计算机研究与发展 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ＤＯＩ：１０．７５４４／ｉｓｓｎ１０００—１２３９．２０１５．２０１４００４７ ５２（４）：９４３－９５１，２０１５ 基于稀疏表示的含噪图像超分辨重建方法 窦 诺 。 赵瑞珍 。 岑翼刚 胡绍海 。 张勇东。 （北京交通大学信息科学研究所北京 １０００４４） １００１９０） （北京市现代信息科学与网络技术重点实验室（北京交通大学信息科学研究所） 北京 １０００４４） 。（中国科学院智能信息处理重点实验室（中国科学院计算技术研究所）北京（ｄｏｕｎｕｏ＠１２６．ｃｏｍ） Ｎｏｉｓｙ Ｉｍａｇｅ Ｓｕｐｅｒ—Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｓｐａｒｓｅ ＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉＯｎ Ｄｏｕ Ｎｕｏ ¨ Ｚｈａｏ Ｒｕｉｚｈｅｎ ’ ，Ｃｅｎ Ｙｉｇａｎｇ ，Ｈｕ Ｓｈａｏｈａｉ ，ａｎｄ Ｚｈａｎｇ Ｙｏｎｇｄｏｎｇ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４４） （Ｂｅｉｊ ｉｎｇ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａ ｒ９ｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ），Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４４） 。（Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｉ：ｏｒｙ ｏｆ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ０ｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ），Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１９０） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ａｎｄ ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ ｉｎ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｎｏｉｓｙ ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｉｓｙ ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕ・ｚｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ｔｗｏ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｒｅ ｃｏｍｐｏｕｎｄｅｄ ｔｏｇｅｔｈｅｒ．Ｓｉｎｃｅ ａｎ ｉｍａｇｅ ｐａｔｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｗｅｌｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｓ ａ ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｆｒｏｍ ａｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅｌｙ ｃｈｏｓｅｎ ｏｖｅｒ—ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ，ｔｗｏ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ ａｒｅ ｔｒａｉｎｅｄ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅ ｌｙ ｆｒｏｍ ｎｏｉｓｙ ｌｏｗ—ａｎｄ ｃｌｅａｎ ｈｉｇｈ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ ｐａｔｃｈｅｓ ｂｙ ｅｎｆｏｒｃｉｎｇ ｔｈｅ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｔｗｏ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅｉｒ ｏｗｎ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ． Ｇｉｖｅｎ ａ ｎｏｉｓｙ ｌｏｗ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ， ｓｐａｒｓｅ ｒｅＩ）ｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｌｏｗ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐａｔｃｈｅｓ ｖｉａ ｔｒａｉｎｅｄ ｌｏｗ—ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ ａｒｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｈｉｇｈ—ｒｅｓｏ］ｕｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｆｒｏｍ ｈｉｇｈ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐａｔｃｈｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｈｅｌｐ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｌｏｗ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｒａｉｎｅｄ ｈｉｇｈ—ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ， ａｆｔｅｒ ｇｌｏｂａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａ ｃｌｅａｎ ｈｉｇｈ—ｒｅｓｏ］ｕｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｏ ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈ ｔｈｅ ｇｏａｌ ｏｆ ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｎｏｓｉｎｇ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ．Ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｚｏｏｍｉｎｇ ｌｏｗ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ ｔｏ ａ ｍｉｄｄｌｅ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｌｏｃａｌｌｙ ａｄａｐｔｉｖｅ ｚｏｏｍｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｃａｎ ｇｅｔ ａ ｂｅｔｔｅｒ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｉｍａｇｅ ｔｈａｎ ｂｉｃｕｂｉｃ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．；Ｌ，ｗｅ ｃａｎ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｂｏｔｈ ｉｎ ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｗｉｔｈ ａｂｓｏｌｕｔｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ｖｉｓｕａｌ ｅｆｆｅｃｔ，ｗｈｉｃｈ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ ｏｕｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ；ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｉｍａｇｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ；ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ ｌｅａｒｎｉｎｇ； ｉｍａｇｅ ｒｅｃ ａｎｓｔｒｕｃｔｌｏｎ 摘要传统的含噪图像超分辨方法只能将图像去噪和图像超分辨分别进行处理，基于稀疏表示与字典 训练的含噪声图像超分辨重建方法将两者融合在一起．提出一种基于图像块在训练字典下稀疏表示的 协同处理：方法，来解决含噪图像超分辨的问题．由于图像块可以由字典下的稀疏系数来表示，所以可训 练一个分别适用于含噪低分辨率图像块和清晰高分辨率图像块的字典对，使得高低分辨率图像块在该 收稿日期：２０１４－０１—１４；修回日期：２０１４—０５—０４ 基金项目：国家“八六三”高技术研究发展计划基金项目（２０１４ＡＡ０１５２０２）；国家自然科学基金项目（６１０７３０７９，６１２７２０２８）；高校基本科研 业务费专项基金项目（２０１３ＪＢＺ００３）；教育部高等学校博士点专项基金项目（２０１２０００９１１０００８）；教育部新世纪优秀人才支持计划基 金项目（ＮＣＥＴ－１２—０７６８）；教育部创新团队发展计划基金项目（ＩＲＴ２Ｏ１２０６） 通信作者：赵瑞珍（ｒｚｈｚｈａｏ＠ｂｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ） ９４４ 计算机研究与发展２０１５，５２（４） 字典对下具有相同的稀疏表示．当输入含噪低分辨率图像块时，先计算出其在低分辨率字典下的稀疏表 示系数，然后利用此稀疏系数在高分辨率字典下进行重建，可得到清晰高分辨率图像块，最后通过整体 优化完成清晰高分辨率图像，实现图像超分辨和图像去噪的目的．实验证明，采用局部自适应插值的方 法放大低分辨率图像到中间分辨率再进行特征提取，比以往采用的双三线性插值的方法在重建图像质 量上有提高，并通过研究字典 参数的设置使得超分辨重建和去噪结果同时达到最佳，即在图像的视觉 和质量上都具有较为明显的优势，具有很好的鲁棒性和有效性． 