近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．
最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等； 对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.
我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1） 去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。（2） 科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转 60°或 90°。
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（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。
目 录
一、一条线段最值 1 单动点型
1.1 动点运动轨迹——直线型 1.2 动点运动轨迹——圆或圆弧型 1.2.1 定点定长 1.2.2 定弦定角
1.3 动点轨迹为其他曲线，构造三角形 2 双动点型
2.1 利用等量代换实现转化 2.2 利用和差关系实现转化 2.3 利用勾股定理实现转化 2.4 利用三角形边角关系实现转化 二、两条线段最值 1 PA+PB型
1.1 两定一动（将军饮马） 1.2 两定两动 过河拆桥
四边形周长最小；
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1.3 一定两动 两动点不随动 1.4 三动点 2 PA+K·PB 型 2.1 “胡不归模型” 2.2 阿氏圆 三、“费马点”模型 线段极值解题方略
一、一条线段最值
1 单动点型
所谓的单动点型指：所求线段两端点中只有一个动点的最值问题．通常解决这类问题的思考步骤为三步：
(一)分析“源动点”的不变量。(二)分析“从动点”与“源动点”问关系。(三)分析“从动点”的不变量。 1.1 动点运动轨迹——直线型
动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”
例 1、如图 1，在ABC 中，CAB30,BC=1，D为AB上一动点(不与点A重合)，
AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线
段CG长的最小值是_________。
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方法指导：1．当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时，可运用“垂线段最短”性质求线段最值．2．有时动点轨迹不容易确定，如例 1，建议看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性质．3．试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线。如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键。①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线； 1．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（0，2），点 M 的坐标为(m1,(其中 m 为实数)，当 PM的长最小时，m 的值为__________．39m) 442．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)， B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若 OC 恰好平分四边形 OACB的面积，求点 C 的坐标．②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； 1.如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，点 E 在边 AD 上，且 AE:ED＝1:3．动点 P 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止．过点 E 作 EF⊥PE 交射线 BC 于点 F，设 M 是线段 EF 的中点，则在点 P 运动的整个过程中，点 M 运动路线的长为_________.4 / 62 【变式 1】如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，点 E 在 BC 边上，且 BE : EC＝1 : 3．动点 P 从点 B 出发，沿 BA 运动到点 A 停止．过点 E 作 EF⊥PE交边 AD 或 CD 于点 F，设 M 是线段 EF 的中点，则在点 P 运动的整个过程中，点 M 运动路线的长为___________. 【变式 2】如图，在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB＝2，AP＝1，E 是 AB上的一个动点，连接 PE，过点 P 作 PE 的垂线，交 BC 于点 F，连接 EF，设EF 的中点为 G，当点 E 从点 B 运动到点 A 时，点 G 移动的路径的长是_____.【变式 3】在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，P 是 AD 边的中点，点 E 在 AB边上，EP 的延长线交射线 CD 于 F 点，过点 P 作 PQ⊥EF，与射线 BC 相交于点 Q．（1）如图 1，当点 Q 在点 C 时，试求 AE 的长；（2）如图 2，点 G 为 FQ 的中点，连结 PG．①当 AE＝1 时，求 PG 的长； ②当点 E 从点 A 运动到点 B 时，试直接写出线段 PG 扫过的面积． 2．如图，C、D 是线段 AB 上两点，且 AC＝BD＝1AB＝1，点 P 是线段 CD 上一个6动点，在 AB 同侧分别作等边△PAE 和等边△PBF，M 为线段 EF 的中点. 在点 P 从点 C 移动到点 D 时，点 M 运动的路径长度为__________． 5 / 62
【变式 1】已知 AB＝10，点 C、D 在线段 AB 上且 AC＝DB＝2；P 是线段 CD上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 APEF 和正方形PBGH，点 O1和 O2是这两个正方形的中心，连接 O1O2，设 O1O2的中点为 Q；当点 P 从点 C 运动到点 D 时，则点 Q 移动路径的长是______．
【变式 2】等边三角形 ABC 中，BC＝6，D、E 是边 BC 上两点，且 BD＝CE＝1，点 P 是线段 DE 上的一个动点，过点 P 分别作 AC、AB 的平行线交 AB、AC 于点 M、N，连接 MN、AP 交于点 G，则点 P 由点 D 移动到点 E 的过程中，线段 BG 扫过的区域面积为______．
【变式 3】如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且 AC＝DB＝1，点 P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP，E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF 的中点为 G，则当点 P 从点 C 运动到点 D 时，点 G 移动的路径长为______．
3. 如图，已知在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P 为AB 边上的一动点，连接 PD 并延长到点 E，使得 PD∶PE＝1∶3，以 PE，PC为边作平行四边形 PEFC，连接 PF，则 PF 的最小值为__________.
