全国高考数学试卷(文科专用)

2020年全国统一高考数学试卷（文科）

题号 得分 一 二

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥−4<0}，𝐵={−4,1，3，5}，则𝐴∩𝐵=( )

三 总分 A. {−4,1} B. {1,5} C. {3,5} D. {1,3}

2. 若𝑧=1+2𝑖+𝑖3，则|𝑧|=( )

A. 0 B. 1 C. √2 D. 2

3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四

棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )

A. √5−1

4 B. √5−12 C. √5+14 D. √5+12

4. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线

的概率为( )

A. 5

1

B. 5

2

C. 2

1

D. 5

4

5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度𝑥(单位：℃)的关系，

在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2，…，20)得到下面的散点图：

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由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )

A. 𝑦=𝑎+𝑏𝑥 B. 𝑦=𝑎+𝑏𝑥2 C. 𝑦=𝑎+𝑏𝑒𝑥 D. 𝑦=𝑎+𝑏𝑙𝑛𝑥

6. 已知圆𝑥2+𝑦2−6𝑥=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为

( )

A. 1 B. 2

𝜋

C. 3 D. 4

7. 设函数𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+6)在[−𝜋,𝜋]的图象大致如图，则𝑓(𝑥)的最小正周期为( )

A.

10𝜋9

B. 6

7𝜋

C. 3

4𝜋

D. 2

3𝜋

8. 设𝑎𝑙𝑜𝑔34=2，则4−𝑎=( )

A. 16

1

B. 9

1

C. 8

1

D. 6

1

9. 执行如图的程序框图，则输出的𝑛=( )

A. 17 B. 19 C. 21 D. 23

10. 设{𝑎𝑛}是等比数列，且𝑎1+𝑎2+𝑎3=1，𝑎2+𝑎3+𝑎4=2，则𝑎6+𝑎7+𝑎8=( )

A. 12 B. 24

𝑦23

C. 30 D. 32

𝐹2是双曲线C：11. 设𝐹1，𝑥2−

则△𝑃𝐹1𝐹2的面积为( )

O为坐标原点，点P在C上且|𝑂𝑃|=2，=1的两个焦点，

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A. 2

7

B. 3

C. 2

5

D. 2

12. 已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙𝑂1为△𝐴𝐵𝐶的外接圆．若⊙𝑂1的面积

为4𝜋，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝑂𝑂1，则球O的表面积为( )

A. 64𝜋 B. 48𝜋 C. 36𝜋 D. 32𝜋

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

2𝑥+𝑦−2≤0,

13. 若x，y满足约束条件{𝑥−𝑦−1≥0,则𝑧=𝑥+7𝑦的最大值为______．

𝑦+1≥0,⃗ =(1,−1)，⃗ 14. 设向量𝑎𝑏=(𝑚+1,2𝑚−4)，若𝑎⃗ ⊥⃗ 𝑏，则𝑚=______． 15. 曲线𝑦=𝑙𝑛𝑥+𝑥+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______． 16. 数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+2+(−1)𝑛𝑎𝑛=3𝑛−1，前16项和为540，则𝑎1=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四

个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 A 40 B 20 C 20 D 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 A 28 B 17 C 34 D 21 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

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18. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，𝑐.已知𝐵=150°．

(1)若𝑎=√3𝑐，𝑏=2√7，求△𝐴𝐵𝐶的面积； (2)若𝑠𝑖𝑛𝐴+√3𝑠𝑖𝑛𝐶=√2

2，求C．

19. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△𝐴𝐵𝐶

是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠𝐴𝑃𝐶=90°． (1)证明：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面PAC；

(2)设𝐷𝑂=√2，圆锥的侧面积为√3𝜋，求三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的体积．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎(𝑥+2)．

(1)当𝑎=1时，讨论𝑓(𝑥)的单调性； (2)若𝑓(𝑥)有两个零点，求a的取值范围．

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𝑥2⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅的左、右顶点，G为E的上顶点，𝐴𝐺21. 已知A，B分别为椭圆E：𝑎2+𝑦=1(𝑎>1)

