四川遂宁市高中2015届高三数学下学期第二次诊断性考试试题 理

1．已知集合A{y|ysinx}，B{x|(x3)(2x1)0}， 则AB

1111[3,][1,][1,)(3,)2 B．2 C．2 D．2 A．

2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单

位：分）.

甲组 乙组 x 7 9 5 1 0 1 2 9 3 7 y 8 已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为 A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7 3．已知复数z满足：zi2i（是虚数单位），则z的虚部为 A．2i B．2i C．2 D．2 4．为了得到函数y2sin3x的图象，可以将函数ysin3xcos3x 的图象

A．向右平移12个单位长 B．向右平移4个单位长

- 1 -

C．向左平移12个单位长 D．向左平移4个单位长

abab5．已知向量a(,1)，b(2,1)，若，则实数的值为

A．1 B． C．1 D．2 6．设a、b是实数，则“ab”是“ab0”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．执行如图所示的程序框图，如果输入x， 的值均为2，最后输出S的值为n， 在区间[0,10]上随机选取一个数D， 则Dn的概率为

2245A．10 B．10 67C．10 D．10

8．从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是

A．590 B．570 C．360 D．210

x2y2212b9．已知双曲线a（a＞0,b＞0）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支

于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若A．14 B．16

C．18 D．20

MN10，则

HF=

nf(x)kmf(x)x[n,m](nm)k10．若函数满足对任意的，都有 成立，则称函数f(x)1[,a](a0)在区间[n,m](nm)上是“被K约束的”。若函数f(x)xaxa在区间a上

22是“被2约束的”，则实数a的取值范围是

- 2 -

A．(1,2] B．

(1,33]2

C．(1,2] D．(2,2]

第Ⅱ卷（非选择题，满分100分） 注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上） 11．圆心在原点且与直线y2x相切的圆的方程为 ▲

12．某几何体的三视图（单位：cm）如题所示，则此几何体的体积为 ▲ cm

3

1f(x)f(x)13．已知定义在R上的函数满足f(x1)， 1,1x011f(x)f(f())1,0x1，则2且 ▲

14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为

75,30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于 ▲ m

15．若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)2b（其中a,b不同时为0），则称函数

yf(x)为“准奇函数”，称点(a,b)为函数f(x)的“中心点”。现有如下命题：

①函数f(x)sinx1是准奇函数；

②若准奇函数yf(x)在R上的“中心点”为(a,f(a))，则函数F(x)f(xa)f(a)不是R上的奇函数；

32f(x)x3x6x2是准奇函数，则它的“中心点”为(1,2)； ③已知函数

- 3 -

{a}④已知函数f(x)2xcosx为“准奇函数”，数列n是公差为8的等差数列，若

n17[f(a4)]2f(an)7aiaia1a2anaa7

（其中i1表示i1），则17nn其中正确的命题是 ▲ 。（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。答在答题卷指定位置。 16．（本小题满分12分）

f(x)已知函数

5sinAsinxcos2x(xR)2，其中A、B、C是ABC的三个内角，且满足

cos(A4)2A(,)10，42

（1）求sinA的值；

f(B)（2）若

32，且AC5，求BC的值。

▲ 17．（本小题满分12分）

由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示。

节排器等级如表格所示

综合得分K的范围

节排器等级 一级品 二级品 三级品

K85 75k85 70k75

若把频率分布直方图中的频率视为概率，则

- 4 -

（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；

（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X的分布列及数学期望；

▲

18．(本小题满分12分)

如图，已知四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，CF∥EA，且

EA2AB2CF2

（1）求证：EC平面BDF； （2）求二面角EBDF的余弦值。

▲

19．（本小题满分12分） 已知数列

{an}为等差数列，其中a11,a713 {an}的通项公式；

bn1nTn为数列{bn}的前n项和，Tn8(1)anan1，n当不等式

（1）求数列

（2）若数列

{bn}满足

（nN）恒成立时，求实数的取值范围。

▲

20．（本小题满分13分）

1已知定点A(2,0)，F(1,0)，定直线：x4，动点P与点F的距离是它到直线的距离的2.

设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线分别相交于M、

N两点。

- 5 -

（1）求C的方程；

（2）以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

▲ 21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)ex（ e2.71828是自然对数的底数）,

g(x)ln(x1)

（1）若F(x)f(x)g(x)，求

F(x)的极值；

（2）对任意x0,证明：f(x)g(x1)；

(x)ax（3）对任意x0,g都有x1成立，求实数a的取值范围。

▲

- 6 -

遂宁市高中2015届第二次诊断性考试

数学（理科）参及评分意见

一、选择题：每小题5分，满分50分

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，

22xy2； 12．90； 13．1； 14．1203120 15．①③④ 11．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分） 16．（本小题满分12分）

23cos(A)A(,)A(,)410， 42，所以424，又解：（1）因为

sin(A从而

4)1cos2(A4)7210 ................3分

sinAsin[(A所以..............6分

4)4]sin(A4)cos4cos(A4)sin445.