关键词稀疏表示；图像超分辨；图像去噪；字典训练；图像重建 中图法分类号 ＴＰ３９１．４１ 超分辨率（ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ，ＳＲ）重建技术ｌ１ 是指通过图像处理算法来获得在成像系统分辨率极 限之上的更高分辨率图像，其实现成本相较于减小 成像系统像素尺寸和改变探测元排列方式等要低廉 得多．为了获得更为精确和鲁棒的图像处理结果，通 常需要通过从一幅或多幅具有互补信息的低分辨率 图像中估计或合成出高分辨率图像．该技术不但可 以改进图像的视觉效果，而且对图像的后续处理如 特征提取、信息识别等具有十分重要的意义，例如在 遥感监测、军事侦察、交通及安全监控、医学诊断和 模式识别等应用中，图像超分辨技术就为其提供了 丰富的细节信息．另外，进行超分辨的低分辨率图像 往往也会受各种噪声的影响，增加了超分辨技术的 难度．本文对通过单一含噪图像进行图像超分辨的 方法进行了研究．为克服传统的图像去噪［１ ” 和图 像超分辨重建只能分开进行处理的局限性，我们尝 试将两者结合在一起进行处理，提出了一种基于稀 疏表示与字典训练的含噪图像超分辨重建方法，实 验结果表明，本文方法可以得到更有效和鲁棒的高 分辨率图像重建结果． １ 理论基础 １．１稀疏表示基础 Ｍａｌｌａｔ和Ｚｈａｎｇ等人口 胡于１９９３年提出信号在 过完备原子库上分解的思想，通过选取合适的原子可 以得到更加灵活、简洁的信号表示形式，也就是信号 的稀疏表示．稀疏信号（ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａ１）的定义口 ： 若信号Ｘ仅有Ｋ有限个采样点非０，其他采样点均 为０，则信号 是Ｋ稀疏的．对于任意信号集合ｒ（＝＝ ，ＤＣＲ ｗ，Ｄ为包含Ｗ个原子（列）的特定字典 （矩阵）．一般而言，信号 可由字典Ｄ中有限原子 进行线性表示，即Ｖ ∈Ｉ１， ∈ＲＷ，有： Ｘ—Ｄａ，Ｓ．ｔ．１ ｌａ ｌ ｌｏ《 ， （１） 其中＿Ｉ＊＿『ｏ是Ｌ０范数，＿ ｌａ＿ｌ。代表向量 的非零 值个数，则称 为信号 的稀疏表示．若ｗ＞ ，表 明字典Ｄ在表示信号Ｘ时是冗余的．对于稀疏表示 口的求解，可近似写成如下形式： 一ａｒｇ ｍｉｎ｛ ｌＤａ— ｌ ｌ＋ ｌｌ口ｌｌ。， （２） 其中 为折中参数． １．２稀疏表示的含噪声图像超分辨局部模型 设 ∈Ｒ 和Ｙ∈ 分别为提取出来的高分辨率 图像块和相关的低分辨率观测图像块，表示为列向 量形式．则图像块的降质模型可以写成＿】 。 ： Ｙ—Ｌｘ＋ｚ， （３） 其中Ｌ为下采样运算器，ｚ为噪声．显然，通过Ｙ求 解 是一个病态的逆问题． 稀疏性指的是高分辨率图像块 可以由字典中 的原子线性稀疏表示，即Ｘ—Ｄ 口，其中Ｄｈｃ ｗ （Ｎ《ｗ）为字典，ａＥ 为其稀疏系数，所以低分辨率 图像块Ｙ可以写为Ｙ—Ｄｌ口４－ｚ，其中 ；ＬＤｈ（＝＝ 删（Ｍ《Ｗ）．这里我们假设噪声为高斯白噪声， 且满足条件ｌＩ ｚ ｌｌ ≤ｅ，即有： ｌ ｌＹ—Ｄｌ ｌ Ｉ２≤ｅ， （４） 其中ｅ为一个正实数，表示噪声程度．式（４）可转化 为稀疏向量ａ的优化问题： Ｐ０（ｅ）：ｍｉｎ ｌ ｌｌ ｌｏ，Ｓ．ｔ．１ｌ Ｙ—Ｄｌａ ｌ ｌ２≤￡．（５） 若ｅ取值合适，求解式（５）得到最优值 ，使得低分 辨率观测图像块的估计值 一Ｄ 清晰不含噪声， 即通过重建的方法达到去噪的效果．同时通过 — Ｄ 重建出的高分辨率图像 ，完成由含噪声的低 分辨率图像信号Ｙ重建出无噪声高分辨率图像块 的过程，使得超分辨率重建的同时达到去噪的效果． 将式（５）Ｌ０范数最小问题转化为Ｌｌ范数最小， 结合上述高低分辨率图像块间的联系，则有： ｍｉｎ ｌｌ口ｌ ｌ１，Ｓ．ｔ．１ ｌＦＤｌａ—Ｆｙ ≤￡１， 口 ｌ ｉＴＤｈａ一∞ ≤ｅ２， （６） 其中，Ｆ为特征提取运算符．注意本文不是直接针对 待处理低分辨率图像块进行稀疏表示，而是针对图 像的特征来进行处理，ｌｌ ＦＤ ａ—Ｆｙ ≤￡ 约束了 重建高分辨率图像块与输入低分辨率图像块的匹配 窦诺等：基＝Ｆ稀疏表示的含噪图像超分辨重建方法 ９４５ 程度．Ｔ提取出当前目标块和上一个高分辨重建得 到的图像块之间重叠的区域，∞为上一块重建在重 一阶二阶微分作为低分辨图像块的梯度特征，４个 ｆ 一［一１，０，１］，ｆｚ一，７， １维滤波器如下＿１ ： 叠区域的数值，｝ｌ ＴＤ 口一∞ｌ１；≤ｅ。保证了高分辨率 图像块的邻域相关性． 采用拉格朗日乘子法，式（６）可进一步合写为 ：ａｒｉｎ ｌ ｌＤａ一 ｌＩ｛＋ ｌｌ口ｌ ｌ１， （７） ｆ。一Ｅ１，０，一２，０，１］，ｆ 一 ， （８） 其中Ｔ表示转置．使用这４个滤波器可以得到每个 小块的４个特征向量，将其连接成一个向量作为低 分辨率图像块的最终特征表示．在算法实现中，４个 其中， 一『Ｄ—ｌ－ ］ Ｊ， 一 一ｌ ］ 二Ｊ，卢为控制式（卢为控制式‘６ 中２个 ）中２个 滤波器不是直接应用到采样得到的低分辨图像小 约束条件的一个平衡参数．求解上述问题的最优解可 用正交匹配追踪（ＯＭＰ）［２ 、基追踪去噪（ＢＰＤＮ） 等方法． 总体来说，对每个输入低分辨图像块Ｙ，首先找 到它在字典Ｄ一下的稀疏表示 ，保证对应的高、低 分辨率图像块在字典对下有相同的稀疏表示，相关 的高分辨率图像块将会根据这些参数口选中字典 Ｄ 中的原子进行组合，从而得到输出的高分辨图像 块 ． １．３低分辨率图像块的特征表示 为了更好地获得图像信息，需先对图像进行特 征提取，再进行稀疏表示．事实上，我们发现从低分 辨率图像的向上采样图像空间中提取特征，其效果 要好于直接从原始低分辨率图像空间中提取特征． 在字典训练时，Ｙａｎｇ等人＿】。 