2

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐵=8.𝑃为直线𝑥=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点．

𝑥=cos𝑘𝑡,

(𝑡为参数).以坐标原点为极22. 在直角坐标系xOy中，曲线𝐶1的参数方程为{

𝑦=sin𝑘𝑡

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为4𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−16𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃+3=0．

(1)当𝑘=1时，𝐶1是什么曲线？

(2)当𝑘=4时，求𝐶1与𝐶2的公共点的直角坐标．

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23. 已知函数𝑓(𝑥)=|3𝑥+1|−2|𝑥−1|．

(1)画出𝑦=𝑓(𝑥)的图象；

(2)求不等式𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥+1)的解集．

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥−4<0}=(−1,4)，𝐵={−4,1，3，5}， 则𝐴∩𝐵={1,3}， 故选：D．

求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案．

本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

2.【答案】C

【解析】 【分析】

本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题． 根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可． 【解答】

解：𝑧=1+2𝑖+𝑖3=1+2𝑖−𝑖=1+𝑖， ∴|𝑧|=√12+12=√2． 故选：C．

3.【答案】C

【解析】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则依题意有：{

𝑎2

ℎ2=𝑎ℎ′

2

1

ℎ2=ℎ′2−(2)2

12

𝑎

，

ℎ′𝑎

ℎ′𝑎

√5+1(负值舍去)； 4

因此有ℎ′2−()2=𝑎ℎ′⇒4()2−2()−1=0⇒

𝑎

ℎ′

=

故选：C．

先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论． 本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．

4.【答案】A

【解析】

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【分析】

本题考查了古典概型概率问题，属于基础题． 根据古典概率公式即可求出． 【解答】

3

解：O，A，B，C，D中任取3点，共有𝐶5=10，

其中共线为A，O，C和B，O，D两种， 故取到的3点共线的概率为𝑃=10=5， 故选：A．

2

1

5.【答案】D

【解析】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点(𝑥,𝑦)在一段对数函数的曲线附近，

结合选项可知，𝑦=𝑎+𝑏𝑙𝑛𝑥可作为发芽率y和温度x的回归方程类型． 故选：D．

直接由散点图结合给出的选项得答案．

本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．

6.【答案】B

【解析】解：由圆的方程可得圆心坐标𝐶(3,0)，半径𝑟=3；

设圆心到直线的距离为d，则过𝐷(1,2)的直线与圆的相交弦长|𝐴𝐵|=2√𝑟2−𝑑2， 当d最大时|𝐴𝐵|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时𝑑=|𝐶𝐷|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，

所以最小的弦长|𝐴𝐵|=2√32−(2√2)2=2， 故选：B．

由相交弦长|𝐴𝐵|和圆的半径r及圆心C到过𝐷(1,2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．

本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题．

7.【答案】C

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【解析】 【分析】

本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．

由图象观察可得最小正周期小于代入𝑓(−

4𝜋9

13𝜋9

，大于10𝜋9

，排除A，D；再对照选项B，C求得𝜔，

)=0计算，即可得到结论．

【解答】

解：由图象可得最小正周期小于𝜋−(−由图象可得𝑓(−即为−

4𝜋9

𝜋4𝜋9

4𝜋

)=9

13𝜋9

，大于2×(𝜋−

4𝜋

)=9

10𝜋9

D； ，排除A，

)=cos(−

𝜋

4𝜋9

𝜔+)=0，

6

𝜋

𝜔+6=𝑘𝜋+2，𝑘∈𝑍，(∗)

2𝜋

7𝜋6若选B，即有𝜔=若选C，即有𝜔=故选：C．

=

12

4𝜋

7，由−9

×

127

+6=𝑘𝜋+2，可得k不为整数，排除B；

𝜋𝜋

2𝜋

4𝜋3

=，由−4𝜋×3+𝜋=𝑘𝜋+𝜋，可得𝑘=−1，成立． 29262

3

8.【答案】B

【解析】 【分析】

本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题． 直接根据对数和指数的运算性质即可求出． 【解答】

