高考求函数值域及其最值得方法及其例题训练题

点拨：根据算术平方根的性质，先求出(23x)的值域.

解：由算术平方根的性质，知(23x)≥0， 故3+(23x)≥3。 ∴函数的值域为[3,) . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算

术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,

故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4:求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域.

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

.*

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时, 由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，

解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。

常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

五．最值法:对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1， 将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2], 函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值， 也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（ ）

A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）（答案：D）。 六．图象法:通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域. 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域.

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为－2x+1(x≤1)

y=3(-12)

它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七．单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域. 例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域.

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区

.*

间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，

求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．换元法:以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=√2x+1 （t≥0）,则x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数

的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法:根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合. 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域.

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD， 再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十．比例法:对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数， 进而求出原函数的值域.

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,

.*

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。 函数的值域为｛z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2） 十二．不等式法.

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域.

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。 ∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。 以下供练习选用：求下列函数的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝） 2.Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0） 训练例题

例1．求下列函数的值域 （1）y

例2．已知x,y0,2xy6，求Z4x23xyy26x3y的最值。

23x1y(x1)（3）y2x41x（4） yx49x2 （2）22xx2.*

例3．求下列函数的值域

x2x2sinxy（1）y1x（2）（3） yx2x142x252cosx

x23x1(x1)的最值？y2例4.如何求函数y(x1)呢？ x1x3

例5．求下列函数的值域

x211sinx(x2)（2）y2x41x（3）y|x1||x4|（4）y（1）f(x) x2cosx

课后练习题 选择题

log2x(x0)11. 已知函数f(x)=x，则f［f（）］的值是( )

43(x0)A.9

1 B. C. -9

91 D. -

9x12. 若集合Sy|y1,xR,Ty|ylog2(x1),x1，则ST等于( )

2A．{0} B．{y|y0} C．S D．T 3. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是( ) A.y512x1 B.y()1x C.y12x D. y211 2x.*

4. 定义在R上的函数yf(x)的值域为［a，b］,则f(x1)的值域为( ) A.［a,b］ B.［a+1,b+1］ C.［a－1,b－1］ D.无法确定

2的定义域是(-，1)[2,5]，则其值域是( ) x111 A.(-,0)[,2] B.(-,2) C.(-,)[2,+] D.(0,+)

225. 函数y =

6. 函数ylg[x2(k3)x4]的值域为R，则实数k的取值范围是( ) A．7k1 B．k7或k1 C．1k7 D．k7或k1

11,则f(x)的最小值是( ) 7. 已知函数f(x)满足2f(x)f()x|x|A．2 B．22 C．8. 函数y|x3||x1|( )

222 D．

33A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为-4，最大值为0 C.最小值为-4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值

9. 已知f(2x1)的最大值为2，f(4x1)的最大值为a，则a的取值范围是( ) A．a2 B．a2 C．a2 D．以上三种均有可能

11110.已知a0,b0,a、b的等差中项是,且a,b,则的最小值是( )

2ab A．3 B．4

C．5

D．6

1x2111. 已知g(x)12x,f[g(x)]2(x0),则f()=( )

x2A．15 B．1 C．3 D．30 12. 设函数A.a

，则

的值为( )

B. b C.a、b中较小的数 D.a、b中较大的数

13．函数f(x)xn的最小值为( )

n119A．190 B．171 C．90 D．45 二、填空题：

1112714. 定义在R上的函数f(x)满足关系式:f(x)f(x)2,则f()f() f()的值等于

82288________

.*

15. 已知函数f(x)对一切实数a，b,均满足f(ab)f(a)f(b)，且f(1)2．则

f(2)f(3)f(4)f(2007)L f(1)f(2)f(3)f(2006)16. 设f(x)axb（a>0）的值域为[-1，4]，则a,b的值为_________ 2x1x02x3函数yx30x1 的最大值是

x5x118．已知a,b为常数，若f(x)x24x3,f(axb)x210x24,则5ab 三、解答题：

19. 求下列函数的值域（1）y

2x2bxc(b0)的值域为［1，3］20． 已知函数f(x)，求实数b、c的值。

x214； （2）yx12x； （3）y2x4x52x1 x

121．设函数f(x)x2x，（1）若定义域为[0，3]，求f(x)的值域；

411（2）若定义域为[a,a1]时，f(x)的值域为[,]，求a的值.

216

22. 已知函数：f(x)x1a(aR且xa) ax （1）证明：f(x)2f(2ax)0对定义域内的所有x都成立.

.*

1 （2）当f(x)的定义域为[a,a1] 时，求证：f(x)的值域为[3,2]；

2 *（3）设函数g(x)x2|(xa)f(x)|, 求g(x)的最小值 .