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【延伸】在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在 BC 上取点 P（P 与 B、C 不重合），连接 PA 延长至 E，使 PE∶PA＝x∶1，连接 PD 并延长到 F，使 PF∶PD＝y∶1（x，y＞1），以 PE、PF 为边作平行四边形，另一个顶点为 G，求 PG 长度的最小值（用 x，y 表示）.
【同型练】如图，已知□OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x＝1 和 x＝4 上，O是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为______．
③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线。
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1．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O 为 AC 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，线段 OE 的最小值是为__________.
【变式】1.如图，边长为 2a 的等边△ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN．则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是________．
2．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M 为 AB 的中点．D 是射线 BC上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接 ED，N 为 ED 的中点，连接 AN，MN．
（1）如图 1，当 BD＝2 时，AN＝______，NM 与 AB 的位置关系是_________；（2）当 4＜BD＜8 时， ①依题意补全图 2；
②判断（1）中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，求 ME 的长的最小值？
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3．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段 BC 上一动点 P 从 C 点开始运动，到 B 点停止，以 AP 为边在 AC 的右侧做等边△APQ，则 Q 点运动的路径长为___________．【秒杀训练】1.如图，点 A 的坐标为（-1，0），点 B 在直线yx 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为【 】A.(0,0) B.(11,) 22C.(2211,) D.(,) 22222.如图，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点 Q，则 PQ 的最小值为【 】A．5 C．3 B． D．25 9 / 623.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是 BC 的中点。
（1）求证：△MDC 是等边三角形；
（2）将△MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC）同时与 AD 交于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成△AEF．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值。
1.2 动点运动轨迹——圆或圆弧型 动点轨迹为定圆，利用三点共线
方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。1.2.1 定点定长
Ⅰ 动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或圆弧；
1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF，连接 AP，则 CP 的最小值________，AP 的最小值是_________.
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1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向按 A→B→C→D→A→B 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为_____________．
【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm2.
【变式 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，点 E、F 分别为 AD、DC边上的点，且 EF＝2，点 G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上一动点，则 PA＋PG的最小值为________．
【变式 3】如图，一根木棒 AB 长为 2a，斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，与地
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面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线 NO 下滑，且 B 端沿直线 OM 向右滑行，则木棒中点 P 也随之运动，已知 A 端下滑到 A′时，AA′＝(32)a，则木棒中点 P 随之运动到 P′所经过的路线长_______________．2．如图，在△ABC 中，AC＝2，AB＝3．当∠B 最大时，BC 的长为________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是 AB 边上的动点（不与点 B 重合），将△BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则 B′A 长度的最小值是________．4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 长度的最小值是________．12 / 625．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．
6．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点．当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是________．
7．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2AB＝4，长度为 2 的动线段 AE 绕点 A 旋转，连接 EC，取 EC 的中点 F，连接 DF，则 DF 的取值范围为________。
例 2．如图，已知 AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD 的度数为_________．
变式：如图，四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则 BD 的长为_________．
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例 3．如图，在等腰△ABC 中，AC＝BC，∠C＝70 °，点 P 在△ABC 的外部，且与 C 点均在 AB 的同侧，如果 PC＝BC，那么∠APB＝_________．
例 4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 为 AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点．将△EFB 沿 EF 所在的直线折叠得到△EB'F，连接 B'D，则B'D 的最小值为_________Ⅱ．定边对定角模型 1.2.2 定弦定角
II 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．
见直角→找斜边（定长）→想直径→定外心→现“圆”形； 见定角→找对边（定长）→想周角→转心角→现“圆”形；
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
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②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定圆。④确定圆心位置，计算圆半径。⑤求出圆圆心至所求线段定点的距离。⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。1．如图，以 G(0，1)为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C、D 两点，点 E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于 F，当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为__________.2．如图，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为(7，3)，点 E 在边 AB 上，且 AE＝1，若点 P 为 y 轴上一动点，连接 EP，过点 O作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H，在点 P 从 F(0，长为______．25)运动到原点 O 的过程中，点 H 的运动路径43．在正方形 ABCD 中，AD＝2，点 E 从 D 出发向终点 C 运动，点 F 从 C 出发向终点 B 运动，且始终保持 DE＝CF，连接 AE 和 DF 交于点 P，则 P 点运动的路径长是________．15 / 624．等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CH⊥BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为______．
5．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为________．
6．如图，在边长为 2 3的等边△ABC 中，动点 D 从 C 向终点 B 运动，同时点 E 以相同的速度从 A 出发向终点 C 运动，连接 BE、AD 相交于点 P，则点P 的路径长为________．
7．如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的最大面积是____________.
