(整理)定积分及其应用

第五章 定积分及其应用

一、内容分析与教学建议

（一） 定积分与不定积分构成积分学的全貌，为了进一步运用数学分析的方法解决实际问 题，定积分的思想、概念、理论和计算方法是不可缺少的数学基础。

本章的基本知识结构是从实际问题引入定积分概念，然后建立一整套理论和微积分基本公式，从而完成各种计算方法的建立，最后给出微小元素的思想及步骤。 （二） 定积分概念、牛顿–莱不尼兹公式

关于定积分的概念，可通过几个实例引入特定和式的极限，从中抽象出定积分定义，抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限来进行阐述，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。

定积分的性质和牛顿–莱不尼兹公式是构成本章的基本理论。各性质都是在连续条件下导出的，讲授时，应使学生正确理解它们的形成和作用。对于变上限的定积分的重要性质必须分析透彻，从而才能使学生理解定积分与不定积分的联系、区别，达到熟练掌握微积分基本公式。

（三） 换元积分法、分部积分法

换元积分法和分部积分法构成本章的基本方法，应强调换元积分与不定积分的换元积分之区别，教学中以正反两方面的具体例子讲清“换元要换限”，让学生熟练掌握这些基本方法。

（四） 广义积分

广义积分作为定积分的扩充，应强调它实际上是普通定积分的极限，应培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力。 （五） 微元法（定积分应用）

定积分应用应着重讲透处理问题的思想方法 微元法，关于积分法，可通过回顾定积分定义，介绍什么是微元法，以及微元法所满足的条件。对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。

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二、补充例题

例1. 设f(x)连续，且f(x)x2解： 记a10f(t)dt，求f(x).

10f(t)dt，则f(x)x2a

两端积分得：

10f(x)dx(x2a)dx0112a 2 a112a， a 22f(x)x1

bbb222例2. 证明不等式f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

aaa证： f(x)g(x)20，故f(x)g(x)dx0

2ab即 2baf2(x)dx2f(x)g(x)dxg2(x)dx0

aabb上式左端为2的二次三项式，故其判别式不大于0，

bbb22即 4f(x)g(x)dx4f(x)dxg(x)dx0

aaa2bbb22得： f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.

aaa21]连续且递减，证明：当01时，例3. 设f(x)在[0，证：  10f(x)dxf(x)dx.

010f(x)dxf(x)dxf(x)dx

01f(x)dxf(x)dx(1)f(x)dxf(x)dx

00011(1)f(1)(1)f(2)0

1[0,]，2[，1]，f(x)dxf(x)dx

001又证，作 F()则只需证：F()0

011] f(x)dxf(x)dx，[0，0111F()2f()f(x)dx2f()f()

001f()f()0， [0,]

-------------

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又F(1)0，故当01，F()0 10f(x)dxf(x)dx

0例4．设f(x)在[0,a]上有一阶连续导数，证明：f(0)

证： 由积分中值定理，

1af(x)af(x)dx 0a0a0f(x)dxf()a即f()1af(x)dx，0a a0f(x)dxf()f(0)

11af(x)dxf(x)dx0f(x)dx a0a0 f(0)f()

f(0)1aa0f(x)dx0f(x)dxa1af(x)dxf(x)dx 00a1af(x)af(x)dx 0a例5. 设f(x)在[0,1]上连续，f(0)f(1)0，f(x)0，(0x1)，证明：

10f(x)dx4. f(x)证： 由f(x)在[0,1]上连续，故有最大值y0f(x0)0，(x00,1)，分别在区间

[0,x0]，[x0,1]上应用拉格朗日中值定理，有：0x0

从而

y0f(x0)f(0)f()，x0x00y0f(1)f(x0)f()， x01

1x01x01011f(x)1dxf(x)dx0yf(x)y00f(x)dx1y0f(x)dx1f(y)f()y0

y1y0104

y01x0x0x0(1x0)例6. 设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，证明至少存在一个(a,b)使