13f(x)2sinxcos2x2sinx12sin2x2(sinx)222， （2）

f(B)因为

315sinBB2所以2，从而6或6（舍去）。 ...............9分

BC5由正弦定理知sinAsinB，所以BC8 ...............12分

17．（本小题满分12分）

②由已知及频率分布

71直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为10，二级品的概率为4，三级品的概

- 7 -

1率为20，如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数X可能的值为0，1，2，

3 ...............6分

P(X0)C0327又

3(4)3 P(X1)C113273(4)1(4)2 P(X2)C212393(4)4 P(X3)C311 3(4)3

因而X的分布列为

X

0 1 2 3

P

272791

...............10分

E(X)027127293134 ..............12分

B(3,1)E(X3（法二：因为X～

4)，所以4） 18．(本小题满分12分)

（法二）

- 8 -

以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，则

A(0,0,0);B(0,2,0);D(2,0,0);C(2,2,0);F(2,2,1);E(0,0,2)， 所以BD(2,2,0);BF(2,0,1);EC(2,2,2)

从而有EC·BD=0，EC·BF=0

所以ECBD,ECBF

又因为BDBFB,从而EC面BDF ...............6分

由（1）知向量EC为平面BDF的法向量

设平面EBD的法向量为n(x,y,z)

nBD02x2y0nED0即2x2z0；令z1得x2,y2 则nEC210cosn,EC10nEC210故

...............10分

10所以二面角EBDF的余弦值为10 ...............12分

①当n为偶数时，要使

- 9 -

不等式

Tnn8(1)（nN）恒成立，只需不等式

2n88nn(n8)(2n1)82n17nn恒成立即可，∵，等号在

n2时取得，∴

25 ...............9分

nTn8(1)nn②当为奇数时，要使不等式（nN）恒成立，只需不等式

(n8)(2n1)882n152nnnn是随n的增大而增大，∴n1时，恒成立即可，∵8n取得最小值6，∴21 ...............11分

2n综合①②可得的取值范围是(,21) ...............12分 20．（本小题满分13分）

0)，设P(x，y)为C上任意一点，依题意有解：（1）F(1，(x1)2y21x42

x2y2143∴ ...............5分

（2）易知直线DE斜率不为0，设直线DE方程为xty1

xty12xy2122(3t4)y6ty90 43由，得

设

D(x1，y1)，E(x2，y2)，则

y1y26t9yy123t24，3t24 ...............7分

0)，知AD方程为由A(2，y0y106y(x2)M(4，1)x12x12

，点M坐标为

6yN(4，2)x22 ...............9分

同理，点N坐标为

0)在以MN为直径的圆上 由对称性，若定点存在，则定点在x轴上。设G(n， - 10 -

6y6y36y1y2GMGN(4n，1)(4n，2)(4n)20x12x22(x12)(x22)则

(4n)2∴

36y1y236y1y2(4n)220(ty13)(ty23)ty1y23t(y1y2)9 ……11分

(4n)2即

36(9)02(4n)90，n1或n7 9t23t(6t)9(3t24)，

0)和(7，0) ...............13分 ∴ 以MN为直径的圆恒过x轴上两定点(1，注：1.若只求出或证明两定点中的一个不扣分。2.也可以由特殊的直线，如x1，得到圆与x0)和(7，0)后，再予以证明。3.用几何法证明也给满分。 轴的交点(1，

21．（本小题满分14分）

F(x)exln(x1)令F'(x)ex解：（1）设

10x0x1

''F(x)0Fx(1,0)x(0,) 当，，当，(x)0

所以当x(1,0)时，F(x)单调递减，当x(0,)时，F(x)单调递增 从而当x0时，

F(x)取得的极小值F(0)1 …………3分

x'x'G(x)ex1G(x)e1Gx(0,)（2）证明：令，，当，(x)0

所以当x(0,)时G(x)单调递增；G(x)G(0)0(x0)；

x所以ex10xln(x1)，(x1)ln(x2)g(x1)

f(x)exx1g(x1)

所以f(x)g(x1) …………8分 （3）令

h(x)(x1)ln(x1)ax，

h'(x)ln(x1)1a，令h'(x)0解得xea11.

（i）当a是增函数.

1时，xea1'h10所以对所有x0，(x)0；h(x)在[0,)上

所以有

h(x)h(0)0(x0)

- 11 -

g(x)ax 即当a1时，对于所有x0，都有

x1.

（ii）当

a1时,对于0xea11,h'(x)0,所以h(x)在(0,ea11)上是减函数，

从而对于0xea11有h(x)h(0)0， (x)ax 即

f(x)ac，所以当a1时，不是对所有的x0g都有

x1成立.

综上，a的取值范围是(,1) …………14分

- 12 -