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8.如图，已抛物线 y＝ax2＋bx＋c( a ≠0)与 x 轴交于 A( 1，0)、B( 4，0)两点，与 y 轴交于 C( 0，2) ，连结 AC、BC．（1）求抛物线解析式；
（2）BC 的垂直平分线交抛物线于 D、E 两点，求直线 DE 的解析式；（3）若点 P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P 点坐标．
9． 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，动点 E 从点 A 出发向点 D 运动，同时动点 F 从点 D 出发向点 C 运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF、BE 相交于点 P，则线段DP 的最小值为__________。
变式：直线 y＝x＋4 分别与 x 轴、y 轴相交与点 M、N，边长为 2 的正方形OABC 一个顶点 O 在坐标系的原点，直线 AN 与 MC 相交与点 P，若正方形绕着点 O 旋转一
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周，则点 P 到点(0，2)长度的最小值是__________．
10．如图，边长为 3 的正方形 ABCD，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 点 D 在第一象限，点 E 为正方形ABCD 的对称中心，连结 OE，则 OE 的长的最大值是____________．
变式：如图，已知平面直角坐标系中，直线 y＝kx(k≠0)经过点 C(a， 3a)（a＞0）．线段 BC 的两个端点分别在 x 轴与直线 y＝kx 上（B、C 均与原点O 不重合）滑动，且 BC＝2，分别作 BP⊥x 轴，CP⊥直线 y＝kx，交点为 P，经探究在整个滑动过程中，P、O
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两点间的距离为定值 ．11.如图，开口向下的抛物线ya(x2)k 交 x 轴于点 A,B 两点，交 y 轴正半轴于点 C，顶点为 P，过顶点 P 作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 M,N，连结 CP,CM，∠CPM=45°，tan∠CMP=0.8.(1)求该抛物线的函数解析式；（2）若点 D 为射线 PC 上动点，BD 交△PMD 的外接圆于点 Q，求 PQ 的最小值.2【强化训练】【例 1】如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝42，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线 BD 交⊙O 于 P 点，交 BC 于 E 点，弧 AE＝CP，则 AD 的最小值为_______19 / 62【例 2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D 为 AC 上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD 交圆于 E 点，连 CE，则 CE 的最小值为_______【练】如图，在△ABC 中，AC＝3，BC＝42 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点 P在射线 AM 上运动，连 BP 交△APC 的外接圆于 D，则 AD 的最小值为_______【例 3】如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB 的长为，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的面积的最大值是_________.【练】如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的最大面积是（ ）【例 4】如图，边长为 3 的等边△ABC，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于 P 点，则 CP 的最小值为_________20 / 62【例 5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB 为直径作⊙M，射线 OF 交⊙M 于E、F 两点，C 为弧 AB 的中点，D 为 EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时，CD的最小值为__________【练】如图 8，AB 是⊙O 的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D是 AP 的中点，连接 CD，则 CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点 C 与定长线段 AB 组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，连接 DE．当点 C 在运动过程中，始终有距离的最大值是_________DE2，则点 C 到AB 的AB22．如图，已知以 BC 为直径的⊙O，A 为弧 BC 中点，P 为弧 AC 上任意一点，AD⊥21 / 62AP 交 BP 于 D，连 CD．若 BC＝8，则 CD 的最小值为___________.1.3 动点轨迹为其他曲线，构造三角形 方法指导：1．当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不定但长度确定，则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．2．在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。例 1、如图, ∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A 、B分别在边OM , ON上,当B在边ON上运动时, A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2 , BC=1 ,求运动过程中,点D到点O的最大距离.变式训练：1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6 ，tan∠BAC=1，点D在边AC的三等分2点处， 将线段AD绕点A旋转，连接BD ， F为BD中点，求线段CF长度的最大值．22 / 62 2. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 x 轴运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大距离为___________。提示：取 AC 中点 D，由 BO≤OD＋BD＝1＋2 ，知 BO 的最大值为1＋23.如图，∠MON=90°，线段 AB 两端点分别在边 OM，ON 上，当 A 在边 OM 上运动时，B 随之在边 ON 上运动，AB=2 保持不变，以 AB 为边向外作等边△ABC，在运动过程中，四边形 AOBC 的面积的最大值是___________.4. 如图，平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限．其斜边两23 / 62端点 A、B 分别落在 x 轴、y 轴上，且 AB=12cm.（1）若 OB=6cm．①求点 C 的坐标；
②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点 C 与点 O 的距离的最大值=___________cm．
2 双动点型
解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的方法解决线段最值问题。有这样一类双动点，它是由某一动点所产生的，同样就可用“源动点”和“从动点”的分析方法来处理，现总结思考前三个步骤：(一)分析“源动点”的不变量．(二)分析“双动点”与“源动点”间关系．(三)转化为单动点问题。显然确定“双动点”与“源动点”间关系是实现转化的关键。
2.1 利用等量代换实现转化
例 1.△ABC是以AB为斜边的直角三角形, AC=4 , BC=3 , P是AB上一动点,且PE⊥AC于E , PF⊥BF于F ,求EF的最小值.
