2020-2021学年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) 1．（5分）已知复数A．（1，1）

（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（ ） B．（1，﹣1）

C．（﹣1，1）

D．（﹣1，﹣1）

2．（5分）如图、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB＝PD＝3，AD＝2，则该四棱锥的体积为（ ）

A．18

B．12

C．9

D．6

3．（5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

4．（5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 5．（5分）在△ABC中，A．

B．

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ，则∠A＝（ ）

C．

D．

6．（5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：

第1页（共20页）

品种 甲 乙

第1年 900 0

第2年 920 960

第3年 900 950

第4年 850 850

第5年 910 860

第6年 920 0

根据以上数据，下面说法正确的是（ ）

A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 7．（5分）向量，，，则

＝（ ）

在正方形网格中的位置如图所示，若

＝λ

+μ

（λ，μ∈R），

A．3

B．

C．﹣3

D．

8．（5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：

成绩（分） 人数

1

4

6

5

4

6

7

8

9

95

90

85

80

75

70

65

60

60以下

如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（ ） A．65

B．70

C．75

D．80

9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E是核AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足A1M⊥C1E，则线段AM的长的最小值为（ ） A．

B．

C．1

D．

10．（5分）已知不共线的平面向量，，两两的夹角相等，且||＝1，||＝2，||＝3，实数λ1，λ2，λ3∈[﹣1，1]，则|λ1+λ2+λ3|的最大值为（ ） A．

B．2 C．

第2页（共20页）

D．5

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．（5分）已知平面向量＝（2，k），＝（3，2），且⊥，则实数k＝ ． 12．（5分）若复数z＝a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为 ． 13．（5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ．

14．（5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ，方差 .（填“变大”，“变小”，“不变”） 15．（5分）已知等边△ABC的边长为2，D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则的最大值为 ，最小值为 ．

16．（5分）已知△ABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论： ①存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和； ②存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍． 其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程) 17．（14分）在△ABC中，（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若B＝2A，

，求a的值．

．

18．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面AEF； （Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；

（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．

第3页（共20页）

19．（14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人． 心理测评评价标准

调查评分 [0，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 心理等级

E

D

C

B

A

（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；

（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；

（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数＝调查评分÷100）

第4页（共20页）

20．（14分）如图，在锐角△ABC中，

，D，E分别是边AB，AC上的点．且

DE＝2．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，

（Ⅰ）sinC的值； （Ⅱ）∠BDE的大小； （Ⅲ）四边形BCED的面积． 条件①：条件②：条件③：EC＝3．

21．（14分）将平面直角坐标系中的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…记为|An|，设f（n）＝

•j，其中j为与y轴方向相同的单位向量．若对任意的正整

； ；

数n，都有f（n+1）＞f（n），则称{An}为T点列． （Ⅰ）判断

点列，并说明理由；

（Ⅱ）若{An}为T点列，且a1＞a2.任取其中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，证明△AkAk+1Ak+2为钝角三角形；

（Ⅲ）若{An}为T点列，对于正整数k，l，m（k＜l＜m），比较的大小，并说明理由．

•j与

•j

是否为T

第5页（共20页）

2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) 1．（5分）已知复数A．（1，1） 【解答】解：∵

（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（ ） B．（1，﹣1） ＝

C．（﹣1，1） ，

D．（﹣1，﹣1）

∴z在复平面内对应的点的坐标是（1，﹣1）． 故选：B．

2．（5分）如图、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB＝PD＝3，AD＝2，则该四棱锥的体积为（ ）

A．18

B．12

C．9

D．6

【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝AB•AD＝3×2＝6，

因为PD⊥底面ABCD，所以四棱锥的高为PD＝3，

所以该四棱锥的体积为V四棱锥P﹣ABCD＝S矩形ABCD•PD＝×6×3＝6． 故选：D．

3．（5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：从袋中不放回地依次随机摸出2个球，

第6页（共20页）

则两个球颜色相同的概率P＝故选：B．

，

4．（5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：n⊂α，若n⊥β，由平面与平面垂直的判定可得α⊥β，