首先对低分辨率图像 进行双三线性插值放大２倍，作为中间分辨率图像 再对其进行特征提取，经本文实验发现，用局部自适 应插值的方法比双三线性插值能取得更好的放大效 果，所以本文选取局部自适应插值法将低分辨率图 像进行２倍向上采样，再提取插值后图像的梯度特 征，来降低超分辨预处理过程造成的误差，以提高最 终超分辨重建图像的质量．由于这个过程放大比率 已知，在进行训练和测试时就很容易追踪到高分辨 图像块和向上采样的低分辨图像块间的联系．从低 分辨图像块中提取特征的方式也使式（７）中联合字 典的过程更合理，而不是将高低分辨率字典只进行 简单的线性连接． １．３．１ 特征提取 由于人眼对图像中的高频分量最为敏感，所以 通常Ｆ可以取高通滤波器，这在感知观点中也是最 合理的．以往的超分辨率重建通常采用的方法为通 过提取低分辨率图像块的不同特征来提高预测的精 确性［２１－２５］．例如，Ｆｒｅｅｍａｎ等人 使用一组高斯滤 波器来提取低分辨率图像块的轮廓；Ｃｈａｎｇ等人［２ ３＿ 使用图像的一阶二阶梯度作为低分辨率图像块的特 征表示．由于微分的简洁性和有效性，本文主要使用 块中，而是应用到整幅训练图像中．因此对于每一幅 低分辨率训练图像，我们将得到４幅梯度图，再取出 ４幅梯度图中同一位置的图像小块，将４个图像小 块连接成图像的特征向量．因此，每个低分辨率图像 块的特征表示也包含了它的邻域信息，这对改善和 提高最终超分辨图像中图像块的邻域相关性很有 帮助． 另外，针对不同的图像，我们适当地增加了一些 特征来突出图像的特点，如： ｆＬ—Ｌ１，４，６，４，１］， ｆＥ一［一１，一２，０，２，１］， ｆｓ—Ｌ一１，０，２，０，一１］， ｆＲ一［１，一４，６，一４，１］， ｆｗ一［一１，２，０，一２，１］， （９） 其中，，Ｌ提取图像的ｌｅｖｅｌ特征，用来计算对称权重 的局部灰度水平；ｆ 提取图像的ｅｄｇｅ特征，即图像 的边缘信息；ｆｓ提取图像的ｓｐｏｔ特征，即斑点信 息；ｆ 提取图像的ｒｉｐｐｌｅ特征，用来检测波纹；ｆ 提取图像的ｗａｖｅ特征，表示图像的波浪信息． １．３．２局部自适应插值 局部自适应插值 。 由Ｂａｔｔｉａｔｏ等人提出，基本原 理为基于梯度的插值，具体可分为以下３个过程： １）将原大小为 × 的图像简单放大到２ × ２ 大小． ２）放大后图像的像素分布可以分成如图１中 的３种情况，分别判断简单插值放大后的未赋值的 灰度点是属于哪种边缘梯度，然后再根据设定的阈 值确定该点的灰度值，即根据Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ按照梯度 规则求得点ｘ，Ｈ ，Ｈ ， ，Ｖ 的灰度值．完成该步 Ａ． ｌｏ Ｏ ＸＩｏ Ｏ ｏ 。 凰。 尸ｏ Ｘ２ｏ Ａｅ ＰＯ Ｂｅ Ｄ． ｏ ｏ ｏ ｏ ｏ （ａ）Ｓｉｔｕａｔｉｏｎ １ （ｂ）Ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ２ （ｃ）Ｓｉｔｕａｔｉｏｎ３ Ｆｉｇ．１ Ｚｏｏｍｉｎｇ ｐｉｘｅｌｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． 图１ 图像放大后像素分布 ９４６ 计算机研究与发展２０１５，５２（４） 骤后，仍有许多不符合上述条件点没有赋值．针对图 １（ｂ）（ｃ）的情况，再根据Ａ，Ｂ，Ｘ ，Ｘ。点按照一定条 件来确定Ｐ点的灰度值． 分辨率图像所有插值点的赋值 ２含噪图像超分辨重建 含噪图像超分辨主要包括２部分：字典的训练 和图像超分辨率重建，如图２所示： ３）对余下的点采用加权中值法赋值．未被赋值 的点在图像中灰度变化较为平缓，梯度变化很不明 显，因此采用加权中值的方法进行填补，最终完成高 ～Ｈ ＩＩＤｉｅｔｉｏｎａｒｖ Ｔｒａｉｎｉｎｇ ｂｙＫ。ＳＶＤ —＿＿１№ＦｅａｔＭｕｒｅ Ｈ Ｐｒｏ ｃｅｓ ｓｉ ｎｇＮｏ ｉ一 ｓｙ 。ｈ－ｒｅＣｌａｎＨｉＩｍａｇｅＸｏｈ 十 ＦＥｘｔｅｒａｔｃｕｔｒｉｅｏｎ Ｉ—— ＭＦｅ眦ａｔｍｕｒ鹏ｅ｝＿＿— Ｒｅ∞ｃｏ ｎ。ｓ。ｔ ｒｕ∞ｃｔｅｄ Ｈｉ ｇｈ－ Ｆｉｇ． ２ Ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｎｏｉｓｙ ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅＰｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ． 图２基于稀疏表示的含噪图像超分辨重建方法 图２中左边为字典训练过程，右边为本文方法 进行稀疏表示的含噪图像超分辨率重建．下面分别 讨论如何训练字典Ｄ 和Ｄ。以及如何通过超分辨重 建约束条件来进行重建优化． ２．１ 训练字典Ｄ 和Ｄ。进行图像超分辨率重建 所给的采样后的训练图像块对为Ｉ一［ ，Ｙ ］， 其中Ｘｈ一［ ，ｚ。，…， ］是采样后的高分辨率图形 块组，Ｙ ＝［．ｙ ，Ｙ。，…，ＹＭ］是相关的低分辨率图像块 （或特征），我们的目标是为高分辨率和低分辨率图 像块训练字典，所以需要令高低分辨率图像块的稀 疏表示是相同的．这正是问题的难度所在，超分辨本 身是病态性问题．高分辨率和低分辨率图像块空间 各自的稀疏编码问题分别是： Ｄｈ—ａｒｇ ｍｉｎ【 ｌｘｈ—ＤｈＡ ｌｌ＋ ｌ ｌＡ｛ （ｉ０）ｌ ｛Ｄｈ，Ａ｝ 和 Ｄ１一ａｒｇ ｍｉｎ ｌ Ｉｙｌ—ＤｌＡ ｌｌ＋ ｌ ｌＡ ｌｌ， （１１） ｛Ｄ１，Ａ｝ 其中Ａ为稀疏表示系数矩阵．结合这些约束条件， 由于要使高低分辨率图像稀疏表示具有相同的编码 系数，式（１０）和式（１１）可合写成如下优化问题＿２ ： ｍｉｎ ｛Ｄｈ・Ｄ１，Ａ＞』 ｌ Ｉｘｈ—ＤｈＡ Ｉｌ；＋ 。