解：因为𝑎𝑙𝑜𝑔34=2，则log34𝑎=2，则4𝑎=32=9 则4−𝑎=4 𝑎=9， 故选：B．

1

1

9.【答案】C

【解析】解：𝑛=1，𝑆=0，

第一次执行循环体后，𝑆=1，不满足退出循环的条件，𝑛=3； 第二次执行循环体后，𝑆=4，不满足退出循环的条件，𝑛=5； 第三次执行循环体后，𝑆=9，不满足退出循环的条件，𝑛=7；

第9页，共34页

第四次执行循环体后，𝑆=16，不满足退出循环的条件，𝑛=9； 第五次执行循环体后，𝑆=25，不满足退出循环的条件，𝑛=11； 第六次执行循环体后，𝑆=36，不满足退出循环的条件，𝑛=13； 第七次执行循环体后，𝑆=49，不满足退出循环的条件，𝑛=15； 第八次执行循环体后，𝑆=64，不满足退出循环的条件，𝑛=17； 第九次执行循环体后，𝑆=81，不满足退出循环的条件，𝑛=19； 第十次执行循环体后，𝑆=100，不满足退出循环的条件，𝑛=21； 第十一次执行循环体后，𝑆=121，满足退出循环的条件， 故输出n值为21， 故选：C．

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

10.【答案】D

【解析】解：{𝑎𝑛}是等比数列，且𝑎1+𝑎2+𝑎3=1， 则𝑎2+𝑎3+𝑎4=𝑞(𝑎1+𝑎2+𝑎3)，即𝑞=2， ∴𝑎6+𝑎7+𝑎8=𝑞5(𝑎1+𝑎2+𝑎3)=25×1=32， 故选：D．

根据等比数列的性质即可求出．

本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题．

11.【答案】B

【解析】解：由题意可得𝑎=1，𝑏=√3，𝑐=2， ∴|𝐹1𝐹2|=2𝑐=4， ∵|𝑂𝑃|=2， ∴|𝑂𝑃|=2|𝐹1𝐹2|， ∴△𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形， ∴𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，

∴|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=4𝑐2=16， ∵||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2𝑎=2，

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1

∴|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−2|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=4， ∴|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=6，

∴△𝑃𝐹1𝐹2的面积为𝑆=2|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=3， 故选：B．

先判断△𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出． 本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．

1

12.【答案】A

⊙𝑂1的面积为4𝜋，【解析】解：由题意可知图形如图：可得𝑂1𝐴=2，则

3

3√3

𝐴𝑂=𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛60°，𝐴𝑂=𝐴𝐵， 112

2

2

∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝑂𝑂1=2√3，

22外接球的半径为：𝑅=√𝐴𝑂1+𝑂𝑂1=4，

球O的表面积：4×42×𝜋=64𝜋． 故选：A．

画出图形，利用已知条件求出𝑂𝑂1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积． 本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．

13.【答案】1

2𝑥+𝑦−2≤0,

x，y满足约束条件{𝑥−𝑦−1≥0,， 【解析】解：

𝑦+1≥0,不等式组表示的平面区域如图所示，

2𝑥+𝑦−2=0由{，可得𝐴(1,0)时，目标函数𝑧=𝑥−𝑦−1=0𝑥+7𝑦，可得𝑦=−7𝑥+7𝑧，

当直线𝑦=−7𝑥+7𝑧，过点A时，在y轴上截距最大，

此时z取得最大值：1+7×0=1． 故答案为：1．

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的

1

11

1

第11页，共34页

截距最大值即可．

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

14.【答案】5

⃗ =(1,−1)，⃗ 【解析】解：向量𝑎𝑏=(𝑚+1,2𝑚−4)，若𝑎⃗ ⊥⃗ 𝑏， ⃗ =𝑚+1−(2𝑚−4)=−𝑚+5=0， 则𝑎⃗ ⋅𝑏则𝑚=5， 故答案为：5