反之，若n⊂α，α⊥β，可得n与β有三种位置关系，即n⊂β或n∥β或n与β相交，相交也不一定垂直，

∴“n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件， 故选：A．

5．（5分）在△ABC中，A．

B．

，

，

，则∠A＝（ ）

C．

D．

【解答】解：∵∴由正弦定理，可得∵B∈（0，π）， ∴sinB≠0，又∵A∈（0，π）， ∴

．

，

故选：C．

6．（5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：

品种 甲

第1年 900

第2年 920

第3年 900

第4年 850

第5年 910

第6年 920

第7页（共20页）

乙 0 960 950 850 860 0

根据以上数据，下面说法正确的是（ ）

A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 【解答】解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：乙种水稻产量的平均数为：

即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，

选项B：甲种的水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为

，

，

，

乙种的水稻产量分别为：850，860，0，0，950，960，中位数为0＜905，故B错误，

选项C：甲种的水稻产量的极差为920﹣850＝70，乙种的水稻产量的极差为960﹣850＝110＞70，故C错误， 选

项

D

：

甲

种

的

水

稻

产

量

的＝

乙种的水稻产量的方差为：

2

方差，

为：

+（850﹣900）

＞

，

+（860﹣900）2+（0﹣900）2]＝

因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻产量稳定，故D正确， 故选：D．

7．（5分）向量，，，则

＝（ ）

在正方形网格中的位置如图所示，若

＝λ

+μ

（λ，μ∈R），

第8页（共20页）

A．3 B．

，

C．﹣3

， ，

D．

【解答】解：由图可知：∴

＝（﹣

）﹣（﹣2

＝﹣．

）＝

则λ＝1，μ＝﹣3，所以故选：D．

8．（5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：

成绩（分） 人数

1

4

6

5

4

6

7

8

9

95

90

85

80

75

70

65

60

60以下

如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（ ） A．65

B．70

C．75

D．80

【解答】解：因为50×40%＝20，且75～95分共有20人，所以进入复试的分数线可以定为75． 故选：C．

9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E是核AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足A1M⊥C1E，则线段AM的长的最小值为（ ） A．

B．

C．1

D．

【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1（0，0，1），C1（1，1，1），E（，0，0），M（x，y，0）， 所以

＝（x，y，﹣1），

＝（﹣，﹣1，﹣1），

因为A1M⊥C1E，

所以﹣x﹣y+1＝0，即点M的轨迹方程为x+2y﹣2＝0，

所以线段AM的最小值为＝，

故选：B．

第9页（共20页）

10．（5分）已知不共线的平面向量，，两两的夹角相等，且||＝1，||＝2，||＝3，实数λ1，λ2，λ3∈[﹣1，1]，则|λ1+λ2+λ3|的最大值为（ ） A．

B．2

C．

D．5

【解答】解：∵不共线的平面向量，，两两的夹角相等， ∴平面向量，，两两的夹角都为120°， ∵||＝1，||＝2，||＝3， ∴

，

，＝

，

∵λ1，λ2，λ3∈[﹣1，1]， ∴当λ1＝1，λ2＝1，λ3＝﹣1 时，∴|λ1+λ2+λ3|的最大值为故选：C．

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．（5分）已知平面向量＝（2，k），＝（3，2），且⊥，则实数k＝ ﹣3 ． 【解答】解：∵∴

， ，解得k＝﹣3．

．

取得最大值为21，

，

＝

故答案为：﹣3．

12．（5分）若复数z＝a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为 ﹣2 ． 【解答】解：∵复数z＝a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，

第10页（共20页）

∴，解得a＝﹣2．

故答案为：﹣2．

13．（5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为

．

【解答】解：设既选考物理又选考地理的学生有x人， 则只选物理的人数为21﹣x人，只选地理的人数为14﹣x人， 所以选考物理或地理的学生人数为21﹣x+14﹣x+x＝28，解得x＝7， 故所求事件的概率为故答案为：．

