江西省重点中学盟校2021届高三理数3月第一次联考试卷

江西省重点中学盟校2021届高三理数3月第一次联考试卷

一、单选题

1. ( 2分 ) 设集合 A. 2. ( 2分 )A.

B.

，

C.

，则

（ ）

D. D.

的二项展开式中第三项是（ ）

B. 160 C.

是z为纯虚数的（ ）条件

3. ( 2分 ) 复数z的共轭复数为 ，

A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 4. ( 2分 ) 过双曲线

（O是坐标原点），则

A.

的右焦点F作它的渐近线l的垂线，垂足为P ， 若 （ ）

B. 2 C. 5 D.

5. ( 2分 ) 直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）

A. 2 B. 6. ( 2分 ) 若函数 7. ( 2分 ) 已知直线

C. 4 D.

在 和

处取极值0，则 相切，则

（ ）

A. 0 B. 2 C. -2 D. 1

的最大值是（ ）

A. B. C. D. 1

8. ( 2分 ) 设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，使函数 （ 且

）的图像过区域 的a的取值范围是（ ）

A. 9. ( 2分 )

B. C. D.

的图像如图所示，下列有关它的描述正确的是（ ）

A. B. 把 C. 把

图像向左平移 图像向右平移

单位长度，可得 单位长度，可得

的图像向右平移

单位长度，再把所得图像上点的横坐标变为原来

D. 为得到它的图像可将 的

10. ( 2分 ) 碳-14年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得·利比（Willard Frank Libby）发明，威拉得·利比因此获得诺贝尔化学奖.碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳-14含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳-14开始减少，人们可通过检测一件古物的碳-14含量，来估计它的大概年龄，这种方法称之为碳定年法.设 织中碳-14的含量，t为生物死亡的时间（单位年），已知

），若2021年测定某生物样本中

参考资料：

是生物样品中的碳-14的含量，

是活体组

（其中T为碳-14半衰期，且

，则此生物大概生活在哪个朝代（ ）

西周：公元前1046年—前771年 晋代：公元265—公元420 宋代：公元907—公元1279 明代：公元1368—公元14

A. 西周 B. 晋代 C. 宋代 D. 明代 11. ( 2分 ) 已知圆

与抛物线

交于A ， B两点，且

，则如图所示阴

影部分绕x轴旋转形成的旋转体的体积是（ ）

A. B.

中

C.

最接近的整数，则 C.

D.

（ ）

12. ( 2分 ) 数列 A.

表示与

B. D.

二、填空题

13. ( 1分 ) 已知向量 14. ( 1分 ) 数列

，

，且满足

，且

，

.

16. ( 1分 ) 在

中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， ，

，则

________.

，

，若

，则

，

________.

，则

________.

前n项和为

15. ( 1分 ) 已知某农场某植物高度

10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间 参考数据：若

，则

，如果这个农场有这种植物

上的棵数为________.

，

三、解答题

17. ( 10分 ) 首项为2的等差数列 （1）求

的通项公式；

的前n项和为

，若

，求n的值.

，

，满足

，

，

成等比数列，且

.

（2）记数列

18. ( 10分 ) 如图已知四棱台

，

平面

的上底面和下底面都是正方形，且

.

（1）证明： （2）求二面角

平面 ； 的平面角的大小.

19. ( 10分 ) “低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥堵，现先对100人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如下表. （1）如果把45周岁以下人群定义为“青年”，完成下列 是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关? 年龄 考虑骑车 不考虑骑车 3 6 6 16 9 5 45 列联表，并问你有多少把握认为该地区市民

15以下 6 16 13 14 5 75以上 1 合计 55 骑车 不骑车 合计 100 ，

45岁以下 45岁以上 合计 参考：

P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82

S市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道，（2）

该市市民小明家离上班地点10km，现有两种.上班方案给他选择； 方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点.

方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A、B、C三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是 ，

，

，且是相互的，并且每次堵车的时间都是10分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）

若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由. 20. ( 10分 ) 已知抛物线

它们有公共的焦点F ， O是椭圆的中心.

与椭圆

在第一象限交于E点，且

（1）若 （2）若

轴，求椭圆的离心率； 不与 轴垂直，椭圆的另一个焦点为

，已知

，且 ，

的周长为6，过F的，

，

），若

直线l与两曲线从上至下依次交于A ， B ， C ， D四点（其中

，求l的方程.

