2011年中考数学垂径定理

知识考点：

1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。

2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。

精典例题：

【例1】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求： （1）CD的长；

（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。

分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。

解：（1）过点O作OF⊥CD于F，连结DO ∵AE＝2cm，BE＝6cm，∴AB＝8cm ∴⊙O的半径为4 cm

∵∠CEA＝300，∴OF＝1 cm ∴DFOD2DFACGEOHBOF215cm

由垂径定理得：CD＝2DF＝215cm

例1图 （2）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，易求EF＝3cm ∴DE＝(15CGDHCEDE3)cm，CE＝(153)cm

∴151533325

CD，它们的交点E到圆心O的

C【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和距离等于1，则ABCD＝（ ）

A、28 B、26 C、18 D、35

分析：如图，连结OA、OC，过O分别作AB、CD的垂线，MB，CN＝ND。

∵OM⊥MN，ME⊥EN，CN＝ND ∴OM222OANEB垂足分别为M、N，则AM＝

MD例2图 ON22OE

22C2从而OAAM即2(22OC2CN)22OE

O2AB2)2(22CD2NEB1

2AMD∴ABCD故选A。

28

例2图 【例3】如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝（1）BC的长；

13。求：

（2）AB边上高的长。

分析：（1）已知AB＝AC，可得ABAC，则A为BC的中点。已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。

解：（1）连结AO交BC于D，连结BO

AC 由AB＝AC得ABAC，又O为圆心 由垂径定理可得AO垂直平分BC ∵tanB＝

13BDO，设AD＝xcm，则BD＝3xcm

例3图 ∴OD＝(5x)cm

在Rt△BOD中，52(3x)2(5x)2，解得x11，x20（舍去） ∴BD＝3 cm，BC＝6 cm。

（2）设AB边上的高为h，由（1）得：AD＝1 cm，AB＝10cm

∵SABC12BCAD12ABh

∴hBCADAB3105

探索与创新：

【问题一】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。 （1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；

（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；

（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。



分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l与AB的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线l与AB平行；②直线l与AB相交；③直线l与AB或BA的延长线相交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。

解（1）如下图所示。

BBOAECHDF① ② ③ OAOBlECAHFDlECHDFl问题一图1 问题一图2

问题一图3

（2）EC＝FD或ED＝FC

（3）以①图为例来证明。过O作OH⊥l于H ∵AE⊥l，BF⊥l，∴AE∥OH∥BF

又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂径定理可得CH＝DH

∴EH－CH＝FH－DH，即EC＝FD

【问题二】如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A任作一直线与⊙O1交于M，与⊙O2交于N，问什么时候MN最长？为什么？

解析：任作两条过A的线段EF、MN，比较MN与EF垂径定理，分别过O1、O2作弦心距，易知CD＝

12ECMPA的大小，不好比较，根据

QDNEF，PQ＝

F12MN，比较PQ与CD

的大小即可（PQ＝O1O2）。发现O1O2是直角梯形的斜腰，一半正好是O1O2，则MN最长。

答案：当MN∥O1O2时，MN最长。

O1BO2大于直角腰，如果MN的

跟踪训练：

一、选择题：

1、下列命题中正确的是（ ）

A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；

C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧； D、弦的垂线平分弦所对的弧。

2、如图，⊙O中，直径CD＝15cm，弦AB⊥CD于点M，OM∶MD（ ）

问题二图 CO＝3∶2，则AB的长是

BMA3、已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm， D 则 AB和CD的距离是（ ） 选择第 A、2cm B、14cm

C、2cm或14cm D、2cm或12cm

4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ） A、1 B、

322题图 C、2 D、

52

二、填空题：

1、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有 条。 2、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为 。 3、等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120，BC＝10 cm，则△ABC的外接圆半径为 。 4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为 。

5、如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，若AC＝4，AB＝5，则BE＝ 。

DAEO0

CBCADDEAOBO1O2BPC第2题图

第5题图

第6题图

6、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，C、A、D三点在一条直线上，CD的延长线交O1 O2的延长线于P，∠P＝300，O1O223，则CD＝ 。

三、计算或证明题：

1、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

CECOAAEOGFBDDBECADB

第1题图

第2题图

第3题图

2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。

3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。

4、如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC于E，CF⊥AB于F，交AD于G，BE＝3，CE＝2，且tan∠OBC＝1，求四边ABDC的面积。

AFOEDGCB第4题图

跟踪训练参考答案

一、选择题：BCCD 二、填空题： 1、4条；2、

652；3、

1033cm；4、42cm；5、

2133；6、6

三、计算或证明题： 1、AB＝5，AD＝

185；

2、解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M，则CM＝MD ∵CD＝16，AB＝8，在Rt△OMC中，因OC＝10 ∴OM＝OCAEOMAGOG2CMBFOMOG2108226

∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF ∴ ∴

，BGOG

2OGOG2

AEBFOMAGBG ∴AE－BF＝2OM＝12

0

3、提示：连结OE，由BEEC得OE垂直平分BC于F，AB为直径，则∠ACB＝90，BC＝

22AB2AC227。

∴CF＝7，EC＝(7)122

4、解：过点O作OM⊥BC于M，ON⊥AD于N，连结AO ∵BE＝3，CE＝2，∴BC＝5，BM＝

52

又∵tan∠OBC＝1，∴∠OBM＝45 在Rt△OBM中，OB＝

522，∴ON＝ME＝

20

12

在Rt△AON中，AN＝OAAN272

∵ON⊥AD，∴AN＝ND，∴AD＝7 ∴SABDC

12BCAE12BCDE12BCAD352