高中数学《基本初等函数的导数》知识点讲解及重点练习

1

学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝x的导数.2.能利用给出的基

x本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

知识点一 几个常用函数的导数

原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝x3 1f(x)＝ xf(x)＝x

知识点二 基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x

导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a f′(x)＝ex 1f′(x)＝ xln a1f′(x)＝ x－导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝3x2 1f′(x)＝－2 x1f′(x)＝ 2x

1

1．若y＝2，则y′＝×2＝1.( × )

213

2．若f(x)＝3，则f′(x)＝－4.( √ )

xx3．若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.( × ) 4．若y＝sin 60°，则y′＝cos 60°.( × )

一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝x0； 1x

(2)y＝3； (3)y＝lg x； x2

(4)y＝；

xx

(5)y＝2cos2－1.

2解 (1)y′＝0.

1x11xln 3. (2)y′＝ln ＝－3331

(3)y′＝.

xln 10x2

(4)∵y＝＝x2,

x1333x ∴y'x2'x2223x

(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，

2∴y′＝(cos x)′＝－sin x.

反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

15如y＝4可以写成y＝x－4，y＝x3可以写成y＝x5等，这样就可以直接使用幂函数的求导公

x式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．

1

(3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．

x跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y＝2 020； (2)y＝3

1x2；

3(3)y＝4x； (4)y＝log3x.

解 (1)因为y＝2 020， 所以y′＝(2 020)′＝0. (2)因为y＝3

1

＝x，

-23x2122253x3. 所以y′＝－x33(3)因为y＝4x， 所以y′＝4xln 4. (4)因为y＝log3x， 所以y′＝

1. xln 3

二、利用导数研究曲线的切线方程

例2 已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 1

解 ∵y′＝，

x1

∴k＝y′|x＝e＝，

e1

∴切线方程为y－1＝(x－e)，

e即x－ey＝0. 延伸探究

求曲线y＝ln x的过点O(0,0)的切线方程．

解 ∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上． ∴设切点Q(x0，y0)， 1

则切线的斜率k＝.

x0

y0－0ln x0

又切线的斜率k＝＝，

x0x0－0∴

ln x01

＝，即x0＝e， x0x0

∴Q(e,1)， 1∴k＝，

e

1

∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.

e

反思感悟 (1)利用导数的几何意决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；

②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤

跟踪训练2 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( ) A．y＝12x－16 C．y＝－12x－16 答案 A

解析 因为y′＝3x2， 当x＝2时，y′＝12， 故切线的斜率为12， 切线方程为y＝12x－16.

(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值． 解 设切点为(x0，ln x0)，

B．y＝12x＋16 D．y＝－12x＋16

1

由y＝ln x得y′＝.

x

因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1. 1

所以y'|x=x0＝＝1，

x0即x0＝1， 所以切点为(1,0)． 所以1－0＋c＝0， 所以c＝－1.

利用导数公式求切点坐标问题

典例 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大． 解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，

设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.

故可得P(1,1)，∴与直线l平行的抛物线的切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧AOB上的点，使△ABP的面积最大．

[素养提升] (1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． (2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数算的数学核心素养．

1．给出下列命题： 1①y＝ln 2，则y′＝；

212②y＝2，则y′|x＝3＝－；

x27

③y＝2x，则y′＝2xln 2； 1

④y＝log2x，则y′＝.

xln 2其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C

解析 对于①，y′＝0，故①错；

22

对于②，∵y′＝－3，∴y′|x＝3＝－，故②正确；

x27显然③，④正确．

2．已知f(x)＝x，则f′(8)等于( ) A．0 B．22 C.答案 C

2

D．－1 8

1-1解析 f(x)＝x，得f′(x)＝x2，

21-12 ∴f′(8)=8228

3．(多选)下列结论正确的是( ) A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝

11，则y′＝－x

2x1

C．若y＝x，则y′＝

2xD．若y＝x，则y′＝1 答案 ACD

解析 只有B是错误的．

1312112'x'x 因为y′22xxx1

4．已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝2，则x0＝ .

x0答案 1

解析 因为f(x)＝ln x(x>0)，

1

所以f′(x)＝，

x11

所以f′(x0)＝＝2，

x0x0所以x0＝1.