21. ( 10分 ) 已知 （1）若 （2）当

时，

.

存在最小值，求此时a的取值范围，并求出 的最小值；

恒成立，求a的取值范围. 中，直线l的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点

（t为参数，

），曲线

22. ( 10分 ) 在直角坐标系 C的参数方程为

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设C与l交于A ， B两点（异于原点），求 23. ( 10分 ) （1）证明不等式

并指出等号成立的条件；

的最大值.

（2）求 的最小值.

答案解析部分

一、单选题 1.【答案】 B

【考点】交集及其运算 【解析】【解答】 因为 所以 故答案为：B

【分析】利用已知条件结合指数函数的图象和指数函数的值域，从而求出指数函数的定义域，从而求出集合B，再利用已知条件结合交集的运算法则，从而求出集合A和集合B的交集。 2.【答案】 D 【考点】二项式定理 【解析】【解答】 要求二项展开式中第三项， 令r=2,得： 故答案为：D

【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，求出展开式中第三项. 3.【答案】 C

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，虚数单位i及其性质 【解析】【解答】解：若 为纯虚数，设 当 是实数0时，即 即

,则

，则

,则

，则

，但此时 不是纯虚数，

，

.

的二项展开式的通项公式为

，

，

。

，

是 为纯虚数的必要不充分条件，

故答案为：C．

【分析】 根据共轭复数的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 4.【答案】 A

【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设 则

,

,渐近线 的方程为

,

,

则 即 则

, ,

,

,

故答案为：A．

【分析】 设F(c,0)，渐近线 的方程为 公式,计算可得所求值. 5.【答案】 D

【考点】由三视图还原实物图

【解析】【解答】解：结合正视图，俯视图，得到左视图是矩形，长为2，宽为 如图，

，

,由点到直线的距离可得|PF|,|OP|,再由三角形的面积

故其面积为： 故答案为：D．

，

【分析】 根据题意，直接按三视图的要求，画出左视图，依据数据求出面积. 6.【答案】 A

【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解： 则 若 则 故

, 在

,

处取极值0，

,解得：

, ,

故答案为：A．

【分析】 求出函数的导数，得到关于a,b的方程组，解出即可. 7.【答案】 A

【考点】直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：根据题意，圆 若直线

和

的圆心为

相切，则有

，半径 ，变形可得

，

，

又由 故

的最大值是

，

，变形可得 ，当且仅当 时等号成立，

故答案为：A．

【分析】 根据题意，由直线与圆的位置关系可得8.【答案】 B

【考点】简单线性规划

【解析】【解答】解：由约束条件作出可行域

如图，

， 结合基本不等式的性质分析可得答案.

联立 联立 由图可知，当 当

时，由 使函数 故答案为：B．

，解得 ，解得 时，由 ，解得 且

， ，

，解得 ． 的图像过区域

的 的取值范围是

．

；

【分析】 由约束条件作出可行域，联立直线方程得到可行域边界顶点的坐标，数形结合求得a的取值范围.

9.【答案】 B

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】由图得 由

, ，

,

,

的图像向右平移

得

故答案为：B

【分析】 由题意利用函数图象和性质，得出结论. 10.【答案】 C 【考点】归纳推理

【解析】【解答】解：2021年测定某生物样本中

，得

则

，

故此生物大概生活在宋代． 故答案为：C．

【分析】由已知列式可得11.【答案】 C

【考点】定积分的简单应用 【解析】【解答】解：线段 则点 所以点 又点 所以有

，

在抛物线 到线段

的距离为

， 上，

，

，

是圆

的一条弦长， ，

， 结合

进一步求得t，可得答案。

．

，

，

，已知

，

的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的

单位长度得

再把所得图像上点的横坐标变为原来的

，则抛物线的方程为

设阴影部分绕 轴旋转形成的旋转体的体积为 则

．

故答案为：C．

【分析】 利用线段 12.【答案】 D 【考点】数列的求和 【解析】【解答】解：

，2时， ，4，5，6时， ，8，…，12时， ，14，…，20时， ，14，…，30时，

；

； ； ； ；

；

是与

最接近的正整数，

是圆

的一条弦长，求出点A,B的坐标，即可求出抛物线的方程，

然后利用定积分求解旋转体体积的公式求解即可.