…ｇ ｎｌ ｌｘ—Ｄ Ａｌ ｚ，Ｓ．ｔ． Ａ Ｉｄ ｌ。｛Ｄ．） ｌ Ｖ，．【 ：ｌｌｌ １ 一Ｊ。 ｌＩ ｙ 一ＤＩＡ ＋ （ ＋ ）ｌ ｌＡ ｌ ｌ，（１２） 其中Ｎ和Ｍ是高分辨和低分辨图像块（或特征）的 维数．这里，１／Ｎ和１／Ｍ为平衡式（１０）和式（１１）的 ２个惩罚项．式（１２）可进一步写成： ＜Ｄ Ｄ ｌ ｌｘ 一ＤｃＡ ｌｌ；＋ （ ＋ １／１ ｉｌ Ａ ｌ ｌ， ｈ，１，Ａ＞ ，＼』 』ｙ （１３） 窦 诺等：基于稀疏表示的含噪图像超分辨重建方法 算法来估计出信号在字典下的稀疏表示系数；再 固定稀疏表示系数，进而更新字典中的每列原子． 目前的算法有广义ＰＣＡ（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ＰＣＡ）＿３ ， ＭｏＤ（ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ）［。 ，Ｋ—ＳＶＤＥ。。］ 等．相对固定基字典，通过样本学习得到的字典的自 适应能力更强，信号在学习字典下的表示更为精确． Ｋ—ＳＶＤ方法Ｌ３ ］训练字典具体如下． 算法１．字典训练． 输入：训练样本集ｘ； 输出：训练字典Ｄ，稀疏表示系数矩阵Ａ． ①初始化：设Ｄ为任意满秩矩阵，每一列均为 标准归一化向量； ②稀疏编码：设Ｄ已知，依次取样本 ，计算其 在字典Ｄ下的稀疏表示系数口 ： 口 ＝＝＝ａｒｇ ｒｎｉｎ ｌ ＿一Ｄ口 ｌ】；，Ｓ．ｔ．１｛口 ｌｌ≤ｓ， （１７） Ⅱ ｓ为信号稀疏度，式（１７）可通过匹配追踪等算法计 算，当然也可以转换为Ｌ０范数最小问题，采用基追 踪等算法求解； ③字典更新：采用Ｋ—ＳＶＤ方法，逐步对每个原 子口 进行更新．设 一｛ｉ＼ａ （尼）≠０｝，表示当前应 用原子ｄ 的系数序列．根据下列原则更新原子ｄ 及系数口．（ ）一（口 （ｋ）） ： ｛ｄ ，ａ．（忌）｝一ａｒｇ ｍｉｎ ：ｌ ，一 ，Ｖ ，（１８） 』 其中 ，一 一 ｌ（ ）ｄｌ为当前字典Ｄ中除去ｄ 以外的原子表示 的误差矩阵，用ＳＶＤ对其进行 分解，即 一ＩｄＡ，Ｖ ，Ａ为对角矩阵，对角元素为误 差矩阵的奇异值，取矩阵ｕ的第１列为字典当前列 的更新值ｄ ，Ｖ 的第１行为系数的更新值口．（忌）； ④标准化：Ｖ ｋ，ｄ 一 ／ｌ ｌｄ ｌｌ。； ⑤迭代：如果未达到稀疏性要求，转至第②步， 否则退出． 稀疏编码问题是基于信号稀疏表示模型，在假 设字典Ｄ固定或已知的情况下，对输入信号 的稀 疏表示系数口进行估计的问题．在此部分工作中，研 究现有的稀疏编码算法，主要有ＢＰ，ＭＰ，ＯＭＰ，以及 基于这些算法的改进算法如ＳＴＯＭＰ，ＲＯＭＰ，ＳＰ， ＣｏＳａＭＰ，ＳＡＭＰ等，本文使用的是梯度下降法 ∞］． ２．２优化问题 ２．２．１加强全局重构约束 由于低分辨块 和它的稀疏表示重构Ｄ。口间不 严格相等，因此，也由于噪声，高分辨率图像ｘ用之 前提到的方法得到的稀疏表示并不能准确满足重构 ９４７ 约束．我们通过将一幅高分辨率图像ｘ。投影到 一ｙ的解空间来消除误差，计算： ｘ 一ａｒｇ ａｒｉｎ ｌ ｌｘ—Ｙ ｌＩ；４－ｃ ｌ ｌｘ—ｘｏ ｌ Ｉ， （１９） 其中Ｃ为平衡参数．式（１９）优化问题的解可以通过 梯度下降法有效计算出来，其迭代更新方程为 ＋１一ｘ ＋口［ （ｙ一 ｘ ）＋ｃ（Ｘ—Ｘｏ）］， （２Ｏ） 其中ｘ 为高分辨率图像ｔ次迭代后的估计， 为梯 度下降的步距＿３ ． 我们取结果ｘ 作为上述算法中高分辨率图像 的最终估计值．在满足重构约束条件下，此图像和稀 疏下的原始图像ｘ０尽可能近似． ２．２．２全局优化插值 第２．１节列出的简单超分辨算法可以看成是图 像处理逆问题普遍应用稀疏框架的一个特例．相关 思想已被很好地应用到图像压缩、去噪和修复中．这 些思想表明除了能将我们的方法应用到更大范围 中，在提高计算复杂度的代价下还可以进一步改善 结果． 有了充分的计算资源就可以基本上同时求解出 所有图像块的系数．并且，整幅高分辨率图像ｘ本 身可以作为变量处理．除了要求ｘ能由稀疏系数口 和字典很好地表示外，还要对ｘ和由参数表示的高 分辨率图像间的差值进行补偿，可行解不仅能很好 地满足稀疏，还要能更好地满足重构约束条件，这将 成为一个较大的优化问题： ｒ ｘ 一ａｒｇ ｒ｛Ｘ，口…ａｉｎ｛ｌ） ｌｘ—Ｙ ｌｌ｛＋ ∑ｌ ｌＤｈａ 一 ． Ｘ ４－ｒｐ（Ｘ）｝， （２１） ｉ，Ｊ 其中， 表示图像ｘ的第（ｉ，Ｊ）块的稀疏系数， ， 是一个从ｘ中选出的第（ｉ，Ｊ）块的投影矩阵，ｐ（ｘ） 是对添加先验知识的补偿函数，函数可选取普通规则 化形式（例如Ｈｕｂｅｒ ＭＲＦ，总变分，双边总变分）［¨］． 稀疏表示过程将式（２１）通过求解第２项和第３ 项和的近似最小值来得到参数口．其中，稀疏约束项 ｌｆ口 ｌｌ。可松弛为ｌｌ口 ｌｌ 来求解，高分辨率项 ｌ Ｉ％， 一 ． ｌＩ 可由它的低分辨率形式ｌ ｌＦＤｔａ￣， — Ｆｙ 【ｌ。来近似替代． ２．３含噪图像超分辨去噪参数设置 大多数的单帧图像超分辨重建算法都假设输 入图像是干净无噪声的，而实际上输入图像往往是 含噪声的．针对含噪声图像超分辨问题，以往的算法 往往将超分辨重建和去噪分为２个相关联又的 ９５Ｏ 计算机研究与发展２０１５，５２（４） 超分辨的过程中达到去噪的效果．简化了含噪声图 像超分辨和去噪单独进行的过程．实验结果表明，本 文方法具有有效性和鲁棒性，无论在视觉上还是图 ［１３］Ｍａｌｌａｔ Ｓ，Ｚｈａｎｇ Ｚ．