分析：点 P 带动点 E、F，显然点 P 是双动点 E、F 的“源动点”。第一步，“源动点”P 在定边 AB 上运动．第二步，由条件可知四边形 PECF 为矩形，所以双动点 EF 与“源动点”P 存在等量关系 EF=CP．第三步，C 是定点，P是动点且在一边上运动，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”。
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提示：双动点线段能否等于图中“源动点”与某一定点连结的线段?2.2 利用和差关系实现转化 例 2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8 ，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA ， CB分别相交于点P ， Q，则线段PQ长度的最小值是___________．分析：本题的双动点 P、D 可看成由“源动点”E 产生．第一步，“源动点”E在定边上运动，且保持OE⊥AB,第二步，双动点 PD 是圆上的动弦且所对圆周角为直角，因此 PD 为圆O直径．源动点与双动点满足 PD=CO+OE．第三步，PD 长转化为△COE 三边关系，当 C、O、E 三点共线时 CE 最短，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”．当 CE 上AB 时 PD 长度最小。提示：双动点线段能否表示成与“源动点”相关线段的和(差)?2.3 利用勾股定理实现转化 例 3、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32 ， 圆O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作圆O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为______．分析：PQ 为圆O切线，PQ⊥OQ ，双动点 PQ 与“源动点”P 满足勾股定理PQ2 =OP2 –OQ2 ，而0Q为定值1，因此要 PQ 最小只需OP取最小．问题可转化为“动点轨迹为一条25 / 62直线的单动点型”提示：双动点的线段出现“垂直”信息时能否与“源动点”构成“直角三角形”，从而利用勾股定理实现单一动点的转化。2.4 利用三角形边角关系实现转化 例 4、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交于AB 、 AC于E 、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为__________．分析：本题的难点就在于确定双动点 EF 与“源动点”D 的关系，即 EF 与 AD 之间的数量关系．连半径构造等腰△OEF，达到定角圆周角么 EAF 转化为圆心角∠EOF，直径 AD 转化为半径 OE、0F，使 EF 与 AD 共存于一个三角形中，解三角形得EF=3．因 A 2是定点，D 在线段 BC 上动，问题最终转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”。 二、两条线段最值1 PA+PB 型 1.1 两定一动（将军饮马） 出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧。当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。26 / 62引：如图在直线 l 上找一点 P 使 AP＋BP 最短。
解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接 AB 交直线 l 于点 P,则点 P 为所示作的点；
（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情况。
证明：如下图所示，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 BD 的延长线上，取 B 关于河岸的对称点 B'，连结 AB'，与河岸线相交于 P，则 P 点就是所求作的点，只要从 A 出发，沿直线到 P,再由 P 沿直线走到 B，所走的路程就是最短的。如 果 在 河 边 的 另 外 任 一 点 C, 则CB=CB’，但 是 ，
AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。可见，在 P 点外任何一点 C，它与 A、B两点的距离和都比 AP＋PB 都长。本质：两点之间，线段最短。
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【小结】 通过“对称” 及构建“两点间的线段” 基本图形，将动态变化中的线段通过转换，达到变化过程中的极限状态，得到最小值即“两点间的距离”。路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解，所以最短路径问题需要考虑轴对称。两个关键点：（１）找准对称轴。动点所在的直线即为对称轴。（２）同侧化异侧。同侧的两个点，通过作对称点，转化为对称轴异侧的两个点，连线即与对称轴相交，交点即是所求。将军饮马口诀：“和最小，对称找” 例 1 如图，抛物线y且 A(－1，0)．12xbx2与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，2(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)点 M 是 x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点 M 的坐标．28 / 62例题 2 定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2 ，使F2经过F1的顶点A．设的F2对称轴分别交F1、 F2于点D 、B，点C是点A关于直线BD的对称点。如图 1，若F1:y1227xx ，经过变换后，AC23 ，点P是直线AC上的动333点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．分析：如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点 P 是直线 AC 上的动点，所以直线 AC 就是对称轴，从而运用对称变换把线段 PD 转化为线段PB 进行求解． 解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的两条线段放在了对称轴的两侧，把复杂的最值问题转化为基本问题．根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置，并求出最小值。变换的奥秘是：动点在哪条直线上，就以这条直线为对称轴，构建某一定点的对称点．对称变换是转化的手段，也是解决问题的关键．29 / 62【牛刀小试】
1． 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则PB＋PE 的最小值是____________．
2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为__________．
3．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN 弧 的 中 点 ， P 是直径 MN 上 一 动 点 ， 则 PA ＋ PB 的 最 小 值为_________．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB的中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN＝1，则△PMN 周长的最小值为________．
5．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小值为____________．
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，点 D 是 BC 边上的点，CD＝1，将△ABC 沿直线 AD 翻 折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是__________。
