开州区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 利用性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时,通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度,如果k>5.024,那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( ) P(K2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0.005 0.001 k 0.455 0.708
1.323 2.072 2.706 3.841
5.024
6.635 7.879 10.828
A.25%
B.75%
C.2.5%
D.97.5%
2. 经过点M1,1且在两轴上截距相等的直线是( ) A.xy20 B.xy10
C.x1或y1 D.xy20或xy0 3. 已知集合AxN|x5,则下列关系式错误的是( )
A.5A B.1.5A C.1A 4. 与命题“若x∈A,则y∉A”等价的命题是( )
A.若x∉A,则y∉A B.若y∉A,则x∈A C.若x∉A,则y∈A D.若y∈A,则x∉A 5. 如果命题p∨q是真命题,命题¬p是假命题,那么( )
A.命题p一定是假命题 B.命题q一定是假命题
C.命题q一定是真命题
D.命题q是真命题或假命题
6. 直线2x+y+7=0的倾斜角为( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在 7. 已知i为虚数单位,则复数
所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8. 已知集合A={0,m,m2﹣3m+2},且2∈A,则实数m为( )
A.2
B.3
C.0或3
D.0,2,3均可
9. 已知函数f(x)=1+x﹣+
﹣
+…+
,则下列结论正确的是( ) A.f(x)在(0,1)上恰有一个零点
B.f(x)在(﹣1,0)上恰有一个零点
C.f(x)在(0,1)上恰有两个零点 D.f(x)在(﹣1,0)上恰有两个零点
10.已知集合M={x|x2<1},N={x|x>0},则M∩N=( ) A.∅ B.{x|x>0} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}
可.
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D.0A
精选高中模拟试卷
11.如图,△ABC所在平面上的点Pn(n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3;1,(2xn+1)( )
(其中,{xn}是首项为1的正项数列),则x5等于
=﹣
A.65 B.63 C.33 D.31
12.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )
A.
B. C. D.
二、填空题
13.向量=(1,2,﹣2),=(﹣3,x,y),且∥,则x﹣y= . 14.曲线
在点(3,3)处的切线与轴x的交点的坐标为 .
,则
+
15.0)P,Q是单位圆上的两动点且满足已知A(1,,
*
在90组数对(xi,yi)(1≤i≤90,i∈N)中,
的最大值为 .
16.为了近似估计π的值,用计算机分别产生90个在[﹣1,1]的均匀随机数x1,x2,…,x90和y1,y2,…,y90,
经统计有25组数对满足,则以此估计的π值为 .
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17.定义min{f(x),g(x)}为f(x)与g(x)中值的较小者,则函数f(x)min{2x2,x}的取值范围是 18.【启东中学2018届高三上学期第一次月考(10月)】已知函数fx=-xlnx+ax在0,e上是增函
a23数,函数gx=e-a+,当x0,ln3时,函数g(x)的最大值M与最小值m的差为,则a的值
22x为______.
三、解答题
19.已知函数f(x)=(ax2+x﹣1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. (Ⅰ)若a=0,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若
,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若a=﹣1,函数f(x)的图象与函数围.
的图象仅有1个公共点,求实数m的取值范
20.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AD, 平面ADEF⊥平面ABCD,且BC=2EF,AE=AF,点G是EF的中点. (Ⅰ)证明:AG⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为
,求AG的长.
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21.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直,导函数
f′(x)的最小值为﹣12. (1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.
22.(本小题满分14分)
设函数f(x)ax2bx1cosx,x0,(其中a,bR).
21,求f(x)的单调区间; 2(2)若b0,讨论函数f(x)在0,上零点的个数.
2(1)若a0,b【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,最值、通过研究函数图象与性质,讨论函数的零点个数,考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力,是难题.
23.【南通中学2018届高三10月月考】设,线
,函数
,其中是自然对数的底数,曲
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在点
(Ⅱ)求证:函数(Ⅲ)若
处的切线方程为
存在极小值; ,使得不等式
.
(Ⅰ)求实数、的值;
成立,求实数的取值范围.
24.如图,在三棱锥 PABC中,E,F,G,H分别是AB,AC,PC,BC的中点,且
PAPB,ACBC.
(1)证明: ABPC;
(2)证明:平面 PAB平面 FGH.
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开州区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学(参)
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】解:∵k>5、024,
而在观测值表中对应于5.024的是0.025, 故选D. 必得分的题目.
2. 【答案】D 【解析】
∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”,
【点评】本题考查性检验的应用,是一个基础题,这种题目出现的机会比较小,但是一旦出现,就是我们
考
点:直线的方程. 3. 【答案】A 【解析】
试题分析:因为AxN|x5 ,而1.5N,1N,.5A,1A,即B、C正确,又因为0N且
05,所以0A,即D正确,故选A. 1
考点:集合与元素的关系. 4. 【答案】D
【解析】解:由命题和其逆否命题等价,所以根据原命题写出其逆否命题即可. 与命题“若x∈A,则y∉A”等价的命题是若y∈A,则x∉A.
