广东技术师范学院学报（自然科学） ２０１４年第７期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｎｏ ７ ２０１４ 分数阶微积分的几个重要性质 彭国俊 （广东技术师范学院计算机科学学院，广东广州５１０６６５） 摘 要：介绍分数阶积分和导数定义，对其性质作了相应的分析．描述了分数阶常微分方程解的存 在唯一性．给出了分数阶常微分方程数值解的离散格式，以及线性分数阶常微系统解析解的表示．最后 对平面线性分数阶系统平衡点的结构及其稳定性得出了相应的结论． 关键词：分数阶；平衡点；稳定性 中图分类号：０ １７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—４０２Ｘ（２０１４）０７—０００５—０５ １分数阶积分和导数的定义 分数阶微积分已有３００多年的历史，使用得 下定义的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶导数： ： （￡）＝ ｍ－，ｎｌ －ａ （￡）， ｍ一１＜ｏｒ≤ｍ∈Ｎ，ｔ＞ｘ． 而且满足： 砒ｐ ｘＪＫ＝Ｉ）ｍＪ Ｋ ＪＸ＝Ｉ）ｍＪ Ｋ＝Ｉ． 最普遍的分数阶导数是Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ和Ｃａ． ｐｕｔｏ两个版本的定义【¨．柯西积分公式将一个函 数 （ｔ）的ｎ次积分变为如下的卷积形式： （４） ）＝ Ｊ （ｔ－ｒ （ ）ｄｒ， ｎ∈Ｎ，ｔ＞Ｋ． （１） 值得注意的事实是。常数的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分 数阶导数并不为０．实际上，由（２）可得： ．若将上面的积分次数ｎ推广为对任意正数０ｃ的情 形，就得到了如下的 次Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ积分： ，：（￡一Ｋ）卢＝１ （ｔ一，ｃ）卢＋ｎ， ａ＞０， ＋１＞０，ｔ＞Ｋ． ）＝ Ｊ （ｔ－ｒ 。ｕ（ ）ｄｒ， Ｏｔ∈Ｒ ，￡＞，ｃ． （２） 从而有： ＝ （ “， （５） 其中的算子 具有半群属性．接下来，将ｎ阶导 数推广为 阶的形式是一个自然的需求．注意 ｏｒ＞０，ＪＢ＋１＞Ｏ，ｔ＞Ｋ． 令上式中１３＝０，得到： 到 阶导数Ｄ 仅仅是Ｊ：的一个左逆，即：Ｄ＂Ｊ：＝ ，，但 Ｄｎ≠，．事实上，由（１）可得： ｎ一１ ｎ：ｌ＝ 同时。注意到 ｉ．＋， ， ． ０ ０＇１，…， （６） （７） Ｄｎ （ｚ）＝ （￡）一∑辜 ｕ’（，ｃ）， ． （３） ＝Ｏ Ｊ： ｍ 亓 于是有： 自然地，希望 也能够成为 的一个左逆．通 过引入自然数ｍ，使得ｍ一１＜ｏｒ≤ｍ，就得到了如 ： ｛ Ｋ． （８） 收稿日期：２０１４—０４—１７ 基金项目：广东省自然科学基金（Ｎｏ．ｓ２０１２０４０００６６８８）；广东省教育厅科技创新项目（Ｎｏ．２０１２ＫＪＣＸ００７３）． 作者简介：彭国俊（１９７４一），男，湖北天门人，博士，广东技术师范学院计算机科学学院讲师．研究方向：微分方程定 性和分支理论． ・６・ 彭国俊：分数阶微积分的几个重要性质 第７期 （８）式表明Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶导数不 是通常整数阶导数的一个自然推广．为改变此 事实，Ｃａｐｕｔｏ定义了如下的分数阶导数： ｃｏ （ｔ）＝．， ‘ ’（ｔ）， ｍ－１＜ｏＬ≤ｍ∈Ｎ，ｔ＞Ｋ， （９） 此定义满足： Ｊ ：Ｊ ＫＪｘ Ｄｍ＝Ｊ ＫＤｍ． 于是根据（３）得： ： （￡）＝ （￡）一∑ （，ｃ）， ｍ—ｌ＜ｏｌ≤ｍ∈Ｎ，ｔ＞Ｋ． （１０） 用算子 ：作用于（１ｏ）的两端，并利用（５），得到 两种导数之间的关系如下： ）＝ ）一委 （Ｋ）＇ ｍ一１＜ｏＬ≤ｍ∈Ｎ，ｔ＞Ｋ． （１１） 特别地，由（７）可得： ｃｏ （ｔ）＝ （ｔ）， ∈Ｎ，ｔ＞Ｋ． 根据（６），进一步有： ：１＝０， ＞０，ｔ＞Ｋ． （１２） ２分数阶微分方程解的存在唯一性 关于分数阶微分方程Ｃａｕｃｈｙ问题，有如下 的理论结果［ ． 定理 设 ｃ 是一个连通开集，（，（， ）ｃ Ｒ’，令Ｄ＝（Ｋ， ）×Ｕ．设ｆ（ｔ，Ｘ）是一个定义在Ｄ 上的实值向量函数．且满足条件： （１）ｆ（ｔ，Ｘ）在Ｄ内连续； （２）ｆ（ｔ，ｘ）在Ｄ内对Ｘ满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件， 即存在正数￡，使得Ｖ（ｔ，Ｘ），（ｔ，Ｘ）∈Ｄ，都有： ＩＩｆ（ｔ，Ｘ）一ｆ（ｔ－Ｘ）ＩＩ＜ ＩＩｘ－ｘｌｌ， 其中ＩＪ．