Ｍａｔｃｈｉｎｇ ｐｕｒｓｕｉｔ ｉｎ ａ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ ＩＪ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９３，１４ （１２）：３３９７－３４１５ ［１４］Ｚｈａｏ Ｒｕｉｚｈｅｎ，Ｌｉｕ Ｘｉａｏｙｕ，Ｌｉ Ｃｈｉｎｇ－Ｃｈｕｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｗａｖｅｌｅｔ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｖｉａ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｈｉｎａ：Ｓｅｒｉｅｓ Ｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００９，５２（８）：１３７１—１３７７ 像质量上都能得到令人满意的超分辨结果． 参 考 文 献 ［１］ ＢｈａｖｓａｒＡ Ｖ． Ｒａｎｇｅ ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｖｉａ ［１５３ Ｍａｉｒａｌ Ｊ，［１ａｄ Ｍ，Ｓａｐｉｒｏ Ｇ，Ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅ ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ２００８，１７（１）：５３－６９ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｒｓｅ ｒａｎｇｅ ｄａｔａ Ｅｃ］／／Ｐｒｏｅ ｏｆ ２０１３ Ｉｎｔ ［１ ６］Ｌｉ Ｍｉｎ，Ｃｈｅｎｇ Ｊｉａｎ，Ｌｉ Ｘｉａｏｗｅｎ，ｅｔ ａ１．Ｉｍａｇｅ ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｎｏｎ—ｌｏｃａｌ ｌｅａｒｎｅｄ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ（ＩＳＳＰ）． Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ，２０１３：Ｉ９８—２０３ ［２３ Ｔｉａｎ Ｙ，Ｙａｐ Ｋ．Ｊｏｉｎｔ ｉｍａｇｅ ｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｕｐｅｒｒｅｓ０ｌｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｌｏｗ－ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｍａｇｅｓ ｗｉｔｈ ｚｏｏｍｉｎｇ ｍｏｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ Ｖｉｄｅｏ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０１３， ２３（７）：１２２４一ｉ２３４ ［３］ Ｃｈａｎｇ Ｈｏ—Ｈｓｕａｎ，Ｓｈｉａ Ｊｉｎ—Ｓｈｉｎｇ，Ｔｓａｉ Ｚｅｎｇ—Ｈｗａ．Ｉｍａｇｅ ｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＣＥＭＤ Ｅｃ］｜／Ｐｒｏｃ ｏｆ ｔｈｅ ２ｎｄ ＩＥＥＥ Ｉｎｔ Ｓｙｍｐ ｏｎ Ｎｅｘｔ—Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ（ＩＳＮＥ）．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ， ＮＪ：ＩＥＥＥ，２０１３：５３７—５４０ Ｅ４］ Ｙａｎｇ Ｍｉｎ—Ｃｈｕｎ，Ｗａｎｇ Ｙｕ—Ｃｈｉａｎｇ Ｆｒａｎｋ．Ａ ｓｅｌｆ—ｌｅａｒｎｉｎｇ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｓｉｎｇｌｅ ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ＿ｒｅｓｏ１ｕｔｉｏｎ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ，２０１３，１５（３）：４９８—５０８ ［５］ Ｚｈｕ ｑｉｕｙｕ，Ｌｉ Ｙｉｅｈｕｎ．Ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ｆｏｒ ｐｏｒｔｒａｉｔ ｉｍａｇｅｓ ｕｓｉｎｇ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｅｎｓｉｎｇ［ｃ］／／Ｐｒｏｃ ｏｆ ｔｈｅ ３ｒｄ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ（ＩＳＤＥＡ）．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ，２０１３：１３６８— １３７１ ［６］ Ｐａｎ Ｚｏｎｇｘｕ，Ｙｕ Ｊｉｎｇ，Ｈｕａｎｇ Ｈｕｉｊｕａｎ，ｅｔ ａ１．