高考全国卷1文科数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页， 第II卷3至4页．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项： 1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ， 并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后， 用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

．．．．．．．．．

3．本卷共12小题， 每小题5分， 共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 参考公式：

如果事件A，B互斥， 那么

球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B)

S4πR2

其中R表示球的半径

如果事件A，B相互独立， 那么

P(AgB)P(A)gP(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P， 那么 V43πR 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

其中R表示球的半径

kkPn(k)CnP(1P)nk(k0，1,2，L，n)

一、选择题 （1）sin585的值为 (A) 2332 (B) (C) (D) 2222(2)设集合A=｛4， 5， 6， 7， 9｝， B=｛3， 4， 7， 8， 9｝， 全集U=AUB，

则集合［u （AIB）中的元素共有

(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个

（3）不等式

x11的解集为 x1（A）x0x1Uxx1 （B）x0x1



（C） x1x0 （D）xx0 （4）已知tana=4,cot=

1,则tan(a+)= 37777(A) (B) (C) (D) 

11111313x2y221相切， 则该双曲线（5）设双曲线2－2＝1a＞0，b＞0的渐近线与抛物线y＝x＋ab的离心率等于

（A）3 （B）2 （C）5 （D）6

（6）已知函数f(x)的反函数为g(x)＝＋12lgxx＞0， 则f(1)＋g(1)＝

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学， 若从甲、乙两组中各选出2名同学， 则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种 （8）设非零向量a、b、c满足a＝b＝c，a＋b＝c， 则a，b＝

（A）150°B）120° （C）60° （D）30°

（9）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面ABC上的射影为

BC的中点， 则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

(A)3573 (B) (C) (D) 44444,0)中心对称， 那么的最小值为 3(A) (B) (C) (D)

6432 (10) 如果函数y3cos(2x)的图像关于点(（11）已知二面角为600 ， 动点P、Q分别在面,内， P到的距离为3， Q到的距离为23， 则P、Q两点之间距离的最小值为 (A)

2 (B) 2 (C) 3 (D) 3

x2y21的右焦点为F,右准线l，（12）已知椭圆C: 点Al， 线段AF交C于点B。2若

uuuruuuruuurFA3FB,则AF=

(A)

2 (B) 2 (C) 3 (D) 3

普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修选修Ⅰ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前， 考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚， 然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页， 请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，

在试题卷上作答无效． ．．．．．．．．．

3．本卷共10小题， 共90分．

二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

（13）(xy)的展开式中， 3的系数与xy的系数之和等于_____________. （14）设等差数列{an}的前n项和为Sn。若S972， 则a2a4a9_______________. (15)已知OA为球O的半径， 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

若圆M的面积为3， 则球O的表面积等于__________________. （16）若直线m被两平行线l1:xy10与l2:xy30所截得的线段的长为22， 则m的倾斜角可以是

①15o ②30o ③45o ④60 ⑤75o

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

三．解答题：本大题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

设等差数列{an}的前n项和为sn， 公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn， 已知a11,b13,a3b317,T3S312,求{an},{bn}的通项公式.

o1037

(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）

在ABC中， 内角A、b、c的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b， 且

sinB4cosAsinC， 求b.

(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）

如图， 四棱锥SABCD中， 底面ABCD为矩形， SD底面ABCD，

AD2， DCSD2， 点M在侧棱SC上， ∠ABM=60。

o证明：M是侧棱SC的中点；

求二面角SAMB的大小。

(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛， 约定先胜3局者获得这次比赛的胜利， 比赛结束。假设在一局中， 甲获胜的概率为0.6， 乙获胜的概率为0.4， 各局比赛结果相互独立。已知前2局中， 甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率； （Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 已知函数f(x)x3x6. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设点P在曲线yf(x)上， 若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点， 求

42l的方程

(22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 如图， 已知抛物线E:yx2与圆M:(x4)yr(r0)相交于A、B、C、D

222四个点。

（Ⅰ）求r的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时， 求对角线AC、BD的交点P的坐标。

答案

一、选择题

（1）sin585的值为

(A) o2332 (B) (C) (D) 2222【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值， 基础题。 解：sin585sin(360225)sin(18045)sin45oooooo2， 故选择A。 2(2)设集合A=｛4， 5， 7， 9｝， B=｛3， 4， 7， 8， 9｝， 全集UAUB， 则集合ðU(AIB)中的元素共有

(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个 【解析】本小题考查集合的运算， 基础题。（同理1）

解：AUB{3,4,5,7,8,9}， AIB{4,7,9}ðU(AIB){3,5,8}故选A。也可用摩

根定律：痧U(AIB)(（3）不等式

UA)U(?UB)

x11的解集为 x1（A）x0x1Uxx1 （B）x0x1 （C） x1x0 （D）xx0 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式， 基础题。 解：

x11|x1||x1|(x1)2(x1)204x0x0， x1故选择D。 （4）已知tana=4,cot=

1,则tan(a+)= 37777(A) (B) (C) (D) 