，32，…，40，41，42时， ，44，…，56时， ，59，…，72时， ，74，…，90时， ………… 故使得

的正整数有

； ； ；

个，且最小的是 ，且

，

，最大的是 ，

．

故答案为：D．

【分析】是与

，8，…，12时， 二、填空题 13.【答案】 -2

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】解：

，

解得

．

向量

，

，

，

最接近的正整数，可得

，2时，

；

，4，5，6时，

；

；…找到其规律，即可得出答案。

故答案为：-2．

【分析】利用平行向量的性质直接求解即可。 14.【答案】

【考点】数列递推式 【解析】【解答】因为 当 当 即 所以数列 当

时, 时, 时,

, ,而

, 不满足上式,

,

, ,

从第二项开始为等比数列,

,

所以

故答案为：

．

【分析】由数列递推式及15.【答案】 1359

，即可求解。

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】解：由 又 则

，

估计该农场这种植物高度在区间 故答案为：1359．

【分析】由已知求得

，则

， 结合已知求得

， 乘以10000得答案。

16.【答案】

，

上的棵数为

．

，

，

，得

，

【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】在 利用正弦定理得

中，由于

，整理得，

，整理得

,

,

所以 ，由于 ，所以

整理得 ，故 ，

以 ，代入上式得到 ,

整理得 所以 故答案为:

.

，解得 ．

(-3舍去) ，故 ，

【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理的应用求出结果. 三、解答题

17.【答案】 （1）设数列 由题设可得： 又

，

，解得：

， ，

（2）由（1）可得：

，

，

又

，

，解得：

．

；

或0，

，

的公差为 ，

【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】 (1)由题设条件求得数列 (2)先由(1)求得 求得n的值.

18.【答案】 （1）因为 可以以 如图示：

为原点，以

、

平面

、

，且四边形

为正方形，

的公差为 ， 即可求得其通项公式；

，进而由

，

， 再利用裂项相消法求得其前n项和

为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

因为 所以 所以 又

（2）由（1）可知： 设 因为

为平面

为面 的一个法向量，

的一个法向量.

， ，所以

， 平面

.

，

则有 不妨设 设二面角

,则

，即

.

的平面角为 ，由图示： ，

则 ，

所以 ，即二面角 的平面角为 .

【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系，用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】 (1)建立合适的空间直角坐标系，求出直线A1D的方向向量和平面DDC1C的法向量，然后证明两个向量共线即可；

(2)求出二面角D-CD1-B1的两个半平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求解，结合图形得到二面角D-CD1-B1的平面角为钝角，即可得到答案.

19.【答案】 （1）根据题目所给数据填写2×2列联表如下： 45岁以下 45岁以上 合计 所以

骑车 35 20 55 不骑车 15 30 45

合计 50 50 100 所以有99.5%的把握认为该地区市民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关.

（2）方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点， 则所需时间为：

；

方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A、B、C三个易堵路段，分别令三个路段堵车记为事件A、B、C，且

，

，

，且A、B、C相互的，并且每次堵车的时间都是

10分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶） 所以在路上遇上堵车的概率为： 故方案二所需时间为： 因为

.

，

，所以仅从时间的角度考虑，应选方案二省时间.

【考点】性检验的基本思想，相互事件的概率乘法公式 【解析】【分析】 (1)根据题目所给的数据填写2 X 2列联表，再由公式 计算k的值，从而查表即可；

(2) 分别计算方案一、二上班所用的时间进行比较可得答案.

20.【答案】 （1）由条件 所以 解得 所以

（2）因为

, 抛物线

, 方程

，

； 椭圆

方程

，

,

，

或

．

（舍去）

，所以

，即

，所以

，

依题意可令 方程 设

,

,

,

,

且 , 得

注意

， ,

，

，

， ，

结合图形，由

联立直线与抛物线方程得

,

联立直线与椭圆方程得

，

，

，

代入方程

得

，解得 ．

或

（舍去）

所以直线 方程为

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 (1)根据题意可得 【解析】【分析】

即

，进而得到关于e的方程，解方程即可;

， 于是利用韦达

(2)结合题意先求出椭圆和抛物线的标准方程，再把题意转化为 定理即可建立一个关于m的方程，求出m即可得直线l的方程.