Ｓｕｐｅｒ— ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｅｎｓｉｎｇ ａｎｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｓｅｌｆ－ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｆｏｒ ｒｅｍｏｔｅ ｓｅｎｓｉｎｇ ｉｍａｇｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｒｅｍｏｔｅ Ｓｅｎｓｉｎｇ，２０１３，５１（９）：４８６４—４８７６ ［７］ Ｓａｓａｏ Ｔｏｍｏｋｉ，Ｈｉｕｒａ Ｓｈｉｎｓａｋｕ，Ｓａｔｏ Ｋｏｓｕｋｅ． Ｓｕｐｅｒ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒａｎｄｏｍｌｙ ｓｈａｐｅｄ ｐｉｘｅｌｓ ａｎｄ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ［ｃ］／／Ｐｒｏｃ ｏｆ ２０１３ ＩＥＥＥ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｐｈｏｔｏｇｒａｐｈｙ（ＩＣＣＰ）．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ， ２０１３：１－１１ ［８］ Ｎｉｎｇ Ｑｉａｎｇ，Ｃｈｅｎ Ｋａｎ，Ｉ．ｉ Ｙｉ，ｅｔ ａ１．Ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｖｉａ ａｎａｌｙｓｉｓ ｓｐａｒｓｅ ｐｒｉｏｒ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１３，２０（４）：３９９－４０２ ［９３ Ｓｕｎｇ Ｃｈｅｏｌ Ｐａｒｋ，Ｍｉｎ Ｋｙｕ Ｐａｒｋ，Ｍｏｏｎ Ｇｉ Ｋａｎｇ．Ｓｕｐｅｒ— ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ：Ａ ｔｅｃｈｎｉｃａ１ ｏｖｅｒｖｉｅｗ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｍａｇａｚｉｎｅ，２００３，２０（３）：２１—３６ ［１Ｏ］ Ｌｉｕ Ｙａｎｌｉ，Ｗａｎｇ Ｊｉｎ，Ｃｈｅｎ Ｘｉ，ｅｔ ａ１．Ａ ｒｏｂｕｓｔ ａｎｄ ｆａｓｔ ｎｏｎ— ｌｏｃａｌ ｍｅａｎｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｉｍａｇｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ［ｃ］／Ｐｒｏｃ ｏｆ ｔｈｅ １０ｔｈ ＩＥＥＥ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ，２００７：３０—３０ ［ｕ］ Ｅｌａｄ Ｍ，Ａｈａｒｏｎ Ｍ． Ｉｍａｇｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｖｉａ ｓｐａｒｓｅ ａｎｄ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ｌｅａｒｎｅｄ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００６，１５（１２）：３７３６—３７４５ ［１２］ Ｂｅｒｇｅａｕｄ Ｆ，Ｍａｌｌａｔ Ｓ．Ｍａｔｃｈｉｎｇ ｐｕｒｓｕｉｔ ｏｆ ｉｍａｇｅｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ ｏｆ １９９５ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ： ＩＥＥＥ。１９９５：５３－５６ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０１１，３３（１１）： ２６７２—２６７８（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） （李民，程建，李小文，等．非局部学习字典的图像修复［Ｊ］． 电子与信息学报，２０１１，３３（１１）：２６７２—２６７８） ［１７］Ｙａｎｇ Ｓｈｕｙｕａｎ，Ｗａｎｇ Ｍｉｎ，Ｃｈｅｎ Ｙｉｇｕａｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｓｉｎｇｌｅ— ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｓ０ｌｕｔｉｏｎ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｖｉａ ｌｅａｒｎｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ ａｎｄ ｃｌｕｓｔｅｒｅｄ ｓｐａｒｓｅ ｃｏｄｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１２，２１（９）：４０１６－４０２８ ［１８］Ｙａｎｇ Ｊ，Ｗｒｉｇｈｔ Ｊ，Ｈｕａｎｇ Ｔ，ｅｔ ａ１．Ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｖｉａ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１０，Ｉ９（１Ｉ）：２８６１—２８７３ ［１９１ Ｄｏｎｇ Ｗ，Ｚｈａｎｇ Ｌ，Ｓｈｉ Ｇ，ｅｔ ａ１．