故选D.
5. 【答案】D
【解析】解:∵命题“p或q”真命题,则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题, 又∵命题“非p”也是假命题, ∴命题p为真命题. 故命题q为可真可假.
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故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键.
6. 【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ,则tanθ=﹣2,即可判断出结论. 【解答】解:设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ, 则tanθ=﹣2, 则θ为钝角. 故选:C.
7. 【答案】A 【解析】解:
=
=1+i,其对应的点为(1,1),
故选:A.
8. 【答案】B
2
【解析】解:∵A={0,m,m﹣3m+2},且2∈A,
2
∴m=2或m﹣3m+2=2,
解得m=2或m=0或m=3.
当m=0时,集合A={0,0,2}不成立. 当m=2时,集合A={0,0,2}不成立. 当m=3时,集合A={0,3,2}成立. 故m=3. 故选:B.
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用,注意求解之后要进行验证.
9. 【答案】B
232014
【解析】解:∵f′(x)=1﹣x+x﹣x+…+x
=(1﹣x)(1+x2+…+x2012)+x2014; ∴f′(x)>0在(﹣1,0)上恒成立; 故f(x)在(﹣1,0)上是增函数; 又∵f(0)=1,
<0;
f(﹣1)=1﹣1﹣﹣﹣…﹣故选B.
故f(x)在(﹣1,0)上恰有一个零点;
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【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断,属于中档题.
10.【答案】D
【解析】解:由已知M={x|﹣1<x<1}, N={x|x>0},则M∩N={x|0<x<1}, 故选D.
【点评】此题是基础题.本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,
11.【答案】 D
【解析】解:由得设
+(2xn+1)
==,
﹣(2xn+1),
,
以线段PnA、PnD作出图形如图,
则∴
,∴
,
,
∵,∴,
则,
即xn+1=2xn+1,∴xn+1+1=2(xn+1),
则{xn+1}构成以2为首项,以2为公比的等比数列,
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4
∴x5+1=2•2=32,
则x5=31. 故选:D.
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则,考查了数学转化思想方法,训练了利用构造法构造等比数列,考查了计算能力,属难题.
12.【答案】A
【解析】解:几何体如图所示,则V=
,
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,正确得出直观图是解答的关键.
二、填空题
13.【答案】 ﹣12
【解析】解:∵向量∴
==
,
.
=(1,2,﹣2),=(﹣3,x,y),且∥,
解得x=﹣6,y=6, 故答案为:﹣12.
x﹣y=﹣6﹣6=﹣12.
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题,是基础题目.
14.【答案】 (,0) .
【解析】解:y′=﹣∴斜率k=y′|x=3=﹣2,
∴切线方程是:y﹣3=﹣2(x﹣3),
,
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整理得:y=﹣2x+9, 令y=0,解得:x=, 故答案为:
.
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题,考查导数的应用,是一道基础题.
15.【答案】 .
【解析】解:设∴
+
.
=
故答案为:
=
,则=1×
×
=
≤
=
,
,因此最大值为
.
的方向任意.
【点评】本题考查了数量积运算性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.
16.【答案】
.
【解析】设A(1,1),B(﹣1,﹣1),则直线AB过原点,且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1,由图知,
,又
,所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式,属于中档题.
17.【答案】,1 【解析】
2试题分析:函数fxmin2x,x的图象如下图:
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观察上图可知:fx的取值范围是,1。 考点:函数图象的应用。 18.【答案】
【解析】fx1lnxa,因为fx在0,e上是增函数,即fx0在0,e上恒成立,
5 2alnx1,则alnx1max,当xe时,a2,
a2a2x,t1,3, 又gxea,令te,则gtta22a2a2(1)当2a3时,gtmaxg1a1,gtminga,
2235则gtmaxgtmina1,则a,
22a2a2(2)当a3时,gtmaxg1a1,gtming3a3,
22则gtmaxgtmin2,舍。
xa5。 2三、解答题
19.【答案】
xxxx
【解析】解:(Ⅰ)∵a=0,∴f(x)=(x﹣1)e,f′(x)=e+(x﹣1)e=xe,
∴曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f(1)=e. 又∵f(1)=0,∴所求切线方程为y=e(x﹣1), 即.ex﹣y﹣4=0
x2x2xx
(Ⅱ)f′(x)=(2ax+1)e+(ax+x﹣1)e=[ax+(2a+1)x]e=[x(ax+2a+1)]e,
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①若a=﹣,f′(x)=﹣x2ex≤0,∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,+∞), ②若a<﹣,当x<﹣当﹣
或x>0时,f′(x)<0;
<x<0时,f′(x)>0.
∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣],[0,+∞);单调递增区间为[﹣,0].
2x
(Ⅲ)当a=﹣1时,由(Ⅱ)③知,f(x)=(﹣x+x﹣1)e在(﹣∞,﹣1)上单调递减,
在[﹣1,0]单调递增,在[0,+∞)上单调递减,
∴f(x)在x=﹣1处取得极小值f(﹣1)=﹣,在x=0处取得极大值f(0)=﹣1, 由
2
,得g′(x)=2x+2x.
当x<﹣1或x>0时,g′(x)>0;当﹣1<x<0时,g′(x)<0. 故g(x)在x=﹣1处取得极大值在x=0处取得极小值g(0)=m,
,
∴g(x)在(﹣∞,﹣1]上单调递增,在[﹣1,0]单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
∵数f(x)与函数g(x)的图象仅有1个公共点, ∴g(﹣1)<f(﹣1)或g(0)>f(0),即.
.
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题,考查函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道中档题.
20.【答案】
【解析】(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:因为AE=AF,点G是EF的中点, 所以AG⊥EF.
又因为EF∥AD,所以AG⊥AD.…
因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD, AG⊂平面ADEF, 所以AG⊥平面ABCD.…
(Ⅱ)解:因为AG⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AG、AD、AB两两垂直. 以A为原点,以AB,AD,AG分别为x轴、y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0), 设AG=t(t>0),则E(0,1,t),F(0,﹣1,t), 所以
=(﹣4,﹣1,t),
=(4,4,0),
=(0,1,t).…
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设平面ACE的法向量为=(x,y,z), 由
=0,
=0,得
,
令z=1,得=(t,﹣t,1). 因为BF与平面ACE所成角的正弦值为所以|cos<即
所以AG=1或AG=
>|=
=
=
,
,…
.
2
,解得t=1或
.…
【点评】本题考查线面垂直的证明,考查满足条件的线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
21.【答案】
【解析】解:(1)∵f(x)为奇函数,
33
∴f(﹣x)=﹣f(x),即﹣ax﹣bx+c=﹣ax﹣bx﹣c,∴c=0. 2
∵f′(x)=3ax+b的最小值为﹣12,∴b=﹣12.
又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为,则f′(1)=3a+b=﹣6,得a=2, ∴a=2,b=﹣12,c=0;
32
(2)由(1)知f(x)=2x﹣12x,∴f′(x)=6x﹣12=6(x+
)(x﹣
0 极小 ), ( ,+∞)+ 增 列表如下: x (﹣∞,﹣) + 增 )=﹣8
﹣ 0 (﹣﹣ 减 )和(,) f′(x) f(x) ∵f(﹣1)=10,f(
极大 ,f(3)=18,
所以函数f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣,+∞). 第 13 页,共 18 页
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∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是f(3)=18,最小值是f(
22.【答案】
【解析】(1)∵a0,b∴f(x))=﹣8.
1, 211x1cosx,f(x)sinx,x0,. (2分) 222令f(x)0,得x.
6当0x时,f(x)0,当x时,f(x)0,
662所以f(x)的单调增区间是,,单调减区间是0,. (5分)
626第 14 页,共 18 页
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若
110,a,10,则f()a又f()f(由零点存在定理,00,,使f(00))0,222所以f(x)在(0,0)上单调增,在0,上单调减.
22a1. 又f(0)0,f()24214a10,此时f(x)在0,上有两个零点; 故当a2时,f()2242241a10,此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时,f()242第 15 页,共 18 页
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23.【答案】(Ⅰ)【解析】试题分析:
(Ⅰ)利用导函数研究函数的切线,得到关于实数a,b的方程组,求解方程组可得在极小值;
;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的函数的解析式首先求解导函数,然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存
;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
.
试题解析: (Ⅰ)∵(Ⅱ)由(Ⅰ)得是增函数,∵
,结合函数
∴函数(Ⅲ)
存在极小值
;
成立,即
,使得不等式
递减 在
极小值 ,
,∴
,由题设得,∴
,且函数
是增函数有:
递增 ) ,∴
图像在
,∴
; ,∴函数上不间断,∴
在,使得
,使得不等式成立……
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(*),令,,
则
,
∴结合(Ⅱ)得,其中
,满足,
即,∴,,∴
∴
,
,∴
在
内单调递增,
∴
,
结合(*)有,即实数的取值范围为
.
24.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
第 17 页,共 18 页
,
考
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点:平面与平面平行的判定;空间中直线与直线的位置关系.
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