21.【答案】 （1）①当 ②当 当 所以当

时， 时，令 时，

时，

恒成立，所以 ，解得 ，故

取得最小值为

，

的最小值为

，则 在 ，

单调递减，当

时， ． ；

，故

，

上单调递增，故不存在最小值，不符合题意，

单调递增，

综上所述， 的取值范围为 （2）当 等价于 令 令 所以 则 故

在 在

在 , ,

, 时，

对 ,则

，则

恒成立，即 恒成立,

， ，则

， ， ，即

对 恒成立，

对 恒成立，

上单调递增，所以 上单调递增，所以 上单调递增，所以

的最小值为2，

所以 ．

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值

【解析】【分析】 (1)求出导函数，讨论当a≤0时，当a>0时，分别判断f (x) 是否存在最小值，再利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值即可； (2)利用参变量分离法将不等式恒成立转化为

对

恒成立，构造函数

， 利用导数研究函数的单调性，求出g (x) 的最小值即可.

22.【答案】 （1）曲线

，

的参数方程为

为参数），转换为直角坐标方程为

整理得 ，根据 转换为极坐标方程为 ，整理得 ．

（2）直线 经过圆心， 设 设 所以 当

，

的最大值为

．

与 交于 ，

，

两点（异于原点），所以

，

．

，

【考点】简单曲线的极坐标方程

【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用三角函数的关系式的变换和极径的应用求出结果.

23.【答案】 （1）证明：记 则 因为 所以 即

（2）解：因为 立， 由

在

，

上单调递增，

，当且仅当

，即

时等号成

在

，

上单调递增， ，当

， ，当

时等号成立． 时取等号，

，

所以 ，

即 ，

所以 的最小值为 ．

【考点】不等式的证明 【解析】【分析】 (1)记

， 利用函数的单调性即可证明不等式；

(2)由绝对值三角不等式可得|x+1|+|x-1|≥2,结合(1) 中g (x) 的单调性，即可求得f (x) 的最小值.

试卷分析部分

1. 试卷总体分布分析

总分：98分 客观题（占比） 分值分布 主观题（占比） 26（26.5%） 72（73.5%） 客观题（占比） 题量分布 主观题（占比） 14（60.9%） 9（39.1%） 2. 试卷题量分布分析

大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 单选题 12（52.2%） 24（24.5%） 填空题 4（17.4%） 4（4.1%） 解答题 7（30.4%） 70（71.4%） 3. 试卷难度结构分析

序号 难易度 占比 1 容易 52.2% 2 普通 47.8% 3 困难 0%

4. 试卷知识点分析

序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 交集及其运算 2（1.3%） 1 2 二项式定理 2（1.3%） 2 3 必要条件、充分条件与充要条件的判断 2（1.3%） 3 4 虚数单位i及其性质 2（1.3%） 3 5 双曲线的简单性质 2（1.3%） 4 6 由三视图还原实物图 2（1.3%） 5 7 利用导数研究函数的极值 2（1.3%） 6 8 直线与圆的位置关系 2（1.3%） 7 9 简单线性规划 2（1.3%） 8 10 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2（1.3%） 9 11 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 2（1.3%） 9 12 归纳推理 2（1.3%） 10 13 定积分的简单应用 2（1.3%） 11 14 数列的求和 12（7.8%） 12,17 15 平面向量共线（平行）的坐标表示 1（0.7%） 13 16 数列递推式 1（0.7%） 14 17 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 1（0.7%） 15

18 正弦定理 1（0.7%） 16 19 余弦定理 1（0.7%） 16 20 等差数列的通项公式 10（6.5%） 17 21 向量语言表述线面的垂直、平行关系 10（6.5%） 18 22 用空间向量求平面间的夹角 10（6.5%） 18 23 性检验的基本思想 10（6.5%） 19 24 相互事件的概率乘法公式 10（6.5%） 19 25 椭圆的标准方程 10（6.5%） 20 26 直线与圆锥曲线的综合问题 10（6.5%） 20 27 利用导数研究函数的单调性 10（6.5%） 21 28 利用导数求闭区间上函数的最值 10（6.5%） 21 29 简单曲线的极坐标方程 10（6.5%） 22 30 不等式的证明 10（6.5%） 23