根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果． 本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．

15.【答案】𝑦=2𝑥

【解析】 【分析】

本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

求得函数𝑦=𝑙𝑛𝑥+𝑥+1的导数，设切点为(𝑚,𝑛)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程． 【解答】

解：𝑦=𝑙𝑛𝑥+𝑥+1的导数为𝑦′=𝑥+1， 设切点为(𝑚,𝑛)，可得𝑘=1+𝑚=2， 解得𝑚=1，即有切点(1,2)，

则切线的方程为𝑦−2=2(𝑥−1)，即𝑦=2𝑥， 故答案为：𝑦=2𝑥．

1

1

16.【答案】7

【解析】解：由𝑎𝑛+2+(−1)𝑛𝑎𝑛=3𝑛−1， 当n为奇数时，有𝑎𝑛+2−𝑎𝑛=3𝑛−1， 可得𝑎𝑛−𝑎𝑛−2=3(𝑛−2)−1，

…

𝑎3−𝑎1=3⋅1−1，

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累加可得𝑎𝑛−𝑎1=3[1+3+⋯+(𝑛−2)]−=3⋅

[1+(𝑛−2)]⋅

2

𝑛−12

𝑛−12

−

𝑛−12

=

(𝑛−1)(3𝑛−5)

4

；

当n为偶数时，𝑎𝑛+2+𝑎𝑛=3𝑛−1，

可得𝑎4+𝑎2=5，𝑎8+𝑎6=17，𝑎12+𝑎10=29，𝑎16+𝑎14=41． 可得𝑎2+𝑎4+⋯+𝑎16=92． ∴𝑎1+𝑎3+⋯+𝑎15=448．

∴8𝑎1+4(0+8+40+96+176+280+408+560)=448， ∴8𝑎1=56，即𝑎1=7． 故答案为：7．

在已知数列递推式中，分别取n为奇数与偶数，可得𝑎𝑛−𝑎𝑛−2=3(𝑛−2)−1与𝑎𝑛+2+𝑎𝑛=3𝑛−1，利用累加法得到n为奇数时𝑎𝑛与𝑎1的关系，求出偶数项的和，然后列式求解𝑎1．

本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．

1

17.【答案】解：(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故

频率为100=0.4，

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为100=0.28， 故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别是0.4，0.28； (2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2， 故其平均利润为(90−25)×0.4+(50−25)×0.2+(20−25)×0.2+(−50−25)×0.2=15(元)；

同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，

故其平均利润为(90−20)×0.28+(50−20)×0.17+(20−20)×0.34+(−50−20)×0.21=10(元)；

因为15>10，所以选择甲分厂承接更好．

28

40

【解析】(1)根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率； (2)根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可．

本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．

18.【答案】解：(1)△𝐴𝐵𝐶中，𝐵=150°，𝑎=√3𝑐，𝑏=2√7，

𝑐𝑜𝑠𝐵=

𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

=

3𝑐2+𝑐2−282√3𝑐2=−

√3， 2

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∴𝑐=2，𝑎=2√3，

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=⋅2√3⋅2⋅=√3．

2

2

2

1

1

1

(2)𝑠𝑖𝑛𝐴+√3𝑠𝑖𝑛𝐶=

√2

， 2

2

即sin(180°−150°−𝐶)+√3𝑠𝑖𝑛𝐶=√，

2化简得𝑐𝑜𝑠𝐶+√𝑠𝑖𝑛𝐶=√，

2

2

2

1

3

2

sin(𝐶+30°)=

√2

， 2

∵0°<𝐶<30°， ∴30°<𝐶+30°<60°， ∴𝐶+30°=45°， ∴𝐶=15°．

【解析】(1)根据题意，𝐵=150°，通过余弦定理，即可求得𝑐=2，𝑎=2√3，进而通过三角形面积公式𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=2⋅2√3⋅2⋅2=√3．

