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排列组合问题经典题型与通用方法解析版(1)

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排列组合问题经典题型与通用方法解析版

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.

例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种

解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4

424A =种, 答案:D .

2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种

解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52

563600 A A =种,选

B .

3.定序问题缩倍法:在排列问题中某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.

例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有( )

A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种

解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即

5 51602 A =种,选

B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.

例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )

A 、6种 B 、9种

C 、11种 D 、23种

解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.

例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( )

A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种

解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7

人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有211 10872520C C C =种, 选C .

(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( )

A 、4441284C C C 种

B 、 444

12843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444 1284

33C C C A 种 答案:A .

6.全员分配问题分组法:

例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? 解析:把四名学生分成3组有2

4C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有3 3A 种,故共有2 3

4336C A =种方法.

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( ) A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案:B .

7.名额分配问题隔板法:

例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?

解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在

10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6

984 C =种.

8.条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?

解析:因为甲乙有条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:

①若甲乙都不参加,则有派遣方案4

8A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲

乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法

总数为433288883374088A A A A +++=种.

9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.

例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) A 、210种 B 、300种 C 、4种 D 、600种

解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333

,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B .

(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?

解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合

记做{}1,2,3,4,,100A = 共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有2

14C ,从A 中任取

一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.

(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?

解析:将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ,能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ,能被4除余3的数集

{}3,7,11,99D = ,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取

一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有2

1 1 2

25252525C C C C ++种.

10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ?=+-?

例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?

解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:

()()()()n I n A n B n A B --+?433265252A A A A =--+=种.

11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。 例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?

解析:老师在中间三个位置上选一个有1

3A 种,4名同学在其余4个位置上有44A 种方法;所以共有143472 A A =种。.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。

例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( ) A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种

解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共6

6720A =种,选C .

(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?

解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种,其余5个元素任排5个位置上有55A 种,故共有12455760A A A =种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙 型电视机各一台,则不同的取法共有 ( )

A 、140种 B 、80种 C 、70种 D 、35种

解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法

共有333

94570C C C --=种,选.C

解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同

的取法有211270C C C C +=台,选C .

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法. 例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?

解析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有24C 种,再排:在四个盒中每次排3个有34A 种,故共有2344144C A =种.

(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?

解析:先取男女运动员各2名,有22C C 种,这四名运动员混和双打练习有22A 中排法,故共有2222120

C C A =种.

15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求.

例15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) A 、70种 B 、种 C 、58种 D 、52种

解析:正方体8个顶点从中每次取四点,理论上可构成4 8C 四面体,但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有481258C -=个.

(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( ) A 、150种 B 、147种 C 、144种 D 、141种

解析:10个点中任取4个点共有4

10C 种,其中四点共面的有三种情况:①在四面体的四个面上,每面内四点共面的情况为4

6C ,四个面共有4C 个;②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个;③过棱上三点

与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是441036141C C ---=种.

16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列n 个普通排列:

12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a - 在圆排列中只算一种,

因为旋转后可以重合,故认为相同,n 个元素的圆排列数有 ! n n

种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的1n -元素全排列. 例16.有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?

解析:首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有4 4A 种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边 和右边,有2种方式,故不同的安排方式5

242768?=种不同站法. 说明:从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有

1m n A m

种不同排法.

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n

m 种方法.

例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法? 解析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有6

7种不同方案.

18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?

解析:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3

5C 种方法,所以满足条件 的关灯方案有10种.

说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?

解析:从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种,还剩下3个球与3个盒子序号不能对应,利用枚举法分 析,如果剩下3,4,5号球与3,4,5号盒子时,3号球不能装入3号盒子,当3号球装入4号盒子时,4,5号球只有1种装法,3号球装入5号盒子时,4,5号球也只有1种装法,所以剩下三球只有2种装法,

因此总共装法数为2 5220C =种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.(1)30030能被多少个不同偶数整除?

解析:先把30030分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数2必取,3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为

01234555555532C C C C C C +++++=个. (2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?

解析:因为四面体中仅有3对异面直线,可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体,

从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有4 81258C -=个,所以8个顶点可连成的异面直线有3 ×58=174对.

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?

解析:因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交

C个,所于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形,显然有4

10 C个.

以圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有4 10

(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从A到B的最短路径有多少种?

解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从A到B最短路线必须走7小段,其中:向东4段,向北3段;

C种. 而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过4段的走法,便能确定路径,因此不同走法有4

7

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