9

5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是 ．

x答案 x＋y－6＝0 9

解析 ∵y′＝－2，

x∴y′|x＝3＝－1，

∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)， 即x＋y－6＝0.

1．知识清单： (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． (3)切线方程．

2．方法归纳：方程思想、待定系数法． 3．常见误区：不化简成基本初等函数.

1．下列求导运算正确的是( ) A．(cos x)′＝－sin x C．(ex)′＝xex1 答案 A

2．下列各式中正确的个数是( )

5－－

①(x7)′＝7x6；②(x1)′＝x2；③(－

B．(x3)′＝x3ln x 1

D．(ln x)′＝ xln 10

x2)′

325x; ④(cos 2)′＝－sin 2. 5A．2 B．3 C．4 D．5

答案 A

解析 ∵②(x－1)′＝－x－2； ④(cos 2)′＝0. ∴②④错误，故选A.

3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案 A

解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴a＝4.

ππ的值为( ) 4．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f 44A．0 B．－1 C．1 D．2 答案 A

解析 f′(x)＝－sin x，

ππ＝－sin π＋cos π＝0. 所以f′＋f 4444

5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( ) A．(－1,1) C．(1,1) 答案 BC

解析 y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 6．已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数．若f(x)＝ln 5log5x，则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为 ． 答案 x－y－1＝0

解析 由已知得f′(x)＝ln 5

11＝， xln 5x

B．(－1，－1) D．(1，－1)

所以f′(1)＝1，在A点处的切线方程为x－y－1＝0.

7．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ． 答案 4

1

解析 因为y′＝，

2x

1

所以切线方程为y－a＝(x－a)，

2a令x＝0，得y＝

a

，令y＝0，得x＝－a， 2

1a

由题意知··a＝2，所以a＝4.

22

1

8．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标

x为 ． 答案 (1,1) 解析 设f(x)＝ex， 则f′(x)＝ex，

1

所以f′(0)＝1.设g(x)＝(x>0)，

x1

则g′(x)＝－2.

x

由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1. 所以P(1,1)．

9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．

则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以e0＝1，得x0＝0，

代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为

2. 2

x

1

－，－2且与抛物线相切的直线方程． 10．已知抛物线y＝x2，求过点2

解 设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝

1x＋， k2

因为y′＝2x，所以k＝2x0，

2又点(x0，x0)在切线上，

1所以x20＋2＝2x0x0＋， 2

所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4， 1

x＋或 所以直线方程为y＋2＝221

x＋， y＋2＝－42

即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.

11．已知函数f(x)＝x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有( ) A．1条 C．多于2条 答案 B

解析 y′＝f′(x)＝3x2，

3)， 设切点为(x0，x0

B．2条 D．不能确定

由3x20＝1，得x0＝±即在点

3， 3

3333和点－，－处均有斜率为1的切线，故有2条． ，993312．若曲线y＝xα＋1(α∈Q且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝ . 答案 2

解析 y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.

13．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为 ．

π

x＝＋2kπ，k∈Z答案 x2



 

解析 ∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1， ∴由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，

即sin x≥1，则sin x＝1， π

解得x＝＋2kπ，k∈Z，

2

π

x＝＋2kπ，k∈Z. ∴其解集为x2





14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝ . 答案 sin x

解析 由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，

f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.

*

15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N，

若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ． 答案 21

2解析 ∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)．

又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，

11

∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，

22∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.

16．设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．

解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可

＋

n，0n

求得切线与x轴的交点为n＋1，则an＝lg ＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99

n＋1

＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.