函数的值域与最值参考答案

（三）例题讲评例1．(0,1];[4,3);(,4];[1,432]例2．Qy62x0,及x0,0x3

32727Z2x26x182(x)2(0x3)，最大值18；最小值

222331,]； 例3．[1,1)；[,1)；[333x23(x1)22(x1)444(x1)22，例4．y当且仅当x1 (x1)时取等号；x1x1x1x1即x1时，y的最小值是2。没有最大值。另外yx11方法同上，即x1时，y的最大值x23x23x1是

1111。没有最小值。说明：本题不能用判别式法。因为xR。若用判别式法得y，当y时，

6262求得x3，不合。

54例5．[,);(,2]；[5,);[0,]

23（四）练习题

选择题: 答案:B C B A A B D C C C A C C

9.提示：令g(x)f(2x1)g(2x)f(4x1)，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。 10. 提示：由ab11ab2abab114， 4ab(ab)11a1b1145 abf(ab)f(a)用赋f(b)二、填空题:14.7； 15.4012； 16. a=4, b=3； 17. 4； 18.2。15.提示：值法或令f(x)2x

.*

三、解答题

19． [解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.（1）函数的定义域为

x1,且x5，

令ux24x5(x2)29,u9且u0，即u0或9u04440或， uu9ab411∴函数的值域为(,](0,)；（注）这里运用了不等式性质：；

9abab0[解法二]原函数等价于y(x24x5)4,即yx24yx(5y4)0，当y0时，得－4=0，矛盾，

y0，

4xR(x1,且x5)，16y24y(5y4)0y(9y4)0，解得函数的值域为(,](0,).

91t21(t0)， （2）函数的定义域为(,].作换元，令12xtx22t2111yt(t1)21,f(t)在[0,)上为增函数，yf(0)，∴函数的值域为

2221[,)； 2[解法二]令f1(x)x,f2(x)12x，∴原函数yf1(x)f2(x)，∵f1(x)与f2(x)在定义域内都是减函数，

111∴原函数yf(x)在定义域(,]是减函数，yf()，而当x时，y，

2221∴函数的值域为[,).

2（3）函数的定义域为x1，y22x112112(1)1(02)， 22xxxxx由二次函数性质知函数的值域为[0，1]；

t212t2t(t0)，yf(t)21,0y1，即函数的值域为[0，1] [解法二]令t2x1,x2t12t2x2bxc22

20．由y= 得 (2－y)x+bx+c－y=0,(*) 当y－2≠0,由x∈R,有Δ=b－4(2－y)·(c2x1－y)≥0

8cb2即4y－4(2+c)y+8c－b≤0，由已知得2+c=1+3且=1×3

42

2

.*

∴b=±2,c=2又b<0,∴b=－2,c=2, 而y－2=0,b=－2,c=2代入（*）式得x=0 ∴b=－2,c=2为所求

11121．解：f(x)(x)2，∴对称轴为x，

2221471 （1）3x0，∴f(x)的值域为[f(0),f(3)]，即[,]；

442（2）[f(x)]mina1123a1， ,对称轴x[a,a1]，22122a1211∵区间[a,a1]的中点为x0a，

2111111①当a,即1a时，[f(x)]maxf(a1),(a1)2(a1)，

2221641639； 16a248a270a(a不合）

441131②当a,即a1时，[f(x)]maxf(a)，

22216115135；综上，a或a. a2a,16a216a50a(a不合）

4164444x1a2ax1a22.（1）证明：f(x)2f(2ax) 2axa2axx1aax1x1a2a2xax120∴结论成立

axxaax(ax)11（2）证明：f(x) 1axax1111当axa1时a1xa1ax,21

222ax1312 即f(x)值域为[3,2]

ax13（3）解：g(x)x2|x1a|(xa) ①当xa1且xa时,g(x)x2x1a(x)2a

2411如果a1 即a时，则函数在[a1,a)和(a,)上单调递增g(x)ming(a1)(a1)2 ，

2211如果a11即当a1时,g(x)ming(1)3a而当a时，g(x)在xa处无定义，

222224故g(x)最小值不存在

151315②当xa1时g(x)x2x1a(x)2a 如果a1即a时g(x)ming()a

242224如果a11即a3时g(x)在(,a1)上为减函数g(x)ming(a1)(a1)2

22当a3时(a1)2(a5)(a3)20242131当a时(a1)2(a)(a)20

2421313时 g（x）最小值是a当a时 g（x）最小值是(a1)2 2422351当a时 g（x）最小值为a 当a时 g（x）最小值不存

242综合得：当a