11111313【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式， 基础题。

解：由题tan3， tan()tantan437， 故选择B。

1tantan11211x2y221相切， 则该双曲线（5）设双曲线2－2＝1a＞0，b＞0的渐近线与抛物线y＝x＋ab的离心率等于

（A）3 （B）2 （C）5 （D）6

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率， 基础题。

bxx2y2解：由题双曲线2－2＝1a＞0，b＞0的一条渐近线方程为y， 代入抛物线方

aab程整理得axbxa0， 因渐近线与抛物线相切， 所以b4a0， 即

222c25a2e5， 故选择C。

（6）已知函数f(x)的反函数为g(x)＝＋12lgxx＞0， 则f(1)g(1)

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解析】本小题考查反函数， 基础题。

解：由题令12lgx1得x1， 即f(1)1， 又g(1)1， 所以

f(1)g(1)2， 故选择C。

（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学， 若从甲、乙两组中各选出2名同学， 则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题， 基础题。

211112解：由题共有C5C6C2C5C3C6345， 故选择D。

（8）设非零向量a、b、c满足|a||b||c|,abc， 则a,b

（A）150° （B）120° （C）60° （D）30°

【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想， 基础题。

解：由向量加法的平行四边形法则， 知a、b可构成菱形的两条相邻边， 且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长， 故选择B。

（9）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面ABC上的射影为

BC的中点， 则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

(A)3573 (B) (C) (D) 4444【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角， 基础题。（同理7）

解：设BC的中点为D， 连结A1D， AD， 易知A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,由三角余弦定理， 易知coscosA1ADcosDAB (10) 如果函数y3cos(2x)的图像关于点(ADAD3.故选D A1AAB44,0)中心对称， 那么的最小值为 3(A) (B) (C) (D)

6432【解析】本小题考查三角函数的图象性质， 基础题。 解: Q函数y＝3cos2x＋的图像关于点4，0中心对称 32413kk(kZ)由此易得||min.故选A 3266（11）已知二面角l为600 ， 动点P、Q分别在面,内， P到的距离为3， Q到的距离为23， 则P、Q两点之间距离的最小值为

【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题， 综合题。（同理10） 解:如图分别作QA于A,ACl于C,PB于B,

PDl于D， 连CQ,BD则ACQPBD60, AQ23,BP3， ACPD2

又QPQAQ2AP212AP223 当且仅当AP0， 即点A与点P重合时取最小值。故答案选C。

x2y21的右焦点为F,右准线l，（12）已知椭圆C: 点Al， 线段AF交C于点B。2uuuruuuruuur若FA3FB,则AF=

(A)

2 (B) 2 (C) 3 (D) 3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义， 基础题。

uuuruuur解：过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N， 易知FN=1.由题意FA3FB,

故|BM|

2222|AF|2.故选A .又由椭圆的第二定义,得|BF|23332009年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修选修Ⅰ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前， 考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚， 然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页， 请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效． ．．．．．．．．．

3．本卷共10小题， 共90分．

二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

73（13）(xy)的展开式中， xy的系数与xy的系数之和等于_____________.

1037【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）

373rr10rr(C10)2C10240 y所以有C10解: 因Tr1(1)C10x（14）设等差数列{an}的前n项和为Sn。若S972， 则a2a4a9_______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前n项和， 基础题。（同理14） 解: Qan是等差数列,由S972,得S99a5,a58

a2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524。

(15)已知OA为球O的半径， 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M， 若圆M的面积为3， 则球O的表面积等于__________________. 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积， 基础题。

22解：设球半径为R， 圆M的半径为r， 则r3， 即r3由题得

RR2()23， 所以R244R216。

2（16）若直线m被两平行线l1:xy10与l2:xy30所截得的线段的长为22， 则m的倾斜角可以是

oooo ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75

o其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离， 考查数形结合的思想。

解：两平行线间的距离为d|31|112， 由图知直线m与l1的夹角为30o， l1的

o00o00倾斜角为45， 所以直线m的倾斜角等于304575或453015。故填写①或⑤

三．解答题：本大题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

设等差数列{an}的前n项和为sn， 公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn， 已知a11,b13,a3b317,T3S312,求{an},{bn}的通项公式.

【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和， 基础题。 解：设an的公差为d， 数列bn的公比为q0，

由a3b317得12d3q17 ①

2oT3S312得q2qd4 ②

由①②及q0解得q2,d2

n1故所求的通项公式为an12(n1)2n1,bn32。

(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）

在ABC中， 内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知ac2b， 且

22sinB4cosAsinC， 求b.