(2)通过三角形三边和为180°，将𝐴=180°−150°−𝐶代入𝑠𝑖𝑛𝐴+√3𝑠𝑖𝑛𝐶=√，根据C

2的范围，即可求得𝐶=15°．

本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，结合三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于基础题．

2

1

1

1

19.【答案】解：(1)连接OA，OB，OC，△𝐴𝐵𝐶是底面的

内接正三角形， 所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶．

O是圆锥底面的圆心，所以：𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶， 所以𝐴𝑃=𝐵𝑃=𝐶𝑃=𝑂𝐴2+𝑂𝑃2=𝑂𝐵2+𝑂𝑃2=𝑂𝐶2+𝑂𝑃2，

所以△𝐴𝑃𝐵≌△𝐵𝑃𝐶≌△𝐴𝑃𝐶， 由于∠𝐴𝑃𝐶=90°． 所以∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐵𝑃𝐶=90°

所以𝐴𝑃⊥𝐵𝑃，𝐶𝑃⊥𝐵𝑃，AP，𝑃𝐶⊂平面APC， 由于𝐴𝑃∩𝐶𝑃=𝑃， 所以𝐵𝑃⊥平面APC， 由于𝐵𝑃⊂平面PAB，

第14页，共34页

所以：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面PAC．

(2)设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 所以𝑙=√2+𝑟2． 由于圆锥的侧面积为√3𝜋，

所以𝜋⋅𝑟⋅√2+𝑟2=√3𝜋，整理得(𝑟2+3)(𝑟2−1)=0， 解得𝑟=1．

所以𝐴𝐵=√1+1−2×1×1×(−)=√3．

2由于𝐴𝑃2+𝐵𝑃2=𝐴𝐵2，解得𝐴𝑃=√

231

则：𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶=××√×√×√=√．

3

2

2

2

2

8

113336

【解析】(1)首先利用三角形的全等的应用求出𝐴𝑃⊥𝐵𝑃，𝐶𝑃⊥𝐵𝑃，进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论．

(2)利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果． 本题考查的知识要点：面面垂直的判定和性质的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．

20.【答案】解：由题意，𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,+∞)，且𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎．

(1)当𝑎=1时，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1，令𝑓′(𝑥)=0，解得𝑥=0． ∴当𝑥∈(−∞,0)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减， 当𝑥∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增． ∴𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；

𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎>0恒成立，𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意； (2)①当𝑎≤0时，

②当𝑎>0时，令𝑓′(𝑥)=0，解得𝑥=𝑙𝑛𝑎， 当𝑥∈(−∞,𝑙𝑛𝑎)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减， 当𝑥∈(𝑙𝑛𝑎,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增．

∴𝑓(𝑥)的极小值也是最小值为𝑓(𝑙𝑛𝑎)=𝑎−𝑎(𝑙𝑛𝑎+2)=−𝑎(1+𝑙𝑛𝑎)． 又当𝑥→−∞时，𝑓(𝑥)→+∞，当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→+∞． ∴要使𝑓(𝑥)有两个零点，只要𝑓(𝑙𝑛𝑎)<0即可， 则1+𝑙𝑛𝑎>0，可得𝑎>𝑒．

综上，若𝑓(𝑥)有两个零点，则a的取值范围是(𝑒,+∞)．

1

1

第15页，共34页

【解析】(1)当𝑎=1时，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；

(2)当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎>0恒成立，𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；当𝑎>0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．

21.【答案】解：(1)由题设得，𝐴(−𝑎,0)，

𝐵(𝑎,0)，𝐺(0,1)，则⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐺=(𝑎,1)，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐵=(𝑎,−1)，