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f()g(x)dxg()f(x)dx

ab证： 作F(x)xaf(t)dtg(t)dt，由于f(x)，g(x)在[a,b]上连续，所以F(x)在[a,b]xb上连续，在(a,b)内可导，并有F(a)F(b)0 F(x)f(x)bxg(t)dtg(x)f(t)dt

ax由罗尔定理，存在(a,b)，使F()0，即 f()g(x)dxg()例7. 设f(x)连续，证明：

baf(x)dx

a1a2a2dxfxx2x1a22a2dxfxx2x1a2dxfxxx a21dxftt2x 证： 令tx，则

2a11aa2dt1a2a2dt ftt2afttt 21t （对第二个积分，令ua2t）

a2a21aa2dtua2ftttafuua2u2du a 1a2dufuuu a2dt1aa2dufttt21fuuu 

a12a2dx1afxx2x21a1a2dxfxxx 例8. 设函数f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明在(a,b)内存在点，使曲线yf(x)

与两直线yf()，xa所围平面图形面积S1是曲线yf(x)与两直线

yf()，xb所围图形面积S2的三倍。

证：设t是[a,b]上任一点，S1(t)与S2(t)分别表示图中两块曲边三角形面积，由于

S1(t)3S2(t)是t 的连续函数，只要证明该函数在(a,b)内有零点即可。构造函数

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F(t)tf(t)f(x)dx3batf(x)f(t)dx 由于f(x)连续，因此F(t)2在[a,b]上连续， 又 F(a)3baf(x)f(a)dx0

F(b)baf(b)f(x)dx0

由连续函数介值定理知(a,b)， 使F()0 故

f()f(x)dx3baf(x)f()dx

即 S13S2

例9. 设平面图形A由x2y22x与yx所确定，求图形A绕直线x2旋转一周所

得的旋转体体积

解： 因与直线yx的交点为(0,0)和(1,1)，选y为积分变量，[y,ydy][0,1]，相

应平面图形绕x2旋转一周所得的旋转体的体积微元为

dV2x212x22dy

其中xx)11y211(y，x2x2(y)y，故得：

dV211y22y2dy

21y2(1y)2dy

积分得： V211y2(1y)20dy

212101ydy20(1y)2dy

第一个积分中，令ysint，得

2V22cos2tdt21(1200y)dy223 例10. 设函数f(x)在闭区间[0,1]，在开区间(0,1)内大于零，并满足xf(x)f(x)3a2x2（a 常数），又曲线yf(x)与x1，y0所围图形S的面积值为2，求函数-------------

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yf(x)，问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小？

解： 由题设知，当x0时，

xf(x)f(x)3a 22x即

df(x)3a，由f(x)在x0连续性得 dxx2 f(x)又由已知条件得： 232axCx，x[0,1] 21132axCxdxaC 02221从而C4a，因此f(x)32ax(4a)x 2由于旋转体的体积为 V(a)103f(x)dxax2(4a)xdx

02212令V(a)12116aa 3033111a，a5，V(a)0 15315所以当a5时，该旋转体体积为最小。

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三、补充练习

n1. 求limxsinxdx (0a1). （0）

n0a2. 求 ①

120arcsinx1xdx ②0arcsin

3xdx 1x（ ① 3．设f(x)3x1，求

22 ② 433 ） 422f(x)dx. (7)

4．函数f(x)在[0,2a]上连续，证明：

a0f(x)dx2a0f(x)f(2ax)dx，并由此计算

24 

0xsinxdx 21cosxxet2dttxedt00lim5．求 ① lim ② 16,0 2x2nn0xsin2x2tedtx2206．设函数f(x)在[a，b]上，且f(x)0，则在(a，b)内至少存在一点，使得



xaf(x)dxb1bf(x)dxf(x)dx

2a7．设f(3x1)xe2，求f(t)dt 14e612

101

8. 若曲线ycosx0x与x轴，y轴所围成的面积被曲线yasinx和2ybsinx(ab0)三等分，试确定a，b之值 a43,b512

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9. 求曲线xya(a0)，直线xa，x2a及x轴所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积 2a

10.半径为r的球沉入比重为1的水中，水平面恰好淹没球面，问把球从水中取出需作多少2

功？

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43r4