14．（5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 不变 ，方差 变小 .（填“变大”，“变小”，“不变”） 【解答】解：设原来的一组数据有n个，分别为x1，x2，，xn， •则有x1+x2+•+xn＝10n， 方差

[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+•+（xn﹣10）2]，

，

所以（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+•+（xn﹣10）2＝ns2， 加入一个新数10后， 平均数为

（x1+x2+•+xn+10）＝

，

故平均数不变； 新的方差s2’＝＝

•ns2＝

[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+•+（xn﹣10）2+（10﹣10）2]

，

故方差变小．

故答案为：不变；变小．

15．（5分）已知等边△ABC的边长为2，D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则的最大值为 3 ，最小值为 ﹣

．

【解答】解：以AC所在的直线为x轴，AC的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标

第11页（共20页）

系，

∵等边△ABC的边长为2，D为边BC的中点， ∴A（﹣1，0），B（0，

），C（1，0），

，

设点M的坐标为M（x，0），﹣1≤x≤1， ∴∴

＝

，﹣1≤x≤1，

，

单调递减，在区间

单调递增，

，

， ，

设f（x）＝

∵函数f（x）的对称轴为∴f（x）在区间

当x＝﹣1时，f（x）max＝f（﹣1）＝3， 当x＝时，故答案为：3，

．

．

16．（5分）已知△ABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论： ①存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和； ②存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍． 其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．

【解答】解：根据题意，设△ABC的三边长依次为n﹣1，n，n+1，设最大角为A，最小角得B，

对于①，当n＝4时，△ABC的三边长依次为3，4，5，此时△ABC为直角三角形，三个内角中的最大角等于另外两个角的和，①正确；

第12页（共20页）

对于②，当n＝3时，△ABC的三边长依次为2，3，4，cosA＝角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和，②正确； 对于③，当n＝5时，，△ABC的三边长依次为4，5，6，cosA＝＝

＝，

＜0，为钝角三

＝，cosB

有cosA＝2cos2B﹣1＝cos2B，则有A＝2B，③正确； 对于④，假设存在符合题意的三角形，则A＝3B，则有

＝

，

，变形可得sin2B

又由A＝3B，则sinA＝sin3B＝3sinB﹣4sin3B，变形可得3﹣4sin2B＝＝﹣

，该式不会成立，

故不存在使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍的三角形，④错误； 故答案为：①②③．

三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程) 17．（14分）在△ABC中，（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若B＝2A，

，求a的值．

，

， ．

【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，又∵由余弦定理，可得

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴∵B＝2A， ∴又∵

．

， ．

，

第13页（共20页）

∴．

18．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面AEF； （Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；

（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，

所以BE∥DF，BE＝DF，

所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD∥EF， 又因为BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以BD∥平面AEF．

（Ⅱ）因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD， 所以AA1⊥BD，

因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 又由（Ⅰ）知BD∥EF， 所以EF⊥AA1，EF⊥AC， 又因为AC∩AA1＝A， 所以EF⊥平面ACC1A1．

（Ⅲ）点C1在平面AEF内，理由如下： 取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，

因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点， 所以DF∥CG，DF＝CG，

第14页（共20页）

所以四边形DCGF为平行四边形．所以FG∥DC，FG＝DC， 又因为AB∥DC，AB＝DC， 所以AB∥FG，AB＝FG，

所以四边形ABGF为平行四边形．所以AF∥BG，

因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点， 所以BE∥GC1，BE＝GC1，

所以四边形BGC1E为平行四边形．所以BG∥EC1， 所以EC1∥AF， 故点C1在平面AEF内．

19．（14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人． 心理测评评价标准

调查评分 [0，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 心理等级

E

D

C

B

A

（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；

（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；

（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数

第15页（共20页）

据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数＝调查评分÷100）

【解答】解：（Ⅰ）由已知条件可得和为1．

所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）×10＝1，解得t＝0.002； （Ⅱ）由（Ⅰ）知：t＝0.002，