⃗⃗⃗⃗⃗ =8得𝑎2−1=8，即𝑎=3， 由⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐺⋅𝐺𝐵所以E的方程为

𝑥29

+𝑦2=1．

(2)设𝐶(𝑥1,𝑦1)，𝐷(𝑥2,𝑦2)，𝑃(6,𝑡)，

若𝑡≠0，设直线CD的方程为𝑥=𝑚𝑦+𝑛，由题可知，−3<𝑛<3，

由于直线PA的方程为𝑦=9(𝑥+3)，所以𝑦1=9(𝑥1+3)，同理可得𝑦2=3(𝑥2−3)， 于是有3𝑦1(𝑥2−3)=𝑦2(𝑥1+3)①． 由于

2𝑥2

𝑡𝑡𝑡

9

22=−+𝑦2=1，所以𝑦2

(𝑥2+3)(𝑥2−3)

9

，

将其代入①式，消去𝑥2−3，可得27𝑦1𝑦2=−(𝑥1+3)(𝑥2+3)，即(27+𝑚2)𝑦1𝑦2+𝑚(𝑛+3)(𝑦1+𝑦2)+(𝑛+3)2=0②，

𝑥=𝑚𝑦+𝑛联立{𝑥2

9

2

+𝑦=1

得，(𝑚2+9)𝑦2+2𝑚𝑛𝑦+𝑛2−9=0，

2𝑚𝑛

𝑛2−9

所以𝑦1+𝑦2=−𝑚2+9，𝑦1𝑦2=2，

𝑚+9

代入②式得(27+𝑚2)(𝑛2−9)−2𝑚(𝑛+3)𝑚𝑛+(𝑛+3)2(𝑚2+9)=0， 解得𝑛=2或−3(因为−3<𝑛<3，所以舍−3)，

故直线CD的方程为𝑥=𝑚𝑦+2，即直线CD过定点(2,0)． 若𝑡=0，则直线CD的方程为𝑦=0，也过点(2,0)． 综上所述，直线CD过定点(2,0)．

3

3

3

3

3

第16页，共34页

【解析】(1)根据椭圆的几何性质，可写出A、B和G的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a的方程，解之即可；

(2)设𝐶(𝑥1,𝑦1)，𝐷(𝑥2,𝑦2)，𝑃(6,𝑡)，然后分两类讨论：①𝑡≠0，设直线CD的方程为𝑥=𝑚𝑦+𝑛，写出直线PA和PB的方程后，消去t可得3𝑦1(𝑥2−3)=𝑦2(𝑥1+3)，结合

2𝑥2

9

2+𝑦2=1，消去𝑥2−3，可得(27+𝑚2)𝑦1𝑦2+𝑚(𝑛+3)(𝑦1+𝑦2)+(𝑛+3)2=0，然

后联立直线CD和椭圆的方程，消去x，写出韦达定理，并将其代入上式化简整理得关于m和n的恒等式，可解得𝑛=2或−3(舍)，从而得直线CD过定点(2,0)；②若𝑡=0，则直线CD的方程为𝑦=0，只需验证直线CD是否经过点(2,0)即可．

本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，涉及分类讨论的思想，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．

3

3

3

22.【答案】解：(1)当𝑘=1时，曲线𝐶1的参数方程为{𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑡，(𝑡为参数)，

消去参数t，可得𝑥2+𝑦2=1，

故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；

𝑥=cos4𝑡(2)当𝑘=4时，曲线𝐶1的参数方程为{，(𝑡为参数)，

𝑦=sin4𝑡两式作差可得𝑥−𝑦=cos4𝑡−sin4𝑡=cos2𝑡−sin2𝑡=2𝑐𝑜𝑠2𝑡−1， ∴cos2𝑡=

𝑥−𝑦+12

𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑡

，得𝑥=cos4𝑡=(

𝑥−𝑦+12

)， 2

整理得：(𝑥−𝑦)2−2(𝑥+𝑦)+1=0(0≤𝑥≤1,0≤𝑦≤1)． 由4𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−16𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃+3=0，又𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃，𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃， ∴4𝑥−16𝑦+3=0．

𝑥=𝑥=4(𝑥−𝑦)−2(𝑥+𝑦)+1=036

联立{，解得{49(舍)，或{1． 4𝑥−16𝑦+3=0𝑦=36𝑦=4

2

169

1

∴𝐶1与𝐶2的公共点的直角坐标为(4,4).

