一类具有时滞和饱和定律的双分子模型的动力学分析

JournalofNanyangNormalUniversity

Vol.19No.3May2020

一类具有时滞和饱和定律的双分子

模型的动力学分析

王乔钰,许慧洁,易　秀,杨晓燕

(兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070)

　　摘　要:考虑具有时滞和饱和定律的双分子模型,通过分析模型相应的线性化方程的特征值,研究时滞对模型的正平衡点的稳定性的影响和Hopf分支的存在性,最后通过数值模拟验证理论结果的正确性.

关键词:双分子模型;时滞;稳定性;Hopf分支

中图分类号:O175.2　　　文献标志码:A　　　文章编号:1671-6132(2020)03-0019-04

0　引言

考虑如下模型

uìï·u(t)=auv-,+muï1ï

í·

ïv(t)=1-uv,ïïu(θ)=u0≥0,v(0)=v0≥0,î

(1)

其中,u(x,t)和v(x,t)表示反应物的浓度,a表示反应速率,m>0表示饱和规律的比例强度.在文献[1]中,作者研究了模型(1)的平衡点的稳定性以及在空间影响下扩散系数对稳定性的影响,得出了图灵不稳定性演示[2

-5]

.

-10]

为了使研究模型更具有实际意义,常常需要在模型中引入时滞[6

模型也引起大量研究者的关注.本文将考虑如下模型

.在化学领域中,时滞常微分方程

ìïdu=auv-u,ïdt1+muï

ídv=1-u(t-τ)v,ïdtï

ïu(θ)=u0(θ),v(0)=v0≥0,θ∈(0,τ).î

(2)

1　系统(1)所对应的ODE系统的稳定性

本节主要考虑系统(1)正平衡点的稳定性.易知当0(u∗,v∗)=

类似文献[1],定义曲线H:a=a0:=

(

111-及区域

mm()

a1-am

,.1-ama

)

Ⅰ=(m,a):0{

1111

-1∪(m,a):m>1,≤a<,

mmmm}{

Ⅱ=(m,a):m>1,0收稿日期:2019-12-30

{

11

1-mm(

()

)}

.

}

作者简介:王乔钰(1994—　),女,甘肃永昌人,硕士研究生,主要从事微分方程动力学方面研究.

·20·

南阳师范学院学报　第19卷　

由文献[1]可知下面的结论成立:

定理1　1)当(m,a)∈Ⅰ时,系统(1)的正平衡点是局部渐近稳定的.2)当(m,a)∈Ⅱ时,系统(1)的正平衡点是不稳定的.

3)当(m,a)从定义域Ⅰ到Ⅱ通过曲线H时,系统(2)的正平衡点处出现Hopf分支,且有周期解存在.

2　时滞影响下的系统的稳定性和Hopf分支的存在性

这一节主要考虑时滞τ对于系统(2)正平衡点(u∗,v∗)稳定性的影响.因此,我们假设(m,a)∈Ⅰ.

将系统(2)在平衡点(u∗æ,v∗)处线性化得到下面的线性系统:

çd(t-τ)çdutö÷æ

çam(1-am)ç÷1-a2amö

÷

÷u

0ç=ç÷()

+am-1v(t-τ)

)

.èdama

-1÷

vø

a(3)的特征方程为

dv÷t÷ç

øç

è

0容易得到方程λ2a2-(αa1+α3)λ-amα2α-4e

-λτ

(

00

+α1α3=0,

)(

u其中,令α1=am(1-am),α2=假设λ=±iω(ω>0)为方程1-(4)am,α3=am-1,α4=a

1

.

的纯虚根,将其代入方程(4),则有

(-αω2+=α2α4cosωτ,

1+αα1α33)ω=α2α4sinωτ.

我们就可以得到方程　ω4+(2α2-1如果02+(α1α3)2-(α2α4)2=0.1α3)ω2

=

-α(2αα42)21+α<02.于是方程(6)有唯一的正根

3)+(α21+α23)

2α2

-4[(α1α3)2-(α2α4)2],

即　ω=

-(12+α32)+(α21+α23)

2-4[(α1α3)2-(α2α4)2]-ω2+α2

.

由(5)可知,cosωτ=

1αα3

2α4

,从而相应于上述ω的τ的值为

τék=

ω

1êêëarccos(-ω2α+α1α32α4)

+2kπù

úúû

,(k∈N0),即当τ=τk时,方程(4)有纯虚根λ=±iω(ω>0).

引理1　当(m,a)∈Ⅰ且0sign{Re

(d)

-1

τ=τk

}

>0.

证明:方程(4)的两边对τ求微分,可得

dλ

τ

(dλ)-1

dτ

=

2λeλτ--(λαα1+{

α3)eλτ

2α4-

λ

τ.将λ=±iω带入(7)式,可以得到sign{Re

(dλ

)-1

}

=sign

2ω2+α12+α32

α22α42

即可得　sign{Re

(dλ

)-1

}

dτ>0.

}

,

于是有下面的结论d:

τ定理2　当满足条件(m,a)∈Ⅰ且0ττ0)时,系统(2)的正平衡解(u∗,v∗)是局部渐近稳定的.0时,系统(2)的正平衡解(u∗,v∗)是不稳定的.