１ｌ为任一范数．考虑如下分数阶常微分方 程的解： ＝ｆ（ ），０＜ ≤１， 则有，Ｖ（ｔＯ，Ｘｏ）∈Ｄ，３３＞０，（ｔｏ－３，ｔｏ＋３）ｃ（０，Ｔ），并且 存在唯一的连续函数Ｘ：（ｆｏ一 ，ｔｏ＋ｆ１）一 ，满足： （ａ）ｘ（ｔｏ）＝ｘ０， （ｂ） ＝ｆ（ ，ｘ），Ｖ ｔ∈（ｔＯ－－￣，ｔ０＋ｔ３），其中的 算子軎可以是前述 ：或ｃＯ Ｉｘ． ３分数阶微分方程的数值解法 正如常微分方程一样．对分数阶微分方程而 言，能够找到解析解的只有很少几类，大部分不 存在解析解．因此．分数阶微分方程的数值解法 就显得尤为重要．下面以Ｃａｐｕｔｏ定义为例，讨论 如下Ｃａｕｃｈｙ问题的数值解： ｌＩ （ （ｔ）Ｉｔ．＋ ＝ ：， 、“， ｉ＝０，ｌ，…，ｍ—ｌ， （１３）、一一， 其中ｍ一１＜ｏｒ≤ｍ∈Ｎ．（１３）可等价转化为如下的 积分方程【 ］： ）＝ 手 高 （１４） 取步长＾＝羔 ，Ｊ７、，∈Ｎ，ｔ．＝Ｋ＋ｎｈ，ｎ＝Ｏ，１，…，Ⅳ， 可将（１４）离散为如下的格式： ｍ一１ ｉ 瓢（ｔｎ＋１）＝ 川 Ｐ，．（ｔｎ＋１））＋ ｉ ０ ； ‘： ．ｉｔ ｕ１－‘， ｑ 。ｆ（ ，Ｘｈ（ｔｊ）））， （１５） ｉ＝０ ｌ， 一（ｎ－ｏ／）（ ＋１） ，ｊ＝ｏ； 其中ａｊ， ＋ｌ＝｛（ｎ ＋２） ＋（ ）“ Ｉ一２（／７，－ｊ＋１） ，ｌ≤ ≤ｎ， ｍ一１ ｉ ｎ （ －）＝ ＋了 川 ，瓢（ ））， ｂｉ，ｎ＋ｌ＝ （（ｎ＋１ ） （ｎ ） ），０≤ ≤凡． 注解由离散格式（１５）可以看出，分数阶导 数不是一个局部算子，即每步计算都要利用到 从Ｏ至前一时刻的所有序列，这与整数阶微分 算子只需要利用局部几个点的情形有着显著的 区别。因此分数阶微分方程的数值求解比相应 的整数阶情形要复杂得多．而正是由于分数阶导 数具有这种“记忆”性质，在某些情形下，比如对 粘弹性系统建模时，利用分数阶微积分具有更 好的效果． ４线性分数阶微分方程的解析解 考虑如下Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义的线性分 第７期 彭国俊：分数阶微积分的几个重要性质 ．７． 数阶微分方程： （ｔ）＝Ａｘ（ｔ），０＜ ≤Ｉ，ｔ＞Ｋ． （１６） Ａ∈Ｒ ，０＜ ≤１， ＞，ｃ． （１８） 为方便后面的数值模拟。这里采用Ｃａｐｕｔｏ 假设 （ｔ）在ｔ＞Ｋ时连续，并且是 阶，（一奇异 分数导数．显然系统（１８）有唯一平衡点ｘ（ｔ）＝ 的，即： ０＜ｌｌｉａｒ（ｔ—Ｋ） 一 （ｔ）ｌ＝ＩＬＩ＜＋∞． １— Ｋ’ 记 ¨ ＝ ： ：，显然（１６）满足： Ｒ （￡）＝ＡＪｘ（ｚ），０＜０【≤１，ｔ＞Ｋ，Ｊ∈Ｎ． 应用Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ广义Ｔａｙｌｏｒ公式： ＝ ， 其中． ＣＯ＝ ｉ ｒ１（Ｏ１）【（ｔ－－Ｋ）卜 （ｔ）】， Ｉ— Ｋ ＋Ｊ＝ ＋，（ ）［（ｆ一，ｃ） 一 （ｆ）】 ＝ｌｉａｒ＋…－， （￡）， ∈Ｎ， 得到： Ｃｏ＝／，（ ）Ｌ， ＝ ０，Ｊ∈Ｎ． 于是获得（１６）解的展开式为： ）＝ｃ ． 定义如下的 一指数函数： ： ， 则（１６）的通解可表示为： （￡）＝ｃｏｅ ． （１７） 注解若为如下方程组的形式： ：ｘ（￡）：Ａｘ（ｔ）， Ｘ（ｔ）：Ｒ ＲｒＩ，Ａ∈Ｒｌ ，０＜ ≤１，ｔ＞Ｋ， 则相应的通解为： ｘ（￡）＝ｅ ｃ， 其中． Ａｔｅ —ｚ ． ５平面线性分数阶系统解的分类及其 稳定性 考虑如下平面分数阶微分系统解的性质： ｃＯ：ｘ（（）ｔ） （）＝Ａｘ ｔ ，ｘ（（）ｔ）＝ 】ｒ： ：｝：Ｒ Ｒ ， （ｏ，ｏ）． 关于线性分数阶微分系统的稳定性，有如 下的结论［４１． 定理 下面的系统 ｃｏ Ｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ），ｘ（，ｃ）＝ｘ ， Ｘ（ｔ）：Ｒ Ｒ ，Ａ∈Ｒ “，０＜ ≤１，ｔ＞Ｋ 是渐近稳定的，当且仅当Ａ的所有特征值Ａ的 辐角主值满足ｌａｒｇ（Ａ）Ｊ＞ ；是渐近稳定的，当 且仅当ｌａｒｇ（ｋ）Ｉ≥ ． 周知，Ｖ Ａ∈Ｒ ，ｊ Ｐ∈Ｒ ，使得Ｂ＝ｐ Ａｐ 具有下面三种形式之一： ㈩ ０］；（ｂ）（ ｃ ［詈－。ｂ】． 