，E=kvw，kv是由永磁体的磁通密度、转子绕组的数目和铁芯的物理性质决定的速度常数，我是转子的角速度。

再根据电动机的力矩平衡关系式可以得到

TeTwTLJdwdt （2）

式中，Te是电动机的电磁力矩；Tw是转子速度产生的力矩；TL是电动机的负载力矩；J是转子和电动机负载的转动惯量。

电动机的电磁力矩与电流的大小成正比：

Tekti （3）

式中，kt是永磁体的磁通密、转载绕组的数目和铁芯的物理性质决定的力矩常数。 与转动速度有关联的力矩为

TwBw （4）

式中，B是整个机械旋转系数的阻尼常数。将上面的关系带入式（2）中得

ktiBwTLJdwdt （5）

由式（1）和式（3）可以得到直流电动机的完整描述：

didtRLktJikvLBJwVLTLJ （6）

dwdtiw （7）

写成状态空间形式：

R..Lik.twJy0kv1iLLBw0J0V 1TLJi1 w在零除始条件下对式（6）和式（7）进行拉式变换：

I(s)kvw(s)v(s)LsRktI(s)TL(s)JsB

w(s)

若忽略电动机的负载则系统可进一步简化系统，并可求得整个电动机的传递函数：

kv G(s)w(s)V(s)LJ

RBkkRJLB2tvs()sLJLJ给定系统参数：R=3.55；L=5.661023H，kv0.186，

kt=0.1848，J=610，B=110。在单位阶跃输入作用下，系统的Simulink仿真框图及仿真结果如图2和图3所

示。其中，单位阶跃输入模块的阶跃时间设置为零；仿真时间设置为0.02s。 2 仿真分析

在对参数修改时，只需要先双击该模块，在弹出的窗口中修改即可。主要利用Simulink工具箱中Continuous模块库中的transfer Fcn模块,根据已知条件设置惯性环节、放大环节、反馈环节的参数和初始条件等，得到的系统仿真图如图4所示。进行参数设定并利用simulink仿真：

传递函数模块transfer Fcn的值被设为(5.66e-3+3.5)-1, transfer Fcn1的值被设为(6e-5s+0.01)-1，它们的主要作用是滤波。

由于电机在运转时总会受到来自周围环境变化所带来的扰动，因此在控制电机转速时，这是必须考虑扰动问题。电机在受到扰动后会很快重新回到平稳运转状态，且所需调节时间较短。这是因为系统中的PID控制器在起作用。PID控制器能够预测偏差的变化。产生超前控制作用以阻止偏差的变化。因而能够改善系统动态性能。

PID环节各自发挥不同的效用，比例环节决定响应速度，跟偏差成正比，积分环节使系统稳定后没有静差，微分环节改善控制系统的响应速度，同时使相位超前，提高系统的相位裕度，增加系统的稳定性，但微分对噪

声干扰有放大作用，故这三个量需要不断调节达到最优。

该电机调速系统的设计原则就是简单易行，调节精度高，抗干扰能力强等等。

仿真结果如图4所示：

图4 similink仿真结果

局部放大后的跟踪曲

由图可见，在电机启动时间达到0.0128s时运转趋于平稳，但是始终和预期速度有一定偏差，可见该系统调节时间短，但控制效果一般，需要在今后的实验中添加积分环节。由于常规模糊控制相当于PD 控制，不具有积分环节,因而在模糊控制的系统中又很难完全消除稳态误差，而且在变量分级不足够多的情况下，常常在平衡点附近会有小的振荡现象。

造成系统工程设计方法与仿真实验之间有差距的原因， 总结如下几点：

（a）工程设计方法在推导过程中做了许多近似的处理，而这些简化处理在一定的条件下才能成立。

（b）仿真实验在建立模型过程中忽略了许多非线性因素和次要因素。

通过以上分析及实例可以看出,应用MATLAB/ Simulink 进行伺服系统PID控制设计、 分析与仿真,不仅避免了应用高级语言进行仿真时的大量劳动,提高了工作效率, 而且改善了系统的性能指标,实现了有效开发系统的目的。