(3)

(4)

(5)(6)

(7)

　第3期王乔钰,等:一类具有时滞和饱和定律的双分子模型的动力学分析·21·

3　数值模拟

3)当τ=τk(k∈N0)时,系统(2)在正平衡解(u∗,v∗)处出现Hopf分支.

例1　①在系统(1)中取a=1,m=0.5,当满足条件(m,a)∈Ⅰ时,根据定理1可以知道,系统(1)的正平衡点(2,0.5)是局部渐近稳定的(参考图1).

②在系统(1)中取a=

1

,m=4,当满足条件(m,a)∈Ⅱ时,根据定理1可以知道,系统(1)的正平衡点16(

1

,12是不稳定的(参考图2).12)

图1　当a=1,m=0.5时,系统(1)的

正平衡点是局部渐近稳定的

图2　当a=

1

,m=4时,系统(1)的16

正平衡点是不稳定的

据定理2可以知道,系统(1)的正平衡点(2,0.5)是局部渐近稳定的(参考图3).

例2　①在系统(2)中取a=1,m=0.5,τ=1.75,(u0,v0)=(2.1,0.6),当满足条件(m,a)∈Ⅰ时,根②在系统(2)中取a=1,m=0.5,τ=2,(u0,v0)=(2.1,0.6)和(u0,v0)=(2.35,0.55),当满足条件(m,a)∈Ⅰ

时,根据定理2可以知道,系统(2)在正平衡解附近出现周期解,且可得出相应相图(参考图4~6).

图3　当a=1,m=0.5,τ=1.75,(u0,v0)=(2.1,0.6)时系统(2)的数值模拟

图4　当a=1,m=0.5,τ=2,

(u0,v0)=(2.55,1)时系统(2)的数值模拟

图5　当a=1,m=0.5,τ=2,

(u0,v0)=(2.35,0.55)时系统(2)的数值模拟

·22·

南阳师范学院学报　第19卷　

4　结论

本文研究了时滞影响下的饱和定律的双分子模型的稳定性和Hopf分支的存在性.首先,对所研究模型的ODE系统所得出的结论进行数值模拟,以此来验证其结果的正确性;其次,考虑时滞对模型正平衡解的稳定性的影响以及Hopf分支存在的条件;最后,对时滞影响下的模型所得出的结果进行数值模拟.

图6　当a=1,m=0.5,τ=2时,系统(2)的相图

参　考　文　献

[1]　YANXiangping,ZHANGCunhua.Turinginstabilityandformationoftemporalpatternsinadiffusivebimolecularmodelwith

[2]　YIFengqi,WEIJunjie,SHIJunping.Bifurcationandspatiotemporalpatternsinahomogeneousdiffusivepredator-preysys-saturationlaw[J].NonlinearAnalysis:RWA,2018,43:54-77.

[3]　CHENShanshan,SHIJunping.GlobalstabilityinadiffusiveHolling-Tannerpredator-preymodel[J].AppliedMathematics

tem[J].JDifferentialEquations,2009,246(5):1944-1977.

[4]　PALPJ,MANDALPK.BifurcationanalysisofamodifiedLeslie-Gowerpredator-preymodelwithBeddington-DeAngelis

Letters,2012,25(3):614-618.

[5]　周军.一类具有自动催化作用和饱和定律的双分子模型的图灵不稳定性和霍普夫分歧[J].数学物理学报,2017,37

functionalresponseandstrongalleeeffect[J].MathComputSimulation,2014,97:123-146.

[6]　JIANGJiao,SONGYongli.Delay-inducedbogdanov-takensbifurcationinaLeslie-Gowerpredator-preymodelwithnonmono-(2):366-373.

[7]　JIANGZhichao,WANGLin.GlobalHopfbifurcationforapredator-preysystemwiththreedelays[J].InternationalJournal

tonicfunctionalresponse[J].CommunNonlinearSciNumerSimulat2014,19:2454-2465.

[8]　LIYanfeng,LIUHaicheng,YANGRuizhi,etal.Dynamicsinadiffusivephytoplankton-zooplanktonsystemwithtimedelay

ofBifurcationandChaos,2017,27(7):1750108.

[9]　XIAOZaowang,LIZhong,ZHUZhenliang,etal.Hopfbifurcationandstabilityinabeddington-deangelispredator-prey

andharvesting[J].AdvancesinDifferenceEquations,2019,79:2-23.

[10]朱焕,高德宝.捕食者和食饵都具有阶段结构的时滞捕食系统的稳定性和Hopf分支[J].工程数学学报,2019(6):

141-159.

modelwithstagestructureforpredatorandtimedelayincorporatingpreyrefuge[J].OpenMathematics,2019,17:

693-707.

Dynamicanalysisofbimolecularmodelwithtimedelayandsaturationlaw

(DepartmentofMathematics,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,China)

WANGQiaoyu,XUHuijie,YIXiu,YANGXiaoyan

Abstract:Consideringthetwo-moleculemodelwithtimedelayandsaturationlaw,theinfluenceoftimedelayon

thestabilityofthepositiveequilibriumandtheexistenceofHopfbranchofthemodelarestudiedbyanalyzingtheeigenvaluesofthecorrespondinglinearizedequationofthemodel.Finally,thecorrectnessofthetheoreticalre-sultsisverifiedbynumericalsimulation.

Keywords:bimolecularmodel;timedelay;stability;Hopfbifurcation