Ｉｍａｇｅ ｄｅｂｌｕｒｒｉｎｇ ａｎｄ ｓｕｐｅｒ— ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｂｙ ａｄａｐｔｉｖｅ ｓｐａｒｓｅ ｄｏｍａｉｎ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ａｄａｐｔｉｖｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１１， ２０（７）：１８３８—１８５７ ［２０］Ｃａｉ Ｔ Ｔ，Ｗａｎｇ Ｌ．Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｐｕｒｓｕｉｔ ｆｏｒ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｗｉｔｈ ｎｏｉｓｅ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，２０１ｌ，５７（７）：４６８０—４６８８ ［２１］Ｌｏｒｅｎｚ Ｄ Ａ．Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｔｅｓｔ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ ｆｏｒ ｂａｓｉｓ ｐｕｒｓｕｉｔ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ［ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１３，６１ （５）：１２１０－１２１４ ｒ２２］Ｆｒｅｅｍａｎ Ｗ Ｔ，Ｐａｓｚｔｏｒ Ｅ Ｃ，Ｃａｒｍｉｃｈａｅｌ Ｏ Ｔ．Ｌｅａｒｎｉｎｇ ｌｏｗ ｌｅｖｅｌ ｖｉｓｉｏｎ Ｅｃ］．／／Ｐｒｏｃ ｏｆ ｔｈｅ ７ｔｈ ＩＥＥＥ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｖｉｓｉｏｎ．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ，１９９９：１１８２—１１８９ ［２３］Ｃｈａｎｇ Ｈｏｎｇ，Ｙｅｕｎｇ Ｄｉｔ—Ｙａｎ，Ｘｉｏｎｇ Ｙｉｍｉｎ． Ｓｕｐｅｒ— ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｎｅｉｇｈｂｏｒ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ［ｃ］／／Ｐｒｏｃ ｏｆ ｔｈｅ １７ｔｈ ＩＥＥＥ ＣｏｎＩ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｖｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ （ＣＶＰＲ）．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ，２００４：２７５—２８２ ｒ２４］ Ｙｉｎ Ｈａｉｔａｏ，Ｌｉ Ｓｈｕｔａｏ，Ｈｕ Ｊｉａｎｗｅｎ．Ｓｉｎｇｌｅ ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ— ｒｅｓ。ｌｕｔｉｏｎ ｖｉａ ｔｅｘｔｕｒｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［ｃ］／／ Ｐｒｏｃ ｏｆ ｔｈｅ １８ｔｈ ＩＥＥＥ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ，２０１１：１１６１—１１６４ ［２５］Ｓｕｎ Ｇｕａｎｇｌｉｎｇ，Ｑｉｎ Ｃｈｕａｎ．Ｓｉｎｇｌｅ ｉｍａｇｅ ｓｕｐｅｒ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｖｉａ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｉｎ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｄｏｍａｉｎ［ｃ］／］Ｐｒｏｃ ｏｆ ｔｈｅ ３ｒｄ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｎｅｔｗｏｒｋｉｎｇ ａｎｄ Ｓｅｃｕｒｉｔｙ（ＭＩＮＥＳ）．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ，２０１１：２４—２８ ［２６２ Ｂａｔｔｉａｔｏ Ｓ，Ｇａｌｌｏ Ｇ，Ｓｔａｎｃｏ Ｆ．Ａ ｌｏｃａｌｌｙ ａｄａｐｔｉｖｅ ｚｏｏｍｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｄｉｇｉｔａｌ ｉｍａｇｅｓ［Ｊ］． Ｉｍａｇｅ ａｎｄ Ｖｉｓｉｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，２００２，２０（１１）：８０５—８１２ ｒ２７］ Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ Ｒ，Ｂｒｕｃｋｓｔｅｉｎ Ａ Ｍ，Ｅｌａｄ Ｍ．Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ ｆｏｒ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｉｎｇ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ，２０１０，９８（６）：ｌ０４５－１０５７