11

𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑡

【解析】(1)当𝑘=1时，曲线𝐶1的参数方程为{𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑡，(𝑡为参数)，利用平方关系消去参数t，可得𝑥2+𝑦2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；

𝑥=cos4𝑡

(2)当𝑘=4时，(𝑡为参数)，曲线𝐶1的参数方程为{消去参数t，可得(𝑥−𝑦)2−4，𝑦=sin𝑡2(𝑥+𝑦)+1=0(0≤𝑥≤1,0≤𝑦≤1).由4𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−16𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4𝑥−16𝑦+3=0.联立方程组即可求得𝐶1与𝐶2的公共点的直角坐标为(4,4).

第17页，共34页

11

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．

𝑥+3,(𝑥≥1)

1

23.【答案】解：函数𝑓(𝑥)=|3𝑥+1|−2|𝑥−1|={5𝑥−1,(−3≤𝑥<1)，

−𝑥−3,(𝑥<−)

31

图象如图所示

(2)由于𝑓(𝑥+1)的图象是函数𝑓(𝑥)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)

直线𝑦=5𝑥−1向左平移一个单位后表示为𝑦=5(𝑥+1)−1=5𝑥+4， 𝑦=−𝑥−37联立{，解得横坐标为𝑥=−6，

𝑦=5𝑥+4∴不等式𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥+1)的解集为{𝑥|𝑥<−6}.

7

【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；

(2)由于𝑓(𝑥+1)是函数𝑓(𝑥)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

第18页，共34页

考生注意：

1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=x|x2，B=x|32x0，则 A．AC．AB=x|x Bx|x 3232 B．AD．AB B=R

2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A．x1，x2，…，xn的平均数 标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值 中位数

3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．i(1+i)2

B．i2(1-i)

C．(1+i)2

D．x1，x2，…，xn的

B．x1，x2，…，xn的

D．i(1+i)

4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

第19页，共34页

A．

1 4 1 2

B．

π 8

C．

πD．

42y5．已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A3的坐标是(1,3).则△APF的面积为 1A．

3

1B．

23D．

2

2C．

36．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是

x3y3,7．设x，y满足约束条件xy1,则z=x+y的最大值为

y0,A．0

D．3

B．1 C．2

8．.函数ysin2x的部分图像大致为

1cosx第20页，共34页

9．已知函数f(x)lnxln(2x)，则 A．f(x)在（0,2）单调递增 （0,2）单调递减

C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称 于点（1,0）对称

10．如图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在框中，可以分别填入

和

两个空白

D．y=f(x)的图像关

B．f(x)在

A．A>1000和n=n+1 C．A≤1000和n=n+1 和n=n+2

B．A>1000和n=n+2

D．A≤1000

11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知sinBsinA(sinCcosC)0，

a=2，c=2，则C=

第21页，共34页

A．

π 12

D．

B．

π 6 C．

π 4π 3x2y212．设A、B是椭圆C：若C上存在点M满足∠AMB=120°，1长轴的两个端点，

3m则m的取值范围是 A．(0,1][9,) C．(0,1][4,)

B．(0,3][9,) D．(0,3][4,)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______________. 14．曲线yx21在点（1，2）处的切线方程为_________________________. xππ15．已知a(0，),tan α=2，则cos()=__________。

4216．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）

记Sn为等比数列an的前n项和，已知S2=2，S3=-6. （1）求an的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。

第22页，共34页

18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,APD90,且四棱锥P-ABCD的体积为锥的侧面积.

