充分条件与必要条件练习题及答案

例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的

[ ]

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换．

解 ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．

因此选A．

说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是

[ ]

A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b

C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价．

解 对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件； 对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；

对D．pq且qp，即pq，p是q的充要条件．选D．

说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．

例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的

[ ]

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 通过B、C作为桥梁联系A、D． 解 ∵A是B的充分条件，∴AB① ∵D是C成立的必要条件，∴CD②

∵C是B成立的充要条件，∴CB③

由①③得AC④ 由②④得AD．

∴D是A成立的必要条件．选B． 说明：要注意利用推出符号的传递性．

例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的

[ ]

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定．

解 解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．

∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A．

说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．

当且仅当AB时，甲为乙的充分条件；当且仅当AB时，甲为乙的必要条件；

当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件． 例5 设A、B、C三个集合，为使A

(B∪C)，条件AB是

[ A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．

∴A

(B∪C)．

但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时， 显然A

(B∪C)，但A

B不成立， 综上所述：“AB”“A

(B∪C)”，而

“A(B∪C)”

“A

B”．

即“A

B”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．选A．

说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．

例6 给出下列各组条件： (1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；

(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；

(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根； (4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1． 其中p是q的充要条件的有

[ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

分析 使用方程理论和不等式性质． 解 (1)p是q的必要条件

]

]

(2)p是q充要条件 (3)p是q的充分条件

(4)p是q的必要条件．选A．

说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．

x1＞3x1x2＞6例7是x2＞3x1x2＞9的条件．

分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．

解 x1＞3且x2＞3x1＋x2＞6且x1x2＞9，但当取x1＝10，x2＝2时，x1x2＞6x1＞3成立，而不成立(x2＝2与x2＞3矛盾)，所以填“充分不 xx＞9x＞3122必要”．x1＞3x1－3＞0 说明： x＞3x－3＞022(x1－3)＋(x2－3)＞0(x－3)(x－3)＞021

x1＋x2＞6这一等价变形方法有时会用得上．xx－3(x＋x)＋9＞01212例8 已知真命题“a≥be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”

的________条件．

分析 ∵a≥bc＞d(原命题)， ∴c≤da＜b(逆否命题)． 而a＜be≤f，

∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件． 答 填写“充分”．

说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．

例9 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是

[ ]

A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0

分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝

c＞d”和“a＜b

1－．故排除A、B、D选C． 21解 常规方法：当a＝0时，x＝－．

2当a≠0时

244a1．a＞0，则ax＋2x＋1＝0至少有一个负实根＜02a

221－a＜20＜a≤1．2．a＜0，则ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根2＞21－a＞21－a＞1a＜0．综上所述a≤1．

即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．

说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．

例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？

分析 画出关系图1－21，观察求解．

244a＜02a

解 s是q的充要条件；(srq，qs)

r是q的充要条件；(rq，qsr) p是q的必要条件；(qsrp)

说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系． 例11 关于x的不等式

(a1)2(a1)2|x－|≤与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0的解集依次为A 22与B，问“AB”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件吗？分析 化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a． 解 A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}

1当2≤3a＋1即a≥时，

3B＝{x|2≤x≤3a＋1}．

2a≥2AB21≤a≤3a+1≤3a+1

1当2＞3a＋1即a＜时，3B＝{x|3a＋1≤x≤2}

2a≥3a+1AB2a＝－1．a+1≤2综上所述：ABa＝－1或1≤a≤3．∴“AB”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件．

说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要

理清思路，表达准确，推理无误．

例12 x＞y，xy＞0是11＜的必要条件还是充分条件，还是充 xy要条件？

分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．

1111yx解 1．当＜时，可得－＜0即＜0

xyxyxyy－x＞0y－x＜0则或xy＜0xy＞0，

x＜yx＞y 即或xy＜0xy＞0，x＜y11故＜不能推得x＞y且xy＞0(有可能得到)，即x＞y且xyxyxy＜011＞0并非＜的必要条件．xyx＞yx＞y2．当x＞y且xy＞0则分成两种情况讨论：x＞0或x＜0y＞0y＜011 不论哪一种情况均可化为＜．xy11∴x＞y且xy＞0是＜的充分条件．xy说明：分类讨论要做到不重不漏．

例13 设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两

根α，β均大于1的什么条件？

分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需

要搞清楚条件p与结论q分别指什么．然后再验证是pq还是qp还是pq．

a＞2解 据韦达定理得：a＝α＋β，b＝αβ，判定的条件是p：b＞1α＞1结论是q：(还要注意条件p中，a，b需要满足大前提Δ＝a2－4b

β＞1≥0)α＞1(1)由得a＝α＋β＞2，b＝αβ＞1，

β＞1∴q

p．

上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．

说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．

例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么

[ ]

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件． 分析2：画图观察之． 答：选A．

说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便