若引人ｘ＝ｐｙ，则前述系统按拓扑等价成为： ｃＤ Ｙ（ｔ）＝Ｂｙ（ｔ）． Ｊ ２ ３ 两 两负 因此，只需直接考虑Ａ为上述三种形式的情况 负 正正 １ ２ ｌ ２ Ｈ’２ ２ ； ：¨各 （其他退化的特殊情形：ｋ＝０， ＝０，ａ＝ｂ＝０，这里 均不作考虑）．按照Ａ的特征值和形式，对所有 不相不相 等等等等 的情况分类如下： ｆ１．１．２．】：Ａ可对角化； 情形１：实数 ｌ１．１．２．２：Ａ非对角形（ｂ）； ｆ１．２＿２＿１：Ａ可对角化； Ｉ１．２．２．２：Ａ非对角形（ｂ）； Ａ的特征值 ２．１：ｌａｒｇ（ｋ）ｌ∈（ｏ，芋）； 情形２：虚数｛２・２：ｌａｒｇ（ｋ）ｌ＝－￣； ・３：ｌａｒｇ（ｋ）ｌＥ（等，１Ｔ） 在１．１．１情形下，系统（１８）的通解为： ｘ（￡）＝ｅ ｃ，其中 ｅ ：］ ： 荟 ０ ０ 对应的平衡点（ｏ，ｏ）是稳定的结点．利用第３部 分的数值方法模拟的相图如图１． ・８ ・ ａ＝０．８ － ● 彭国俊：分数阶微积分的几个重要性质 ｏ【＝０．８ ●● 第７期 １０ ～、，＿’ ，，，‘，。Ｊ １０ 、 。 、５ － ＼＼ ／， 。／ ． 、 ＼ 一一一●－－‘ ’～ ’、＼、 ５ ＼ ． ０ 、 Ｏ ／ ，／ 。， ＼ 、 ～、／ ，一一－ 一～， 、、 ‘｝ ｛ －５ ：仃 ．．● ●－ ●●● ● ● ●● ’－、 ｌ、、＼ ＼ 兰－，－ ｔＪ／ ／ 。 、、－－． ．．．一 。 ／ ／＿， ●● ’‘●‘●●．１● ．１０ 。’● ‘ ＿ ● ● ● ．１０ ．５ ０ ５ １０ × 图１系统（１８）的相图．取Ａ＝【 一０１】。４个对称 初值点标记为“．”。４条轨道终点标记为“ ． 坩 在１．１．２．１情形下，轨道为收敛至平衡点的射 图 线；而１．１．２．２情形下，轨道也收敛至平衡点，但 ３ ‘９ 发生了扭曲，此时平衡点（０，０）为非正常结点． 系 １．２．１、１．２．２．１和１．２．２．２的相图分别４ 与 统 １．１．１、１．１．２．１和１．１．２．２相似，只是轨道的方向 相反，因此，这３种情形下，平衡点（０，０）均为不 的 ０ 相 稳定的结点． ｘ 图 １．３情形下，平衡点（０，Ｏ）为鞍点（不稳定），： 取 相图如图２． ４ Ａ ６ ２ ５ 图２系统（１８）的相图，取Ａ＿【 ］ ２．１情形下．平衡点（Ｏ，Ｏ）为不稳定的焦点， 相图如图３． ２．２情形下，平衡点（０，０）为中心（弱稳定）， ，～＿－ －●－一一． ’ －１０ ８ １０ １２ —５ １ ２ Ｊ‘ ／—一 、 ．、 ａ ． ， 岛 ｜／ ’ 图４系统ｔ ８，的相图，取Ａ＝ｌ 孚５。诅： １． 相图如图４． ２．３情形的相图与２．１情形类似，轨道方向 相反．平衡点（０，０）为稳定的焦点． ６结语 本文对分数阶微积分中的几个典型问题作 了论述．尤其对平面线性分数阶微分系统平衡 点的分类和稳定性作了比较全面和深刻的研究． 由于分数阶微积分的理论比通常的整数阶情形 复杂得多，现有的文献也不够充分，所以许多问 题还有待进一步深入． ＝ 第７期 参考文献： 彭国俊：分数阶微积分的几个重要性质 ・９・ Ａ．Ｄ．Ｆｒｅｅｄ．Ａ ｐｒｅｄｉｃｔｏｒ— ［３］Ｋ．Ｄｉｅｔｈｅｌｍ，Ｎ．Ｊ．Ｆ０ｒｄ， ｃｏｒｒｅｃｔｏｒ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒａｃ一 ｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ［１］Ｒ．Ｈｉｌｌｅｒ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃｓ ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ：Ｗｏｒｌｄ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ，２００１． ［２］Ｎ．Ｈａｙｅｋ，Ｊ．Ｊ．Ｔｒｕｊｉｌｌｏ，Ｍ．Ｒｉｖｅｒｏ，ｅｔｃ．．Ａｎ ｅｘｔｅｎ－ ｓｉｏｎ ｏｆ Ｐｉｃａｒｄ．．Ｌｉｎｄｅｌｔｉｆ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｏ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎ－ ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， ２００２，２９（１—４）：３－２２． ［４］Ｃ．Ｔ．Ｃｈｅｎ．Ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ［Ｍ］． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｈｏｌｔ，Ｒｉｎｅｈａ￣ａｎｄ Ｗｉｎｓｔｏｎ，１９８４． ｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ａｎ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ，１９９９，７０（３—４）：３４７－３６１． ［责任编辑：刘向红］ Ｓｏｍｅ Ｉｍｐｏｒｔａｎｔ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ 、 ＰＥＮＧ Ｇｕｏ－ｊｕｎ （Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５ １０６６５） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｎｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ａｎｄ ｇｉｖｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｎａｌｙｓｅｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅｉｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ＯＤＥｓ，ａｎｄ ｇｉｖｅ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ＯＤＥ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃａｓｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉａ ｏｆ ｐｌａｎａｒ ｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ；ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ；ｓｔｂｉａｌｉｔｙ （上接第４页） Ｔｈｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｏｆ Ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ ｆｏｒ ａ Ｓｕｂｃｌａｓｓ ｏｆ Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ＦＵ Ｘｉｕ－ｌｉａｎ （Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ ａｎｄ Ｃｏｍｍｅｒｃｅ， Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，５１０５１０） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａ ｎｅｗ ｓｕｂｃｌａｓｓ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅ Ｆｅｋｅｔｅ—Ｓｚｅｇ ｉｎｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｃｌａｓｓ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｓｈａｒｐ ｅｓｔｉｍａｔｅ ａｂｏｕｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ａｕｔｈｏｒｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｕｂｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ；ｕｎｉｖａｌｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｆｅｋｅｔｅ—Ｓｚｅ西ｎｅｑｕ￡Ｌｌｉｔｙ；ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｏｆ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ
