2022年人教版中考预测卷《数学试卷》含答案解析

学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑)

1.4的平方根是( ) A. 2

B. -2

C. 2和-2

D. 16

2.图1是数学家皮亚特•海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图( )

A. B. C. D.

3.已知点P(1﹣a，2a+6)在第四象限，则a的取值范围是( ) A. a＜﹣3

B. ﹣3＜a＜1

C. a＞﹣3

D. a＞1

4.一个不透明盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( ) A. 20

B. 24

C. 28

D. 30

5.抛物线y=(x-3)²-1可以由抛物线y=x²+1平移得到，则下列平移方法正确的是( ) A. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位

6.如图，AE的延长线交于点F，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，边CD，如果∠1+∠2+∠3=225°，则∠DFE的度数是( )

A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°

7.一次函数yaxb和反比例函数yab在同一坐标系中的大致图象是( ) xA. B.

C D.

8.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长于点D，若∠ABC=65°，则∠D的度数是( )

A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°

9.如图所示是边长分别为60cm和80cm的两种正方形地砖，这两种地砖每平方厘米的造价相同，若边长为60cm的地砖的造价为90元，则边长为80cm的正方形地砖的造价为( )

A. 120元 B. 160元 C. 180元 D. 270元

10.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为( )

A. 24 B. 40 C. 56 D. 60

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.若二次根式x2有意义，则x的取值范围是___．

12.如图，在过直线AB外一点P作直线AB的平行线时，可以按如下步骤进行：①在直线AB上任取两点C，D;②分别以点P，D为圆心，CD与PC为半径画弧，两弧交于点E;③作直线PE，则PE∥AB．在上面作图过程中，PE∥AB的依据是________．

13.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了”绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿，比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为__________________．

14.如图所示是一个圆形飞镖靶的示意图，其中A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，如果向该飞镖靶上任意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是_______．

15.在太原迎泽西大街上有一种智能垃圾桶，这种智能垃圾桶不仅可以供行人休息，灯箱边的中部还有USBAB∥EF∥GH，CD=20cm，DE=60cm，接口可供行人充电．此种垃圾桶的侧面示意图如图所示，其中AC∥ED，EF=100m，GH=80cm，∠CDE=∠EFG=90°，∠DEF=130°，则此种垃圾桶的高度(C到地面的距离)约为________cm．(参考数据：sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(1)分解因式：x4x13x．

ab2abb2a(2)计算： aa17.已知关于x一元二次方程x²-3x+m-2=0有实数根． (1)求m的取值范围;

(2)当m为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．

18.如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE=∠BFE．

(1)求证：四边形DEBF是菱形;

(2)若AD=4，AB=8，则线段EF的长是_______．(直接写出答案即可)

19.某公司招聘一名职员，先对应聘者进行笔试考核，笔试进入前两名的选手再进入面试方面的考核，最终在参加面试的两人中录取一人．该公司将应聘者的笔试成绩划分了4个等级：设应聘者的成绩为x(单位：分)，当60≤x＜70时为不合格;当70≤x＜80时为合格;当80≤x＜90时为良好;当90≤x≤100时为优秀．下面是参加笔试的10名应聘者的成绩：86 75 67 86 92 75 82 90 86 78 (1)这10名应聘者的笔试成绩的中位数是_______，众数是_______; (2)请将下面表示上述4个等级的统计图补充完整;

(3)该公司对进入笔试前两名甲、乙二人进行了面试考核，面试中包括形体、口才、人际交往、创新能力，他们的成绩(百分制)如下表：

面试项目 候选人 形体 甲 乙

如果公司根据经营性质和岗位要求，以面试成绩中形体占10%，口才占20%，人际交往40%，创新能力占30%确定成绩，那么你认为该公司应该录取谁?请通过计算说明理由． 20.阅读下列材料，解决所提的问题：

+b²=c²勾股定理a²本身就是一个关于a，b，c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组．关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道”勾广三、股修四、径隅五”(古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦)，即知道了勾股数组(3，4，5)．类似地，还可以得到下列勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)，…等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组．

上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：

86 95 口才 90 85 人际交往 95 90 创新能力 90 92

观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和; 特点2：____________________________________． … 学习任务：

(1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：________________;

(2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为(n，______，______) (3)请你证明(2)的结论．

21.晋阳湖公园是华北最大的城市公园，是太原市未来的”城市客厅”，是工业文明与人文历史的交融．园内的晋阳湖是华北最大的人工湖，素称”中国北湖”．为满足晋阳湖景区水秀综合演艺的调试和表演用水需求，工程部按计划从4月1日开始向晋阳湖公园南扩湖供水，供水总量为120万立方米，经过计算，如果将原计划的每日供水量提高25%，则完成供水所需的时间将比原计划时间提前6天完成． (1)求原计划每日的供水量与供水的天数分别是多少?

(2)工程部按原计划供水12天后，接到上级指挥部的命令，要求工程部务必与4月28日前完成供水任务．则在后一阶段的供水中，至少需将每日的供水量提高百分之多少，才能在指挥部要求的期限内完成供水任务? 22.综合与实践 问题情境

数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．

如图1，△ABC与△EDC都是等腰直角三角形，点E，D分别在AC和BC上，连接EB．将线段EB绕点B顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF．连接DF．”兴趣小组”提出了如下两个问题：①AE=BD，AE⊥BD;②DF=AB，DF⊥AB．

解决问题：

(1)请你证明”兴趣小组”提出第②个问题． 探索发现：

(2)”实践小组”在图1的基础上，将△EDC绕点C顺时针旋转角度 (0°＜＜90°)，其它条件保持不变，得到图2．

①请你帮助”实践小组”探索：”兴趣小组”提出的两个问题是否还成立?如果成立，请给出证明;若不成立，请说明理由．

②如图3，当AD=AF时，请求出此时旋转角α的大小． 23.综合与探究：如图，二次函数y12xbxc经过点B(4，0)和点E(-2，-3)两点，与x轴的另一个2交点为A．点D是线段BE上的动点，过点D作DF⊥BE，交y轴于点F，交抛物线于点P．

(1)求出抛物线和直线BE的解析式;

(2)当△DCF≌△BOC时，求出此时点D的坐标; (3)设点P的横坐标为m．

①请写出线段PD的长度为(用含m的式子表示);

②当m为何值时，线段PD有最大值，并写出其最大值为多少?

答案与解析

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑)

1.4的平方根是( ) A. 2 【答案】C 【解析】 【分析】

根据平方根的定义即可得答案． 【详解】∵22=4，(-2)2=4， ∴4的平方根是2和-2， 故选：C．

【点睛】本题考查平方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数;熟练掌握平方根点定义是解题关键． 2.图1是数学家皮亚特•海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图( )

B. -2

C. 2和-2

D. 16

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即可． 【详解】A、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形; B、主视图和左视图从左往右2列正方形个数均依次为2，1，符合所给图形; C、主视图左往右2列正方形的个数均依次为1，1，不符合所给图形;

D、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形．

故选C． 【点睛】

考查由视图判断几何体;用到的知识点为：主视图，左视图分别是从正面看及从左面看得到的图形． 3.已知点P(1﹣a，2a+6)在第四象限，则a的取值范围是( ) A. a＜﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】

根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点P(1﹣a，2a+6)在第四象限， ∴B. ﹣3＜a＜1

C. a＞﹣3

D. a＞1

1a0

2a60解得a＜﹣3． 故选A．

【点睛】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．

4.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( ) A. 20 【答案】D 【解析】

【详解】试题解析：根据题意得

B. 24

C. 28

D. 30

9=30%，解得n=30， n所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选D．

考点：利用频率估计概率．

5.抛物线y=(x-3)²-1可以由抛物线y=x²+1平移得到，则下列平移方法正确的是( ) A. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位

D. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】

根据二次函数图象”左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案． +1向右平移3个单位看到抛物线y=(x-3)2+1， 【详解】把抛物线y=x²

-1， 把y=(x-3)2+1向下平移2个单位可得抛物线y=(x-3)²

+1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位可得抛物线y=(x-3)²-1， ∴抛物线y=x²故选：D．

【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟记”左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．

6.如图，AE的延长线交于点F，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，边CD，如果∠1+∠2+∠3=225°，则∠DFE的度数是( )

A. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 45° C. 55° D. 65°

-(∠1+∠2+∠3)=135°根据多边形外角和定理可得∠FDE+∠FED=360°，根据三角形内角定理即可得答案． 【详解】∵∠1+∠2+∠3=225°，∠1、∠2、∠3、∠FDE、∠FED是五边形ABCDE的五个外角， -(∠1+∠2+∠3)=135°∴∠FDE+∠FED=360°， -(∠FDE+∠FED)=45°∴∠DFE=180°， 故选：B．

【点睛】本题考查多边形外角和定理及三角形内角和定理，多边形的外角和为360°;三角形的内角和等于180°．

7.一次函数yaxb和反比例函数yab在同一坐标系中的大致图象是( ) xA. B.

C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

根据一次函数和反比例函数的性质逐一判断即可得答案． 【详解】A.由一次函数图象得：a＞0，b＞0， ∴ab＞0，

∴反比例函数图象应在一、三象限，故该选项正确，符合题意， B.由一次函数图象得：a＞0，b＞0， ∴ab＞0，

∴反比例函数图象应在一、三象限，故该选项错误，不符合题意， C.由一次函数图象得：a＜0，b＞0， ∴ab＜0，

∴反比例函数图象应在二、四象限，故该选项错误，不符合题意， D.由一次函数图象得：a＜0，b＜0， ∴ab＞0，

∴反比例函数图象应在一、三象限，故该选项错误，不符合题意， 故选：A．

【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的性质，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，k＞0时，图象经过一、三象限;k＜0时，图象经过二、四象限;当b＞0时，图象与y轴交于正半轴，b＜0时，图象与y轴交于负半轴;对于反比例函数y

k

(k≠0)，k＞0时，图象经过一、三象限;k＜0时，图象经过二、四象限;熟练掌握相x

关性质是解题关键．

8.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长于点D，若∠ABC=65°，

则∠D的度数是( )

A. 25° 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 30° C. 40° D. 50°

如图，连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据AB是直角可得∠ACB=90°，根据角的和差关系可得∠BCD=∠CAB，根据直角三角形两锐角互余的性质可求出∠CAB的度数，利用三角形外角性质即可求出∠D的度数．

【详解】如图，连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=65°，

-∠ABC=25°∴∠CAB=90°，

∵∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°， ∴∠BCD=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠CAB， ∴∠BCD=∠CAB=25°， ∴∠D=∠ABC-∠BCD=40°，

故选：C．

【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形外角性质，圆的切线垂直于过切

点的半径;直径所对的圆周角是直角;三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和;熟练掌握相关定理和性质是解题关键．

9.如图所示是边长分别为60cm和80cm的两种正方形地砖，这两种地砖每平方厘米的造价相同，若边长为60cm的地砖的造价为90元，则边长为80cm的正方形地砖的造价为( )

A. 120元 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 160元 C. 180元 D. 270元

设边长为80cm的正方形地砖的造价为x，根据每平方厘米的造价相同列方程求出x的值即可得答案． 【详解】设边长为80cm的正方形地砖的造价为x元， ∵两种地砖每平方厘米的造价相同， ∴

90x，

60608080解得：x=160， 故选：B．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键．

10.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为( )

A. 24 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 40 C. 56 D. 60

由点P的运动路径可得△PAB面积的变化，根据图2得出AB、BC的长，进而求出矩形ABCD的面积即可得答案．

【详解】∵点P在AB边运动时，△PAB的面积为0，在BC边运动时，△PAB的面积逐渐增大， ∴由图2可知：AB=4，BC=10-4=6， BC=24， ∴矩形ABCD的面积为AB·故选：A．

【点睛】本题考查分段函数的图象，根据△PAB面积的变化，正确从图象中得出所需信息是解题关键．

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.若二次根式x2有意义，则x的取值范围是___． 【答案】x2 【解析】

【详解】试题分析：根据题意，使二次根式x2有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2． 故答案是x≥2．

【点睛】考点：二次根式有意义的条件．

12.如图，在过直线AB外一点P作直线AB平行线时，可以按如下步骤进行：①在直线AB上任取两点C，D;②分别以点P，D为圆心，CD与PC为半径画弧，两弧交于点E;③作直线PE，则PE∥AB．在上面作图过程中，PE∥AB的依据是________．

【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的两组对边分别平行 【解析】 【分析】

由作图步骤可知PE=CD，DE=PC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形PCDE是平行四边形，根据平行四边形两组对边分别平行即可得PE//AB．

【详解】∵分别以点P，D为圆心，CD与PC为半径画弧，两弧交于点E; ∴PE=CD，DE=PC， ∴四边形是平行四边形，

∵平行四边形的两组对边分别平行， ∴PE//AB，

故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的两组对边分别平行 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．

13.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了”绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿，比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为__________________．

xy5 【答案】xy52【解析】 【分析】

设绳索长尺，竿长尺，根据”用绳索去量竿，绳索比竿长尺;如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设绳索长尺，竿长尺，

xy5根据题意得：x ．

y52xy5故答案为x．

y52【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．

14.如图所示是一个圆形飞镖靶的示意图，其中A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，如果向该飞镖靶上任意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是_______．

【答案】【解析】 【分析】

1 2如图，连接ED、BC、AF、OF、OD、OB，由A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点可得六边形ABCDEF

是正六边形，可得S△OFD=S△EFD，S△OBD=S△CBD，S△OFB=S△AFB，弓形阴影部分的面积和=弓形空白部分的面积和，可得图中阴影部分面积=空白部分面积，利用规律公式即可得答案． 【详解】如图，连接ED、BC、AF、OF、OD、OB， ∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点， ∴ABBCCDDEEFFA， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∴六边形ABCDEF是正六边形，

∴S△OFD=S△EFD，S△OBD=S△CBD，S△OFB=S△AFB，弓形阴影部分的面积和=弓形空白部分的面积和， ∴图中阴影部分面积=空白部分面积， ∴镖落在阴影区域的概率是：

1， 2

故答案为：

1 2【点睛】本题考查正六边形的性质、概率计算及弧、弦、圆心角的关系，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角，有一组量相等，其余两组量也相等;概率=所求情况数与总情况数的比．

15.在太原迎泽西大街上有一种智能垃圾桶，这种智能垃圾桶不仅可以供行人休息，灯箱边的中部还有USBAB∥EF∥GH，CD=20cm，DE=60cm，接口可供行人充电．此种垃圾桶的侧面示意图如图所示，其中AC∥ED，EF=100m，GH=80cm，∠CDE=∠EFG=90°，∠DEF=130°，则此种垃圾桶的高度(C到地面的距离)约为________cm．(参考数据：sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

【答案】233.8 【解析】 【分析】

如图，过点E作EN⊥EF，过点D作MN⊥EN于N，过点C作CM⊥MN于M，可得∠DEN=40°，根据角的和差关系可得∠CDM=∠DEN=40°，利用∠CDM和∠DEN的三角函数可求出MD和DN的长，根据垃圾桶的高度为MD+DN+EF+GH即可得答案．

【详解】如图，过点E作EN⊥EF，过点D作MN⊥EN于N，过点C作CM⊥MN于M， ∴∠END=90°，∠M=90°， ∵∠DEF=130°，

=40°∴∠DEN=∠DEF-90°， ∵∠CDE=90°，

∴∠DEN+∠EDN=90°，∠CDM+∠EDN=90°， ∴∠CDM=∠DEN=40°， ∵CD=20cm，DE=60cm，

cos∠CDM≈20×0.77=15.4cm，DN=DE·sin∠DEN≈60×0.=38.4cm， ∴DM=CD·

∴DM+DN+EF+GH=15.4+38.4+80+100=233.8cm， ∴此种垃圾桶的高度约为233.8cm．

故答案为：233.8

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义是解题关键．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(1)分解因式：x4x13x．

ab2abb2a(2)计算： aa【答案】(1)x2x2;(2)【解析】 【分析】

1． ab(1)先利用多项式乘以多项式计算法则展开，合并，再利用平方差公式分解因式即可; (2)先把括号内的式子通分，按照分式加减法法则计算，再根据分式除法法则计算即可． 【详解】(1)原式=x23x43x =x24

=x2x2．

aba22abb2(2)原式= aaaba=2 aab=

1． ab【点睛】本题考查因式分解及分式的混合运算，熟练掌握平方差公式及分式的运算法则是解题关键． 17.已知关于x的一元二次方程x²-3x+m-2=0有实数根． (1)求m的取值范围;

(2)当m为符合条件的最大整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)m≤【解析】 【分析】

(1)根据一元二次方程根与判别式的关系可得答案;

(2)根据(1)中m的取值范围可得出m的值，即可得出此时的方程，解方程即可得答案． -3x+m-2=0有实数根， 【详解】(1)∵关于x的一元二次方程x²-4(m-2)=9-4m+8=17-4m≥0， ∴△=(-3)²∴m≤

17;(2)x1=1，x2=2 417． 417，m为最大的整数， 4(2)∵m≤

∴m=4，

-3x+2=0． ∴方程为x²(x-1)(x-2)=0

解得：x1=1，x2=2．

∴m为符合条件的最大整数时,方程得根为x1=1，x2=2．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 18.如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE=∠BFE．

(1)求证：四边形DEBF是菱形;

(2)若AD=4，AB=8，则线段EF的长是_______．(直接写出答案即可) 【答案】(1)证明见解析;(2)25． 【解析】 【分析】

(1)根据矩形的性质可得∠OAE=∠OCF，利用ASA可证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，即可证明BE=DF，可证明四边形DEBF是平行四边形，根据∠DFE=∠BFE及矩形性质可得∠BFE=∠BEF，即可得出BE=BF，可得四边形DEBF是菱形;

(2)如图，连接BD，由矩形的性质可得点O为BD中点，根据菱形的性质可得EF⊥BD，利用勾股定理可求出BD的长，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，利用勾股定理可求出x的长，再利用勾股定理即可求出OE的长，进而可得EF的长．

【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，DC=AB． ∴∠OAE=∠OCF．

∵OA=OC，∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∴BE=DF，

∴四边形DEBF是平行四边形， ∵∠DFE=∠BFE，∠DFE=∠FEB，

∴∠BFE=∠BEF， ∴BE=BF，

∴四边形DEBF是菱形． (2)如图，连接BD， ∵AB=8，AD=4，

∴BD=AB2AD2=45，

∵点C为矩形ABCD对角线AC的中点， ∴点O为BD中点，即OB=∵四边形DEBF是菱形， ∴EF⊥BD，EF=2OE， 设BE=x， ∵AB=8，

∴DE=BE=x，AE=8-x， ∵AD=4， ∴x2=42+(8-x)2， 解得：x=5，即BE=5， ∴OE=BE2OB2=5， ∴EF=2OE=25．

1BD=25， 2

【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质及勾股定理，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形;菱形的对角线互相垂直且平分;矩形的对角线互相平分;熟练掌握相关性质是解题关键．

19.某公司招聘一名职员，先对应聘者进行笔试考核，笔试进入前两名的选手再进入面试方面的考核，最终在参加面试的两人中录取一人．该公司将应聘者的笔试成绩划分了4个等级：设应聘者的成绩为x(单位：分)，当60≤x＜70时为不合格;当70≤x＜80时为合格;当80≤x＜90时为良好;当90≤x≤100时为优秀．下面是参加笔试的10名应聘者的成绩：86 75 67 86 92 75 82 90 86 78

(1)这10名应聘者的笔试成绩的中位数是_______，众数是_______; (2)请将下面表示上述4个等级的统计图补充完整;

(3)该公司对进入笔试前两名的甲、乙二人进行了面试考核，面试中包括形体、口才、人际交往、创新能力，他们的成绩(百分制)如下表：

面试项目 候选人 形体 甲 乙

如果公司根据经营性质和岗位要求，以面试成绩中形体占10%，口才占20%，人际交往40%，创新能力占30%确定成绩，那么你认为该公司应该录取谁?请通过计算说明理由． 【答案】(1)84;86;(2)见解析;(3)录取甲，理由见解析． 【解析】 【分析】

(1)把这组数据从小到大排列，根据中位数和众数定义即可得答案;

(2)根据成绩得出个等级人数，进而求出合格和良好的百分比，据此补全统计图即可; (3)分别计算甲、乙两人的平均成绩，即可得答案．

【详解】(1)把这组数据从小到大排列得：67 75 75 78 82 86 86 86 90 92， ∵中间两个数据为82和86， ∴这组数据的中位数是

86 95 口才 90 85 人际交往 95 90 创新能力 90 92 8286=84， 2∵这组数据86出现的次数最多， ∴这组数据的众数是86，

故答案为：84;86

(2)∵合格的有：75、75、78，共3人，良好的有：82、86、86、86，共4人， ∴合格的百分比为

34×100%=30%，良好的百分比为×100%=40%， 1010∴补全统计图如下：

10%+90×20%+95×40%+90×30%=91.6． (3)甲的平均成绩为：86×

10%+85×20%+90×40%+92×30%=90.1． 乙的平均成绩为：95×∵91.6＞90.1， ∴应该录取甲．

【点睛】本题考查了中位数、众数及加权平均数的计算，熟练掌握相关定义是解题关键． 20.阅读下列材料，解决所提的问题：

+b²=c²勾股定理a²本身就是一个关于a，b，c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组．关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道”勾广三、股修四、径隅五”(古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦)，即知道了勾股数组(3，4，5)．类似地，还可以得到下列勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)，…等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组．

上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：

观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和; 特点2：____________________________________． … 学习任务：

(1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：________________; (2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为(n，______，______) (3)请你证明(2)的结论．

n21n21【答案】(1)最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和;(2)，;(3)见解析．

22【解析】 【分析】

4=3+4+5，5×6=5+12+13，7×8=7+24+25，……可得最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各(1)由3×

个勾股数的和，即可得答案;

321321521721721521=13;(2)由4，5;12，24，25……可得勾数为大于1的

222222奇数时，股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，即可得答案;

n212n212

)=()即可． (3)根据整式运算得出n+(222

4=3+4+5， 【详解】(1)3×5×6=5+12+13， 7×8=7+24+25， ……

∴最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和． 故答案为：最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和 (2)

3213214，5， 22521521=13， 12，

2272172124，25， 22……

∴股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，

∴勾数为大于1的奇数时，股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，

n21n21∴n为比1大的奇数时，上述勾股数组可以表示为(n，，)

22n21n21故答案为：，

22n21n42n2122(3)∵n n2424n2n42n21=

4n42n21=

4n21=． 22n21n21∴(，，)是勾股数组．

22【点睛】本题考查数字类变化及勾股定理，正确得出各数的变化规律并熟练掌握整式的运算法则是解题关键．

21.晋阳湖公园是华北最大的城市公园，是太原市未来的”城市客厅”，是工业文明与人文历史的交融．园内的晋阳湖是华北最大的人工湖，素称”中国北湖”．为满足晋阳湖景区水秀综合演艺的调试和表演用水需求，工程部按计划从4月1日开始向晋阳湖公园南扩湖供水，供水总量为120万立方米，经过计算，如果将原计划的每日供水量提高25%，则完成供水所需的时间将比原计划时间提前6天完成． (1)求原计划每日的供水量与供水的天数分别是多少?

(2)工程部按原计划供水12天后，接到上级指挥部的命令，要求工程部务必与4月28日前完成供水任务．则在后一阶段的供水中，至少需将每日的供水量提高百分之多少，才能在指挥部要求的期限内完成供水任务? 【答案】(1)每日的供水量为4万立方米，供水天数是30天;(2)20% 【解析】 【分析】

(1)设原计划每日的供水量为x万立方米，根据提前6天完成供水列分式方程可求出x的值，进而可求出供水天数;

(2)设需将每日的供水量提高的百分率为a，根据务必与4月28日前完成供水任务列不等式，求出a的取值范围即可得答案．

【详解】(1)设原计划每日的供水量为x万立方米，

1201206则根据题意，得 x10.25x解得x=4．

经检验，x=4是原方程的解． 4=30． 当x=4时，120÷

答：原计划每日的供水量为4万立方米，供水天数是30天． (2)设需将每日的供水量提高的百分率为a． 12+4(1+a)×∴4×(28-12-1)≥120． 解得：x≥0.2．

答：至少需将每日的供水量提高20%．

【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系不等关系是解题关键． 22.综合与实践 问题情境

数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．

如图1，△ABC与△EDC都是等腰直角三角形，点E，D分别在AC和BC上，连接EB．将线段EB绕点B顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF．连接DF．”兴趣小组”提出了如下两个问题：①AE=BD，AE⊥BD;②DF=AB，DF⊥AB．

解决问题：

(1)请你证明”兴趣小组”提出的第②个问题． 探索发现：

(2)”实践小组”在图1的基础上，将△EDC绕点C顺时针旋转角度 (0°＜＜90°)，其它条件保持不变，得到图2．

①请你帮助”实践小组”探索：”兴趣小组”提出的两个问题是否还成立?如果成立，请给出证明;若不成立，请说明理由．

②如图3，当AD=AF时，请求出此时旋转角α的大小． 【答案】(1)见解析;(2)①成立，见解析;②45°【解析】 【分析】

(1)根据等腰直角三角形的性质及线段的和差关系可得AE=DB，由旋转的性质可得∠EBF=90°，BE=BF，根据三角形外角性质及角的和差关系可得∠AEB=∠DBF，利用SAS可证明△AEB≌△DBF，可得AB=DF，∠ABE=∠DFB，由∠ABE+∠ABF=90°可得∠DFB+∠ABF=90°，即可得出∠AQF=90°，可得AB⊥DF; (2)①如图，延长AE与BD交于点P，交BC于O，根据旋转的性质可得∠ACE=∠DCB，利用SAS可证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠CAE=∠CBD，根据角的和差关系可得∠APB=90°，可得AE⊥BD;根据三角形外角性质及角的和差关系可得∠AEB=∠DBF，利用SAS可证明△AEB≌△DBF，可得AB=DF，∠ABE=∠DFB，由∠ABE+∠ABF=90°可得∠DFB+∠ABF=90°，即可得出∠AQF=90°，可得AB⊥DF; ②根据AD=AF，AB⊥DF可得AB垂直平分DF，可得BD=BF=BE，利用SSS可证明△BEC≌△BDC，可得∠DCB=∠ECB=

1∠ECD=45°，根据旋转的性质可得α=∠DCB=45°． 2【详解】(1)∵△ABC与△EDC为等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=DC， ∴AE=DB．

∵将线段EB绕点B顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF， ∴∠EBF=90°，BE=BF，

∵∠AEB=∠C+∠EBC，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠C=∠EBF=90°， ∴∠AEB=∠DBF．

AEDB在△AEB和△DBF中AEBDBF，

BEBF∴△AEB≌△DBF， ∴AB=DF，∠ABE=∠DFB．

∵∠ABE+∠ABF=90°， ∴∠DFB+∠ABF=90°， ∴∠AQF=90°，即AB⊥DF．

(2)①如图，延长AE与BD交于点P，交BC于O， ∵将△EDC绕点C顺时针旋转角度 ∴∠ACE=∠DCB，

ACBC在△ACE和△BCD中ACEDCB，

CECD∴△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．

∵∠AOC=∠BOP，∠AOC+∠CAO=90°， ∴∠CBD+∠BOP=90°， ∴∠APB=90°，即AP⊥BD．

∵∠AEB=∠APB+∠EBD，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠APB=∠EBF=90°， ∴∠AEB=∠DBF．

AEDB在△AEB和△DBF中AEBDBF，

BEBF∴△AEB≌△DBF， ∴AB=DF，∠ABE=∠DFB． ∵∠ABE+∠ABF=90°， ∴∠DFB+∠ABF=90°， ∴∠AQF=90°，即AB⊥DF．

②∵AD=AF，AB⊥DF， ∴AB垂直平分DF．

∴BD=BF=BE，

ECDC在△BEC和△BDC中BCBC，

BDBE∴△BEC≌△BDC， ∴∠DCB=∠ECB=

1∠ECD=45°． 2∴旋转角α的大小是45°．

【点睛】本题考查旋转的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确找出对应边、对应角及旋转角并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 23.综合与探究：如图，二次函数y12xbxc经过点B(4，0)和点E(-2，-3)两点，与x轴的另一个2交点为A．点D是线段BE上的动点，过点D作DF⊥BE，交y轴于点F，交抛物线于点P．

(1)求出抛物线和直线BE的解析式;

(2)当△DCF≌△BOC时，求出此时点D的坐标; (3)设点P的横坐标为m．

①请写出线段PD的长度为(用含m的式子表示);

②当m为何值时，线段PD有最大值，并写出其最大值为多少? 【答案】(1)y12314525xx2，y=x-2;(2)点D的坐标为(，，2)或(2225552552258595;②当m=1时，PD有最大值为． 2);(3)①mm55555【解析】 【分析】

(1)设直线BE的解析式为y=kx+t，把B、E坐标分别代入y的值即可得答案;

12xbxc和y=kx+t，求出b、c、k、t2(2)根据BE解析式可得C点坐标，利用勾股定理可求出BC的长，当点F在点C上方时，由全等三角形得性质可得OC=CD，过点D作DH⊥OB，垂足为H，可得DH//OC，根据平行线分线段成比例定理可得

BCOB，可求出OH的长，代入BE解析式求出y值即可得点D坐标;同理可求出当点F在点C下方时CDOH点D的坐标;

(3)①过点P作PQ//FC，交BE于Q，根据抛物线及BE解析式可用m表示出P、Q坐标，即可表示出PQ得长，根据平行线得性质可得∠OCB=∠PQD，可得∠PQD得正弦值，利用∠PQD的正弦即可表示出PD的长;

②根据二次函数得性质即可得答案．

1244bc02【详解】(1)把B(4，0)，E(-2，-3)代入抛物线的解析式得：，

1(2)22bc32解得b=

3，c=2． 2∴抛物线的解析式为y123xx2， 22设直线BE的解析式为y=kx+t， ∵B(4，0)，E(-2，-3)， ∴4kt0，

2kt31，b=-2． 21x-2． 2解得k=

∴直线BE的解析式为y=(2)当x=0时，y=

1x-2=-2． 2∴C的坐标是(0，-2) 如图，当点F在点C上方时， ∵△DCF≌△OCB， ∴CD=OC=2．

∴BC=OC2BO2224225， 过点D作DH⊥OB，垂足为H． ∴DH//OC， ∴

BCOB． CDOH2． 2OH45． 5∴∴OH=

把x=

14525代入y=x-2得，y=2．

25525，2)． 55∴点D的坐标为(

如图，当点F在点C下方时， ∵△DCF≌△OCB， ∴CD=OC=2．

过点D作DH⊥OF，垂足为H． ∴DH//OC， ∴

BCOB． CDDH2． 2DH45 5∴∴DH=把x=125代入y=x-2得，y=2．

25525，2)．

25∴点D的坐标为(

(3)①如图，过点P作PQ//FC，交BE于Q， ∴∠OCB=∠PQD， ∵sin∠PQD=sin∠OCB=∵点P横坐标m，

OB425=， BC2551231mm2)，Q(m，m2)，

222123112∴PQ=mm2-(m2)=mm4，

2222∴P(m，sin∠PQD=∴PD=PQ·

1252258525(mm4)=． mm52555②∵PD=552258595=(m-1)2+， mm5555595． 5∴当m=1时，PD有最大值

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数、平行线分线段成比例定理、全等三角形得性质及三角函数的运用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征及三角函数的定义是解题关键．