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7．如图，有一圆形透明玻璃容器，高 15cm，底面周长为 24cm，在容器内壁柜上边缘 4cm 的 A 处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了 3cm的 B 处时（B 处与 A 处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不计）． 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点 M 在 BC 上，且 BM＝1，N 是 AC 上一动点， 则 BN＋MN 的最小值为__________。9．如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE＋DE 的最小值为_______________． 10.如图，点 A，B 的坐标分别为（3,0）和（0,2），点 C 是 x 轴上的一个动点，且 A,B,C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是___________。31 / 6211．如图，正方形 ABCD 的边长是 8，P 是 CD 上的一点，且 PD 的长为 2，M是其对角线 AC 上的一个动点，则 DM＋MP 的最小值是_____． 12.菱形 ABCO 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点(23,0)，∠AOC=60°，点 P 是对角线 OB 上一个动点，E(0，-1),问：EP+AP 最短是_____，此时点 P 的坐标为___________.13. 如图，已知点 A(1，1)、B(3，2)，且 P 为 x 轴上一动点，则△ABP 的周长的最小值为__________．14.如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为【 】 A．130° B．120° C．110° D．100°15.某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村 A 和李32 / 62村 B 送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥 O 为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为 A（2，3），B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥 O 多远的地方可使所用输水管道最短？(2) 水泵站建在距离大桥 O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
1.2 两定两动 过河拆桥
【解决方法】平移变换
平移变换的特征是：对应线段平行且相等，它可以改变线段的位置却不改变其方向和长度。平移变换是把复杂的最值问题转化为基本问题的重要手段。
【问题再现】 （人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图 3，A 和 B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，造桥在何处才能使从 A 到 B的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 MN 要与河岸垂直）
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在解决这道题题目前，我们先看以下模型： 图3 【模型抽象】
动手操作一：如果把直线 l1和点 A 向上运动，而直线 l2和点 B 不动，你会画吗？（平移要注意什么？）
问题：A、B 为两村庄之间隔着河流，河流两岸为直线 l1、l2，若在两岸建桥CD，桥与河流两岸垂直，桥建在何处，可使 AC+CD+DB 最短。
策略：平移回去，把问题转化为在直线上找一点 D，使 A’D+DB 最短
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动手操作二：如果 P 不动，Q 平移 a 个单位，你会画吗？（平移要注意什么？）
问题：如图，若 A、B 为定点，而线段 PQ 长为定值，当 P 在何处，AP+PQ+QB最短。
【小结】
两动点，其中一个随另一个动(一个主动，一个从动)，并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。（处理方法：当两点间有一段固定的距离时，利用平移可将这距离“压缩为零”， 再连接构建 “两点间的线段” 这一图形。）
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例 1如图 3，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，造桥在何处才能使从 A 到 B的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 MN 要与河岸垂直）
分析：假设河的两岸为直线．这个问题要求“路径 AMNB 最短”实际上就是“AM+BN”最短（因为“桥要与河垂直”，桥长是定值，也就是河两岸的距离）．怎样保证“AM+BN”最短呢？如图 4（1），把 BN 沿与河岸垂直的方向平移河的宽度到 B′M（B 为定点，则点 B′为定点），则 AM+BN=AM+B′M，点 A、B′为定点，点 M 为直线上的动点，所以当 A、M、B′三点在一直线上时，AM+ B′M 最小．
解题策略：运用平移变换，在保持平移后的线段与原来的线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两条线段移到新的位置并“接起来”，变换成更简单的基本图形．根据“两点之间线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置．平移是转化的手段，也是解决问题的关键．
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【牛刀小试】
1.在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点．
（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；
（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标。
四边形周长最小；
两定两动求四边形周长最小，有两个动点时，那么动点所在的两条直线就为两条对称轴，再将两定点作关于两对称轴的对称点，分置于对称轴两侧，再连接，构建“两点间的线段”这一基本图形，通过对称转换，将三条动态线段重新拼接在一起，利用“两点之间线段最短” 实现“化折为直”，即得最短路线。
例题、如图 8，已知抛物线yaxbxc 与 y 轴交于 A (0，3 ),与x轴分别交于 B（1，0）和 C（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式
（2）若点 D 为线段 OA 的三等分点，求直线 DC 的解析式
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（3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上某点（设为点 E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点 A，求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短路径的长． 提示：本题的特征是两个动点、两个定点，两个动点分别在两条直线上运动，在两条直线上各找一个点使之与两个定点相连构成的四边形周长实际还是三线段和，AM 为定值）最小．因此分别构建两个定点关于两个动点所在直线的对称点，把“三折线”转“直”，从而可求周长的最小值． 【牛刀小试】如图，正比例函数y3x 的图像有一点 B，OB=1，点 A 在 x 轴上，A(3，0),点 3P,Q 分别在射线 OA，OB 上，则 BP+PQ+QA 的最小值是_________.1.3 一定两动 一定两动型可转化为“两点之间的连线中，线段最短”＋“垂线段最短”在这个问题的转换中，关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点。通过等量代换将问题化为两定一动（将军饮马问题）38 / 62 两动点不随动
