高三复习解析几何---椭圆、双曲线、抛物线的定义与基本性质

教学目标：

1、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质

2、掌握用定义法和待定系数法求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 3、能够区分椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质 重点：用定义法求椭圆、双曲线、抛物线的方程。

难点：对椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质定义、性质的区分

椭圆

一、椭圆的定义 1、常数大于

F1F2的点的轨迹是椭圆

M 椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数 （大于

F1F2F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭

圆的焦距。 表示为：点集2、常数等于3、 常数小于

PM|MF1MF22a,2aF1F2的点的轨迹是线段F1F2 的点的轨迹不存在

.

F1F2F1F2F1M

F2 二、椭圆的标准方程 标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2y221(a＞b＞0) 2abx2y221(a＞b＞0) 2ba焦点坐标 c,0 0,c c2a2b2 a、b、c的关系 拓展点一：椭圆定义的应用

椭圆是平面内到两个定点F1,F2距离之和为定值2a（2a>

解要注意掌握以下两点：（1）为定值；（2）定值2a>

F1F2）的动点M的轨迹.对定义的理

F1F2，二者缺一不可.有椭圆定义与三

角形两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常使用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.在解题中还经常将看做一个整体或配方等加以灵活运用.

x2y21上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为1、椭圆

259_______________。

x2y22、已知椭圆221(ab0)，F1、F2是它的焦点，直线AB过点F1且交椭圆与A、

abB两点，则ABF2的周长为____________ 3、已知B,C是两个定点，BC8迹方程。

4、动圆与已知圆O1:(x3)y1外切，与圆O2:(x3)y81内切，试求动圆圆心的轨迹方程。

2222且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨，

拓展点二：椭圆标准方程的求法

1.定义法

椭圆的标准方程可由其定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一.用定义法求

椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求轨迹是否符合椭圆的定义，若符合，则用待定系数法求解.

2.待定系数法

确定椭圆标准方程的方法主要是待定系数法，分三步：先定性，即根据条件判定轨迹是

否是椭圆；再定型，即确定焦点位置、对称轴位置，设出椭圆方程；后定系，即根据条件列出关于系数的方程求出a、b、c，注意隐含关系cab的应用.如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上，那么方程可以设为

222mx2ny21m0,n0,mn，进而用待定系数法求解.

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别为（-4,0）和（4，0），且椭圆经过点（5,0）；

（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0,2）和（1,0）；

（3）经过点P(23,1),Q(3,2)两点。

例2、经过点（2，-3）且与椭圆9x4y36有共同焦点的椭圆方程。

22双曲线

1 双曲线定义：

①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1PF22aF1F2（a为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

2.双曲线的标准方程：

x2y2y2x221和221（a＞0，b＞0）.这里b2c2a2，其中|F1F2|=2c.要注2abab意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：

22如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.双曲线的简单几何性质

y2x2－2=1（a＞0，b＞0） 2ab⑴范围：|x|≥a，y∈R

⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） ⑷渐近线：

M1yM2PF1A1K1oK2A2F2xx2y2x2y2b①若双曲线方程为221渐近线方程220yx

aababxyx2y2b②若渐近线方程为yx0双曲线可设为22

abaabx2y2x2y2③若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在

ababx轴上，0，焦点在y轴上）

题型一：双曲线定义问题

1.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

y2x21k3k3kRk32.若，则“”是“方程表示双曲线”的( )

A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.

y2x23.给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距

1620离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.

22

4.过双曲线x-y=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是.

题型一：双曲线的标准方程

例1. 根据下列条件，求双曲线方程： （1）顶点间距离为6，渐近线方程为y

x2y2（2）求与双曲线1共焦点，且过(32,2)的双曲线方程.

13x,求此双曲线方程. 2

（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3，

1516）Q（，5）． 43y2x2（4）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；

916

题型三：双曲线的渐近线问题

y2x21.双曲线－=1的渐近线方程是( )

493294A. y=±x B.y=±xC.y=±xD.y=±x

2349x22.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )

2y2y2y2y2x2x2x2x2A.－=1 B.－=1 C.－=1 D.－=1

24424224

抛物线

一、知识点梳理

1. 抛物线的几何性质

抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)

（1）范围：∵p>0，∴抛物线在y轴的右侧，抛物线向右上方和右下方无限延伸。即x≥0,y∈R

（2）对称性：关于x轴对称。将抛物线的对称轴称为抛物线的轴。 （3）顶点：抛物线和它的轴的交点。 （4）离心率：e1

（5）开口大小：P值越大，抛物线开口越大。

注意：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;

2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;

4.抛物线的离心率是确定的e=1;

1、点Px0,y0和抛物线的关系：

（1）P在抛物线内（含焦点）y02px0 （2）P在抛物线上y02px0 （3）P在抛物线外y02px0

222 2、焦半径：抛物线上的点Px0,y0与焦点F之间的线段长度称作焦半径，记作rPF

例1、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上.若抛物线上一动点P到A（2，）、3F两点距离之和的最小值为4，A在抛物线内部.求抛物线C的标准方程.

例2抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程. 例3

（1）若抛物线y22px的焦点与椭圆x2y2621的右焦点重合，则p的值为（ A．2 B．2 C．4 D．4 （2）抛物线y28x的焦点坐标是（ ）

A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）

（3）设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2

的焦点坐标为 ( )

(A)（a，0） (B)（0，a） (C)（0，

116a） (D)随a符号而定 （4）抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）

(A)．1716(B)．15716(C)．8(D)．0

2）