【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解：由余弦定理得acb2bccosA，

又 ac2b,b0，

22222b22bccosA2b，

即b2ccosA2 ① 由正弦定理得

bsinB csinC又由已知得 sinB4cosAsinC

sinB4cosA， sinC所以b4ccosA ② 故由①②解得

b4

(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）

如图， 四棱锥SABCD中， 底面ABCD为矩形， SD底面ABCD， AD2， DCSD2， 点M在侧棱SC上，

ABM60o

（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；

（Ⅱ）求二面角SAMB的大小。（同理18） 解法一： （I）

作ME∥CD交SD于点E， 则ME∥AB， ME平面SAD

连接AE， 则四边形ABME为直角梯形 作MFAB， 垂足为F， 则AFME为矩形 设

MEx， 则

SEx，

AEED2AD2(2x)22 MFAE(2x)22,FB2x

由MFFB•tan60。,得(2x)223(2x) 解得x1

即ME1， 从而ME1DC 2所以M为侧棱SC的中点 （Ⅱ）MB BC2MC22， 又ABM60o,AB2,所以ABM为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M为SC中点

SM2,SA6,AM2， 故SA2SM2AM2,SMA90o

取AM中点G， 连结BG， 取SA中点H， 连结GH， 则BGAM,GHAM,由此知BGH为二面角SAMB的平面角

连接BH， 在BGH中，

BG31222AM3,GHSM,BHAB2AH2 2222BG2GH2BH26所以cosBGH

2•BG•GH3二面角SAMB的大小为arccos(解法二:

以D为坐标原点， 射线DA为x轴正半轴， 建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设A(2,0,0)， 则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2) （Ⅰ）设SMMC(0),则

6) 3M(0,2222,),MB(2,,) 1111o又AB(0,2,0),MB,AB60 故MB•AB|MB|•|AB|cos60

o

即

42222(2)2()() 111解得1， 即SMMC 所以M为侧棱SC的中点 （II）

由M(0,1,1),A(2,0,0)， 得AM的中点G(211,,) 222又GB(231,,),MS(0,1,1),AM(2,1,1) 222GB•AM0,MS•AM0

所以GBAM,MSAM

因此GB,MS等于二面角SAMB的平面角

cosGB,MSGB•MS6 3|GB|•|MS|6) 3所以二面角SAMB的大小为arccos(

(22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图， 已知抛物线E:yx与圆M:(x4)yr(r0)相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求r的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时， 求对角线AC、BD的交点P的坐标。

2解：（Ⅰ）将抛物线E:yx代入圆M:(x4)yr(r0)的

2222222方程， 消去y，

整理得x7x16r0 ①

222E与M有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根x1、x2

V(7)24(16r2)0由此得x1x270

2x1x216r0解得

15r216 4又r0

所以r的取值范围是(15,4) 2（II） 设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2)。

2则由（I）根据韦达定理有x1x27,x1x216r， r(15,4) 2则S12|x2x1|(x1x2)|x2x1|(x1x2) 2S2[(x1x2)24x1x2](x1x22x1x2)(7216r2)(4r215)

2令16r2t， 则S(72t)(72t) 下面求S的最大值。

22方法1：由三次均值有：

1S2(72t)2(72t)(72t)(72t)(144t)

2172t72t144t31283 ()()

2323 当且仅当72t144t， 即t意。

方法2：设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2) 则直线AC、BD的方程分别为

157,4)满足题时取最大值。经检验此时r(26yx1x2x1x2x1(xx1),yx1x2x1x2x1(xx1)

解得点P的坐标为(x1x2,0)。 设t7x1x2， 由t16r2及（Ⅰ）得t(0,)

2由于四边形ABCD为等腰梯形， 因而其面积

S1(2x12x2)|x1x2| 2则S2(x12x1x2x2)[(x1x2)24x1x2] 将x1x27，

x1x2t代入上式， 并令f(t)S2， 得

7f(t)(72t)2(72t)8t328t298t343(0t)，

2∴f'(t)24t56t982(2t7)(6t7)， 令f'(t)0得t277， 或t（舍去） 62当0t7777时， f'(t)0；当t时f'(t)0；当t时， f'(t)0 66627时， f(t)有最大值， 即四边形ABCD的面积最大， 故所求的点P6故当且仅当t的坐标为(,0)

(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛， 约定先胜3局者获得这次比赛的胜利， 比赛结束。假设在一局中， 甲获胜的概率为0.6， 乙获胜的概率为0.4， 各局比赛结果相互独立。已知前2局中， 甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率； （Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率， 综合题。

解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i3,4,5)， “第j局乙获胜”为事件Bj(j3,4,5)。 （Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A， 则

76AA3A4B3B4， 由于各局比赛结果相互独立， 故 P(A)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4)

P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)

0.60.60.40.40.52

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B， 因前两局中， 甲、乙各胜1局， 故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中， 甲先胜2局， 从而

BA3A4B3A4A5A3B4A5， 由于各局比赛结果相互独立， 故 P(B)P(A3A4B3A4A5A3B4A5)

P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5) 0.60.60.40.60.60.60.40.60.648（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 已知函数f(x)x3x6.

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设点P在曲线yf(x)上， 若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点， 求l的方程

【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性， 综合题。 解：（Ⅰ）f'(x)4x6x4x(x34266)(x) 22令f'(x)0得66x0或x； 2266或0x 22666,0)和(,)为增函数；在区间(,)和222令f'(x)0得x因此， fx在区间((0,6)为减函数。 2（Ⅱ）设点P(x0,f(x0))， 由l过原点知， l的方程为yf'(x0)x，

因此f(x0)x0f'(x0)，

423即x03x06x0(4x06x0)0， 22整理得(x01)(x02)0，

解得x02或x02

因此切线l的方程为y2x或y22x