一动点分别到一定点和一动点两线段和最小值。方法：让一个动点保持不动，寻找定点到定直线（动点所在的直线）的最短距离，最后利用折大于直，斜大于垂。
1．如图△ABC 中，AC＝6，∠BAC＝22.5°，点 M、N 分别是射线 AB 和 AC 上动点， 则 CM＋MN 的最小值是_________．
2．如图，在等边△ABC 中，AB＝6，N 为线段 AB 上的任意一点，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM、MN，则 BM＋MN 的最小值是_______．
3．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD 平分∠ABC，如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么 CM＋MN 的最小值是_________．
4．如图，钝角△ABC 的面积为 18，最长边 AB＝12，BD 平分∠ABC，点 M、N分别是 BD、BC 上的动点， 则 CM＋MN 的最小值为__________．
5．如图，在锐角△ABC 中，AB＝4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM＋MN 的最小值是____．
【变式 1】菱形 ABCD 中，∠BAC＝45°，BC＝4 2，M、N、E 分别在 BD、BC、CD 上运动，则 MN＋ME 的最小值为____．
【变式 2】点 E 是菱形 ABCD 边 BC 的中点，∠ABC＝60°，P 是对角线 BD 上一
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点，且满足 PC＋PE＝ 15，则菱形 ABCD 面积的最大值为_______．
7．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点， 则 BM＋MN 的最小值为_______．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为(0，0)、(20，0)、(20，10)．在线段 AC、AB 上各有一动点 M、N，则当 BM＋MN为最小值时，点 M 的坐标是_________．
【小结】此类问题处理方法是将双动点转换为单动点，然后利用将军饮马模型。对于两动点问题可以让其中一个动点暂时保持不动，作此动点的对称点，从而将双动点转换为单动点，然后利用将军饮马模型，化折为直，最后利用定点到定直线之间垂线段最短找到最小值。
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1.4 三动点
例题 如图 11-4 所示，已知 Rt△ABC中，∠B=90° ，AB=3，BC=4，D、E、F分别是三边 AB、BC、CA 上的点，则 DE+EF+FD 的最小值为________.
【练习】如图，在等边△ABC 中，AB＝4，P、M、N 分别是 BC，CA、AB边上动点，则 PM＋MN 的最小值是_______．
总之，解决这一类动点最值问题，关键在于善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。运用数形结合思想，这对于解决动点最值问题有着事中功倍的作用。
出现垂直找对称； 角平分线找对称； 正方形对角线找对称； 菱形对角线找对称； 抛物线对称轴找对称； 圆中找对称
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2 PA+k·PB 型 2.1 “胡不归模型”【问题提出】如图①，已知海岛 A 到海岸公路 BD 的距离为 AB，C 为公路BD 上的酒店，从海岛 A 到酒店 C，先乘船到登陆点 D，船速为 a，再乘汽车，车速为船速的 n 倍，点 D 选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若 n＝2，则时间 t＝t上确定一点 D，使得 AD＋＝30°．（1）过点 D 作 DE⊥CM，垂足为 E，试说明：DE＝ADCD，当 a 为定值时，问题转化为：在 BC a2aCD 的值最小．如图②，过点 C 做射线 CM，使得∠BCM2CD；2（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点 D′，并说明理由．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．【模型运用】（4）如图③，海面上一标志 A 到海岸 BC 的距离 AB＝300m，BC＝300m．救生员在 C 点处发现标志 A 处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是 6m/s，在海中游泳的速度都是 2m/s，求救生员从 C 点出发到达A 处的最短时间．42 / 62【套路归纳】 ①将所求线段和改写为“PA＋nn； PB”的形式（ ＜1）mmn； m②在 PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度，使得sin③过 A 作第②步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值． 例题解析： 例 1、如图，抛物线 y=x22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着DE 爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是_______s．【解答】解：过点 E 作 y 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线相交于点 H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA=，设 DH=4m，EH=3m，则 DE=5m，43 / 62∴蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间= =4（s）若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位/s，则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间= =4（s），∴蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，∴蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位/s 的速度爬到 D 点，再从 D 点以 1 单位/s 速度爬到 H 点的时间，作 AG⊥EH 于 G，则 AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH 的最小值为 AQ 的长，当 y=0 时，x22x3=0，解得 x1=1，x2=3，则 A（1，0），B（3，0），直线 BE 交 y 轴于 C 点，如图，在 Rt△OBC 中，∵tan∠CBO=∴OC=4，则 C（0，4），设直线 BE 的解析式为 y=kx+b，4，343kb0k把 B（3，0），C（0，4）代入得 ，解得 3 ，b4b4∴直线 BE 的解析式为 y=4x+4，374x267yx43解方程组 得 ，则 E 点坐标为(,)， aa 或32239yyx22x39∴AQ= ，9∴蚂蚁从 A 爬到 G 点的时间= 9= （s），19即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为 s．9故答案为 ．944 / 62例 2、如图，已知抛物线yk(x2)(x4) (k为常数，且k>0),与x轴从左至右依次交8于 A，B 两点，与y轴交于点 C，经过点 B 的直线y为 D．（1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；3xb 与抛物线的另一交点3（2）若在第一象限的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止。当点 F 的坐标是多少时，点 M在整个运动过程中用时最少？【套路练习】 45 / 621．等边三角形 ABC 的边长为 6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中 BC 边在 x 轴上，BC 边的高 OA 在 y 轴上．一只电子虫从 A 出发，先沿y 轴到达 G 点，再沿 GC 到达 C 点，已知电子虫在 y 轴上运动的速度是在 GC上运动速度的 2 倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点 G 的坐标为______．