第23页，共34页

8，求该四棱3

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序 零件尺寸 9.95 抽取次序 9 1 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95 零件尺寸 10.26 第24页，共34页

116xi9.97，经计算得x16i111611622s(xix)(xi16x2)0.212，16i116i116i(i8.5)i116218.439，

(xx)(i8.5)2.78，其中x为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ii1（1）求(xi,i)(i1,2,,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x3s,x3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(x3s,x3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本(xi,yi)(i1,2,,n)的相关系数r(xx)(yy)iii1n(xx)(yy)2iii1i1nn，

20.0080.09．

x220．（12分）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.

4（1）求直线AB的斜率；

第25页，共34页

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.

21．（12分）

已知函数f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x． （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)0，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

第26页，共34页

x3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参

ysin,数方程为

xa4t,（t为参数）. y1t,（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若z1i,则z22z A.0 B.1 C.2 D.2

2.设集合Axx240，Bx2xa0，且ABx2x1，则

a A.-4 B.-2 C.2 D.4

3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.

51

4

第27页，共34页

B.

51

251 451 2C. D.

24.已知A为抛物线C:y2px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，

到y轴的距离为9，则p A．2 B．3 C．6 D．9

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i1,2,...,20)得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是

A．yabx B．yabx C．yabe D．yablnx

x2第28页，共34页

436.函数f(x)x2x的图像在点(1,f(1))处的切线方程为

A．y2x1 B．y2x1 C．y2x3 D．y2x1

7.设函数f(x)cos(x)在-，的图像大致

6如下图，则f(x)的最小正周期为

10 97B.

64C.

33D.

2

A.

y2338. (x)(xy)5的展开式中xy的系数为

xA. 5 B. 10 C. 15 D. 20

9. 已知(0,)，且3cos28cos5，则sin= A. 5 32B.

31C.

3第29页，共34页

D.

5 910. 已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4,ABBCACOO1,则球O的表面积为 A. 64B. 48C. 36D. 32

2211. 已知M:xy2x2y20，直线l: 2x+y+2=0,p为l上的动点.过

点p作M的切线PA，PB,切点为A,B,当PMAB最小时，直线AB的方程为

A. 2xy10 B. 2xy10 C. 2xy10 D. 2xy10

12.若2alog2a4b2log4b则 A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2xy20,13.若x，y满足约束条件xy10,则z=x+7y的最大值为 。

y10,14.设a，b为单位向量，且︱a+b︱=1,则︱a-b︱= 。

第30页，共34页

x2y215.已知F为双曲线C:221(a0,b0)的右焦点，A为C的右顶点，Bab为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为

__________.

16.如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD3，ABAC，ABAD，CAE30，则cosFCB________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题，共60分。

17.（12分）

设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. （1） 求an的公比；

（2） 若a1=1，求数列nan的前n项和.

18.（12分）

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD,ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点,PO6DO. 6第31页，共34页

(1)证明：PA⊥平面PBC； (2)求二面角B-PC-E的余弦值.

19. （12分）

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

1经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为.

2（1） 求甲连胜四场的概率；

（2） 求需要进行第五场比赛的概率； （3） 求丙最终获胜的概率.

x220.已知A，B分别为椭圆E：2y21(a1)的左、右顶点，G为E上顶

a点，AGGB8.P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D. （1）求E的方程

（2）证明:直线CD过定点

21.（12分）

已知函数fxexax2x.

（1） 当a1时，讨论fx的单调性； （2） 当x0时，fx13x1，求a的取值范围. 2第32页，共34页

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）

kxcost, 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ，以坐(t为参数）kysint标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 4cos16sin30.

（1） 当k1时，C1是什么曲线？

（2） 当k4时，求C1与C2的公共点的直角坐标.

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x)3x12x-1. （1） 画出y=f(x)的图像； （2） 求不等式f(x)>f(x+1)的解集.

第33页，共34页

第34页，共34页