所以调查评分在[40，50）中的人数是调查评分在[50，60）中人数的，

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50）中有1人，在[50，60）中有2人， 设事件M＝“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”． 因为经心理疏导后的等级转化情况相互， 所以所以

， ，

，又因为每组的小矩形的面积之

故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为； （Ⅲ）由频率分布直方图可得，

45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25＝80.7． 估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7， 所以市民心理健康指数平均值为

．

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．

第16页（共20页）

20．（14分）如图，在锐角△ABC中，，D，E分别是边AB，AC上的点．且

DE＝2．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，

（Ⅰ）sinC的值； （Ⅱ）∠BDE的大小； （Ⅲ）四边形BCED的面积． 条件①：条件②：条件③：EC＝3．

【解答】解：选条件①③时， （Ⅰ）因为

又因为在△ABC中，

，

，

； ；

所以．

，

（II）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知所以

．

在△ABC中，因为AB2＝BC2+AC2﹣2BC⋅AC⋅cosC， 所以

解得AC＝5．

又因为EC＝3，所以AE＝2． 又因为DE＝2， 所以（Ⅲ）因为所以又因为

，

．故

．

，由（Ⅱ）知AC＝5，

．

，即AC2﹣AC﹣20＝0，

第17页（共20页）

所以

所以四边形BCED的面积为选条件②③时， （Ⅰ）因为所以

，

．

．

．

．

所以sinC＝sin（B+A）＝sinBcosA+cosBsinA

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理：，得，

又因为EC＝3，所以AE＝2， 又因为DE＝2，所以

故

．

，

（Ⅲ）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知所以

由余弦定理得：解得：所以又因为所以

所以四边形BCED的面积为

，

．

．

．

．

．

，

21．（14分）将平面直角坐标系中的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…记为|An|，设f（n）＝

•j，其中j为与y轴方向相同的单位向量．若对任意的正整

数n，都有f（n+1）＞f（n），则称{An}为T点列． （Ⅰ）判断

点列，并说明理由；

（Ⅱ）若{An}为T点列，且a1＞a2.任取其中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，证明△AkAk+1Ak+2

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是否为T

为钝角三角形；

（Ⅲ）若{An}为T点列，对于正整数k，l，m（k＜l＜m），比较的大小，并说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）{An}为T点列．理由如下： 由题意可知，所以

，

，

即f（n+1）＞f（n），n＝1，2，…， 所以

（Ⅱ）由题意可知，所以

因为{An}为T点列，

所以f（n+1）﹣f（n）＝an+2﹣an+1﹣（an+1﹣an）＞0，n＝1，2，⋅⋅⋅， 又因为a2＞a1，所以a2﹣a1＞0，

所以对|An|中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，都有ak+2﹣ak+1＞ak+1﹣ak＞0，ak+2＞ak+1＞ak， 又

，

，

为T点列；

，

•j与

•j

， 所以

所以∠AkAk+1Ak+2为△AkAk+1Ak+2的最大内角， 由余弦定理可得，

，

＝

＝，

故∠AkAk+1Ak+2为钝角，所以△AkAk+1Ak+2为钝角三角形；

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（Ⅲ）由正整数k，l，m满足k＜l＜m，则m≥3，

因为{An}为T点列，由（Ⅱ）知an+2﹣an+1＞an+1﹣an，n＝1，2，⋅⋅⋅， 所以am+k﹣am+k﹣1＞am+k﹣1﹣am+k﹣2， am+k﹣1﹣am+k﹣2＞am+k﹣2﹣am+k﹣3， •

am+1﹣am＞am﹣am﹣1，

两边分别相加可得am+k﹣am＞am+k﹣1﹣am﹣1， 所以am+k﹣1﹣am﹣1＞am+k﹣2﹣am﹣2＞al﹣al﹣k， 则am+k﹣am＞al﹣al﹣k， 所以am+k﹣al＞am﹣al﹣k， 又所以，

所以．

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，