【变式】如图，△ABC 在直角坐标系中，AB＝AC，A(0，2 2)，C(1，0)，D为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→D→C，点 P 在 AD上的运动速度是在 CD 上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为____．
2．如图，一条笔直的公路 l 穿过草原，公路边有一消防站 A，距离公路 5千米的地方有一居民点 B，A、B 的直线距离是 13 千米．一天，居民点 B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是 80 千米/小时，而在草地上的最快速度是 40 千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点 B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）
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3．如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O 经过点 C，且圆的直径AB 在线段 AE 上．（1）试说明 CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当最小值为 6 时，求⊙O 的直径 AB 的长．1CD＋OD 的24．如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 B(4，0)、C(0，3)，点 A 为 x 轴负半轴上一点，AM⊥BC 于点 M 交 y 轴于点 N，满足 4CN＝5ON．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接 AC，点 D 在线段 BC 上方的抛物线上，连接 DC、DB，若△BCD 和△ABC 面积满足 S△BCD＝3 S△ABC，求点 D 的坐标；55 个3（3）如图 2，E 为 OB 中点，设 F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 EF．一动点 P 从 E 出发，沿段 EF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿着线段 FC以每秒单位的速度运动到C 后停止．若点 P 在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点 F 的坐标．47 / 625．如图，抛物线y121xmxn与直线yx3交于 A，B 两点，交 x轴于 D，22C 两点，连接 AC，BC已知 A(0，3)，C(3，0)．（1）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；（2）在（1）条件下，设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段EA 以每秒 2个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M在整个运动中用时最少？ 48 / 62 【强化训练】 1、已知在平面直角坐标系中，A ( 2 , 0 ) 、B (0 , 3) 、C (3, 0 )，设 D 是线段 BC 上一点（不含端点），连接 AD，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AD 以每秒一个单位速度运动到 D 点，再沿线段 DB 以每秒2个单位的速度运动到 B 后停止，当点 D 的坐标是多少时，当 M 在整个运动过程中用时最少？2、已知在平面直角坐标系中，A ( 2 , 0 ) 、B ( 5, 33 ) 、C ( 4 , 0 )，设 D 为线段 BC上一点（不含端点），连接 AD，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AD 以每秒一个单位长度运动到 D 点，再沿线段 DB 以每秒 2 个单位的速度运动到 B 后停止，当点 D 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？49 / 623、在平面直角坐标系中，已知A (12, 0 ) 、B (0 , 4 ) 、C ( 2 , 0 )，设 D 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 AD，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AD 以每秒一个单位速度运动到 D 点，再沿线段 DB 以每秒5个单位的速度运动到 B 后停止，当点 D 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？50 / 624、 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（—6 , 0），B（6 , 0），C（0, 43），延长 AC 到点 D，使 CD的延长线于点 E.（1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线1 AC ，过点 D 作DE∥AB 交 BC 2ykxb将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线ykxb与 y轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短.（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）51 / 625、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（-1，0），B（0，- 3）、C（2，0），其中对称轴与 x 轴交于点 D。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。① 若平面内存在点 N，使得 A、B、M、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有________个；② 连接 MA、MB，若∠AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围。1PBPD的最小值为_____。26 、如图，抛物线y121xmxn与直线yx3交于 A，B两点，交 x 轴与 22D，C 两点，连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒2个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？52 / 622.2 阿氏圆【题目类型】
求圆上一动点到两定点的距离最小值（系数不为 1 的两线段和最值问题）。例如，点 P 为圆 O 动点，C、D 为两定点，求 PC+k•PD 最小值。
【解题原理】
两线段和最值问题一般需要转化为两点之间线段最短。
求线段和的最值问题，一般依据两点之间线段最短，三角形的两边之和大于第三边，垂线段最短，同圆或等圆中直径是最长的弦等四条公理货定理。
