数值计算方法考试试题参考答案

研究生课程考试试题

课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 考试 年 级： 2009 学时： 80 考试时间： 120 专 业： 学生姓名: 学号:

一、取cos20.9994，计算1cos2。计算结果有多少位有效数字？怎样改进计算？

2解：1cos20.0006，计算结果至多有一位有效数字。利用恒等式1cos22cos1可提高计算精度。

**二、证明方程f(x)x2x50在区间(2,3)内有唯一根x，用二分法计算x的近公

3似值xn时，试确定迭代次数使|xnx|*1。 103（不要求计算xn）

2解：1）f(2)8451，f(3)276516，由根的存在定理知，f(x)0在区间(2,3)内至少有一个根。又当x(2,3)时，f(x)3x20，f(x)在区间(2,3)内

*内严格单调增加。故f(x)x2x50在区间(2,3)内有唯一根x。

322）用二分法计算x的近公似值xn时，有|xnx|只要

**111*。要(32)|xx|103，nnn222113ln103。解之得10n110.97，取n11，得迭代11次，使n22ln21|xnx*|103。

2211

A339335三、求矩阵

的Crout分解和Doolittle分解。

l11解：1）Crout分解：设l21l22l31l32l331u121u13211u23=339，得 133511959l112，u12，u13，l213，u22，u23，l313，l32，l334。

22232

22119得339323359322）Doolittle分解：

11214125。 3112112113915339。 212233534112四、设

210

A111012计算||A||1，||A||2以及(A)。

解： ||A||1max{3,3,3}3，||A||2max{3,3,3}3，又A的特征值为3，2，0。故

(A)3。

五、用Jacobi迭法解方程组

x14x22x31， 4x1x232x4x632是否收敛，若不收敛，则能否改写此方程组使得Jacobi迭代法收敛？

解：Jacobi迭法的迭代矩阵为

04B40102320， 0特征方程为：f()1640，因f(4)4，f(5)41，得f()在区间(4,5)有一根。由此得，特征根的最大模一定大于1，即(B)1。故Jacobi迭法发散。

4x1x23 将方程组改为x14x22x31，则系数矩阵是严格对角占优的，Jacobi迭代法收敛。

2x4x632六、已知函数f(x)在若干点的函数值：

x 0 1.000006 0.3 0.6 0.9 f(x) 0.9850674 0.9410708 0.8703632 试用线性插值求f(0.15)和f(0.45)的近似值。

解：由于0.15介于0与0.3之间，取0与0.3为节点进行线性插值。

0.150.30.1501.0000060.98506740.9925467

00.30.30由于0.45介于0.3与0.6之间，取0.3与0.6为节点进行线性插值。

0.450.60.450.3f(0.45)0.98506740.94107080.9630691

0.30.60.60.3f(0.15) 七、已知以下数据： xi yi 1 0 2 2 3 2 4 5 5 4 试用一次多项式按最小二乘原理拟合以上数据。

解：矛盾方程为

ab0a2b2a3b2 a4b5a5b4法方程为

5a15b13 15a55b50解法方程得：a0.7，b1.1。得拟合函数为y0.71.1x。 八、已知函数f(x)在若干点处的值：

xi f(xi) 试计算积分

-1 0 -0.5 2.125 0 3 0.5 2.125 1 0 11f(x)dx的梯形值T1，T2，T4以及Simpson值S1，S2。

解：T1T2T11(1) (00)0，T2133，T42(2.1252.125)3.625。

222224141S1T2T14，S2T4T23.8333。

33331f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)] 131九、试设计求积公式

使其代数精度尽可能地高，并指明求积公式所具有的代数精度。 解：设公式对函数f(x)x,x是精确的，得

212x13x20 2212x13x22解之得：x132616，x2。

155116326f(x)dx[f(1)2f()3f()]。 1351513求积公式为：

又代入f(x)x，左0，右0。故公式具有2阶代数精度。 十、证明，用改进的Euler公式和变形的Euler公式解初值问题

yyx1,0x1， y(0)1 对任意的h值得到的近似解都是相同的。

hyy(K1K2)nn12证明：改进的Euler公式为：K1f(xn,yn)，初值问题的改进的Euler公式为

Kf(xyhK)n1,n1222hh22hh2yn1ynxnh。

22yn1ynhK2变形的Euler公式为：K1f(xn,yn)，初值问题的变形的Euler公式为

hhK2f(xn,ynK1)2222hh22hh2yn1ynxnh

22

故用改进的Euler公式和变形的Euler公式解初值问题

yyx1,0x1， y(0)1对任意的h值得到的近似解都是相同的。

十一、求隐式Euler公式yn1ynhf(xn1,yn1)的绝对稳定区间。 解：选取试验方程：

yy y(x0)y0，由yn1ynhf(xn1,yn1)推出

n1nhn1

n1n为使n不超过0，应有

1n 1h1(1h)n0

1(1h)得绝对稳定区间为(,0)。

n1