待定系数法求二次函数解析式培优

一、【基础知识精讲】

1.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：

 两根式：

顶点式： 2.二次函数与一元二次方程的关系。

3.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。

4.二次函数的性质：抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的

b增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y2a 二、【典型例题精析】 一般式：

最小值

4ac-b2=

4ab;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-时y2a最大值

4ac-b2=

4a.

例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。 顶点式：

例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。 解法1:

解法2: 解法3:

变式2： 已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。 解法1： 解法二：

变式3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 解法1： 解法2：

y变式4：一条抛物线 两根式：

3312(0，)(4，)xmxn42与2。求这条抛物线的解析式。 经过点

例3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.求它的解析式。

变式： 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。 想一想:还有其它方法吗?

点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2). 根据图像求解析式：

【例1】．如图所示，求二次函数的关系式。

2

2

【例2】 一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax＋bx＋c的图象交于

A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式；

（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；

（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大． （4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？

2

【例3】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表： 刹车时车速（km/h） 刹车距离（m） 0 0 10 1．1 20 2．4 30 3．9 40 5．6 50 7．5 60 9．6 70 11．9 （1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；

（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；

（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．

【例4】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；

2

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg，时间单位：天）

【例5】在平面直角坐标系中， AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。 （1）求点B的坐标。

（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；

（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求ΔAB1B的面积。

二、【巩固提高】

1. 对于任何的实数t，抛物线 y=x+ (2-t) x + t总经过一个固定的点，这

A. (l, 3) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (1, 0) 2．如图所示为抛物线

2

个点是 ( )

yax2bxc的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是（ ）

A．ab1 B．ab1 C．b2a D．ac0

3．在平面直角坐标系中，先将抛物线

yx2x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么两次变换

后所得的新抛物线的解析式为( ) A．

yx2x2 B．yx2x2 C．yx2x2 D．yx2x2

4．老师出示了小黑板上题后．小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1，小颖说：

抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有( )

已知抛物线yax2bx3与x轴交于(1，0)，试添加一个条件，使它的对称轴为直线x＝2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．将抛物线 A． C．

y2x212x16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )

y2x212x16 B．y2x212x16 y2x212x19 D．y2x212x20

6．如图所示，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则

S关于x的函数图象大致是( )

二、填空题

7．已知二次函数的图象经过原点及点_______．

8．已知二次函数对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为(0，-2)，

则此二次函数的解析式为 ． 11．如图所示，已知二次函数

yx2bxc的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为________．

11,，且图象与24x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_

第11题 第12题

旋转90°至AC．

（1）点C的坐标为 ；

（2）若抛物线

三、解答题 13．已知

12．在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向

1yx2ax2经过点C，则抛物线的解析式为 ．

2yax2bxc(a≠0)经过A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点P到AB的距离为2，

求此抛物线的解析式．

14．有一个二次函数的图象．三位同学分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x＝4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3，请写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．

15．已知，如图所示，抛物线

点C(0，3)．

(1)求抛物线的函数关系式； (2)若点Dyax2bxc与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于

7,m是抛物线yax2bxc上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积． 2

16.如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则

（1）abc 0；

（2）a的取值范围是 .