此题中的“PC+k•PD”是两条线段的线性组合，那么最迫切需要解决的问题是系数k 的处理，也就是说能否将 k•PD 转化为一条以 P 为一个端点的线段，如果能，则可将问题“PC+k•PD”转化为两条共顶点的线段和求最值问题，即可利用最值四定理解决。
【一般解题步骤】
1. 连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；
2. 计算出所连接的这两条线段 OP、OD 长度；3. 计算这两条线段长度的比 OP/OD=m；4. 观察 m 值是否为等于所求线段和中的系数 k；
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①如果 m=k 在这个三角形（△POD）中构造母子三角形相似； OP、OD 长度已知且 OP 与 OD 夹角已知，利用 SAS 构造相似(△MOP∽△POD)； 构造做法是过动点 P 在另一条固定长度的线段 OD 上找出一点 M，这时候使得点 M、圆心 O、动点 P 构成的三角形△MOP 与三角形相△POD 似 (△MOP∽△POD)；如果系数 k 小于 1，在 OD 上找点 M；如果系数 k 大于 1，点 M 在 OD 的延长线上。 根据相似求出点 M 坐标；②如果 m≠k 如果 m≠k ,一般需要对所求式子 PC+k×PD 进行转化； 例如 PC+2PD 或 PC+ 将 2PC+PD=2（PC+1PD2111PD）或 PC+PD=（2PC+PD）222 转化后利用步骤①如果 m=k 的方法求解 M 点。5. 在利用两点之间线段最短求最小值。 / 62例题讲解： 例 1、如图 1，抛物线 yax(a3)x3(a0)与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）（0＜m＜4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥AB 于点 M．（1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为 C1，△AEN 的周长为 C2，若2C16，求 m 的値；C25（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE′，旋转角为(090)，连接 EA、EB，求EA2EB.3巩固练习： 1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB90°，CB4，CA6，圆 C 半径为 2，P为圆上一动点，连接 AP，BP，AP1BP最小值为______.255 / 622、如图，在△ABC 中，∠B90°，ABCB2，以点 B 为圆心作圆 B 与 AC相切，点 P 为圆 B 上任一动点，则PA2PC的最小值是_______．23、如图，菱形 ABCD 的边长为 2，锐角大小为 60°，⊙A 与 BC 相切于点 E，在⊙A 上任取一点 P，则PB3PD的最小值为________．256 / 624、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA135°，则 2PDPC 的最小值是_____．5、（1）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆B 上的一个动点，求PD21PC 的最小值和PDPC的最大值．32（2）如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B上的一个动点，求PD22PC的最小值和PDPC的最大值．3311PC的最小值和PDPC的最大值．22（3）如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B90°，圆 B 的半径为2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD57 / 62三、“费马点”模型 通过“旋转 60°”挪成“折线”，再利用“两点之间线段最短”模型——“费马点”模型旋转变换是把一个图形绕某个点旋转一个角度，其作用是不改变原有图形的性质，但改变其位置，使之组合成新的有利论证的图形．有些最值问题必须通过旋转变换才能转化成基本问题，旋转变换是解决最值难题的必不可少的手段之一． 【引例】如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小；②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当 AM＋BM＋CM 的最小值3＋1 时，求正方形的边长． 例 1 如图 1（1），已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求此正方形的边长．分析：本题已知三条线段的和最小，这三条线段又“碰”在一起，怎么利用这个条件成了本题的难点．注意到题中有正方形边长相等这样的有利条件，考虑通过旋转变换把三条线段“展开来”，然后再“接起来”成“三折线”，让折线的两端放在两个定点，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同。58 / 62解：如图 1（2），连接 AC，把△AEC 绕点 C 顺时针旋转 60°，得到△GFC，连接 EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC 都是等边三角形，则 EF=CE，又 FG=AE，所以 AE+BE+CE = BE+EF+FG．∵ 点 B、点 G 为定点（G 为定点 A 绕定点 C 顺时针旋转 60°所得），∴ 线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值，此时 E、F两点都在 BG 上（如图 1（3））．设正方形的边长为a，那么 BO=CO=26a，GC=2a , GO=a 22∴ BG=BO+GO =2a6a22∵ 点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26,∴2a6a=2622∴a =2．解题策略：通过旋转变换，改变线段的位置，优化图形的结构，把高难度的最值问题转化为“两点之间线段最短”的基本问题．使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转 60° 或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决。 【变式 1】如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB＝2，则 AP＋BP＋CP 的最小值为________．59 / 62【变式 2】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC=6，∠ABC=150°，则线段 AP+BP+PD 的最小值为_______．
【变式 3】如图四边形 ABCD 是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）①若菱形 ABCD 的边长为 1，则 AM＋CM 的最小值 1；②△AMB≌△ENB；
③S 四边形 AMBE＝S 四边形 ADCM；④连接 AN，则 AN⊥BE；⑤当 AM＋BM＋CM 的最小值为 2 3时，菱形 ABCD 的边长为 2．A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
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线段极值解题方略
线段极值有规律折直斜垂是根据一条线段易解决动点轨迹是秘诀动点定点两边连定角出来轨迹现定角定线面对面动点轨迹必是圆动点圆心连一连最大最小在两边定角若在定线边动点轨迹是直线斜大于垂记心间最小极值就出现线段之和求极值折大于直是关键翻折平移和旋转还是不行整搬迁所有和值成一线求出该长结论现遇到系数不要怕相似找线代替它放大难了缩小易切记系数应唯一两个都有提一提已知线段比一比系数比值如统一相似作图很容易
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系数比值难统一这样题目莫动笔遇到疑难你莫急解题方略来帮你
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